Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
21
Лабораторная работа 3
n
n
aaa
aaa
A
22221
11211
...
...
Opt
j
Opt
j
nj
m
i
Opt
iij
nj
xaxaxa
1minmin
21
,1
1
,1
xaxa
jj
nj
x
1minmax
21
,1
10
xx
1257
1132
3,1j
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
МАТРИЧНЫХ ИГР 2ХN (MX2)
В том случае, если матрица игры состоит из двух строк 2n, или
двух столбцов m2, существует графический метод.
Пусть матрица игры имеет вид
(11)
Запишем соотношение для цены игры в виде
. (12)
Стратегия x
Opt
получается, когда игрок А за счет изменения
вероятностей применения своих чистых стратегий х и 1 – х пытается
получить максимальный выигрыш. Поэтому соотношение (12) можно
записать в виде
. (13)
Выражение в скобках в формуле (13) представляет собой
линейную функцию от х. Графиком линейной функции является
прямая. Причем для каждого конкретного значения j это уравнение
будет свое.
Рассмотрим пример со следующей матрицей игры:
(14)
Обозначим смешанные стратегии игрока А за х и 1-х. Матрица
содержит 3 столбца, то есть
. Построим графики:
для j=1 H(x)=2∙x+7∙(1-x) = -5∙х+7;
для j=2 H(x)=3∙x+5∙(1-x) =-2∙х+5;
для j=3 H(x)=11∙x+2∙(1-x) =9∙х+2;
22
Результат графического метода поиска решения для игры с
))1((min
21
,1
xaa
jj
nj
10
max
x
HxHx29
75
14
5
14
3
5
14
9
;
14
5
X
14
3
5
матрицей 2×m показан на рис. 1.
После того, как все прямые построены, нижняя огибающая
ломаная (рис. 1) и будет
. Верхняя ее точка – это
– это точка Q, в которой достигается максимум нижней
огибающей. Абсцисса этой точки х – это стратегия x
Opt
игрока А, а ее
ордината H(x) – цена игры .
Рис. 1
Найдем координаты этой точки. Для этого определим, какие
прямые пересекаются в точке Q. Это вторая (j=1) и пятая (j=3) линии.
Из соответствующих уравнений составим и решим систему
(15)
Решая эту систему, получим x=
стратегиями игрока А будут
; H(x)=
, а цена игры
. Оптимальными
Игры с матрицей m2
Пусть матрица игры состоит из m строк и двух столбцов
и имеет вид
.
23
21
21
1211
1
mm
aa
a
aa
yy
m1,i
,1maxmin
1maxmax
21
,1
10
1211
,1
1
,1
yaya
yayaya
ii
mi
y
Opt
i
Opt
i
mi
n
j
Opt
jij
mi
))1((max
21
m1,i
yaya
ii
81
72
64
56
1Ayy
(16)
Аналогично игре с матрицей 2n вводим Y= {y, 1-y} –
произвольную смешанную стратегию игрока В. Тогда для каждой i-ой
чистой стратегии игрока А средний выигрыш для (i)
H=ai1y+ai2(1-y), где
. (17)
Формула (16) представляет собой семейство прямых,
соответствующих чистым стратегиям игрока А.
Далее, в соответствии с формулой (17):
(18)
где
Абсцисса нижней точки огибающей ‒ y
‒ это верхняя огибающая для (17).
Opt
, а ее ордината – цена игры .
В случае пересечения более двух прямых в точке решения
выбираем именно те прямые, при пересечении которых образуется
верхняя огибающая.
Рассмотрим пример. Пусть матрица игры выглядит следующим
образом:
(19)
24
Обозначим смешанные стратегии игрока В как y и 1 – y.
HyHy87
5
8
3
8
3
5
x
x
A
1
0
0
81
72
64
56
Матрица содержит 4 строки, поэтому построим 4 графика:
для i=1 H(y)=6∙y+5∙(1 – y) =у+5;
для i=2 H(y)=4∙y+6∙(1 – y) =-2∙у+6;
для i=3 H(y)=2∙y+7∙(1 – y) =-5∙у+7;
для i=4 H(y)=1∙y+8∙(1 – y) =-7∙у+8.
Результат графического метода поиска решения для игры с
матрицей n×2 показан на рис. 2.
Минимум верхней огибающей достигается в точке Р, то есть в
точке пересечения прямых для i=1 и i=4. Найдем координаты точки Р:
(20)
Решив систему (20), имеем y
Opt
=
, цена игры
.
Рис. 2
Для поиска стратегий игрока А следует положить все x
=0, за
i
исключением i=1 и i=4:
. (21)
25
Тогда по формуле (18) имеем
Hxx
Hxx
)1(807065
)1(102046
8
7
8
3
5
8
7
8
1
8
7
8
1
8
3
5
2210
2111
2204
1324
5023
41
13
32
31
. (22)
;0.; 0;
Opt
; цена игры
Opt
}, Y
={
;
Решив систему (22), получим x
Таким образом, Х
Opt
={
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Найти решение графическим методом:
1.
2.
3.
4.
;
.
;
;
} ,
.
.
26
Лабораторная работа 4
ljkj
aa
nj ,1
iqip
aa
mi ,1
РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР M×N
Цель работы. Освоить упрощение исходной матрицы с
помощью доминирования стратегий. Изучить метод решения
матричной игры путем сведения к решению задачи линейного
программирования.
Упрощение исходной матрицы
Очень часто оказывается, что некоторые чистые стратегии не
могут внести никакого вклада в искомые оптимальные смешанные
стратегии. Отбрасывание подобных стратегий на этапе
предварительного анализа позволяет заменить первоначальную
матрицу на матрицу меньших размеров. Это можно сделать с
помощью доминирования стратегий.
Если рассматривать стратегии игрока А, то есть сравнивать
строки матрицы, то если для k-ой и l-ой стратегии выполняются
соотношения
, где
, (23)
то есть все элементы k строки не меньше элементов l строки, то
говорят, что k-ая стратегия доминирует l-ую стратегию, l-ая стратегия
называется доминируемой.
Если рассматривать стратегии игрока В, то есть сравнивать
столбцы матрицы, то если для p-ой и q-ой стратегии выполняется
соотношение
, где
, (24)
то есть если все элементы p столбца не больше элементов q столбца,
то говорят, что p стратегия доминирует q стратегию.
Теорема
Если в матрице А k-ая строка доминирует l-ую строку, то число
строк в матрице можно уменьшить путем отбрасывания
доминируемой строки. При этом цена игры не изменится, а
27
соответствующая доминируемая стратегия не войдет в решение, то
0lx
0qy
614
5
61774
5
6784
1765
6
6
1
6
7
7
3
8
6
1
4
5
6631
6784
5471
1765
есть
.
Аналогично, если в матрице А p-ый столбец доминирует над
q-ым столбцом, то число столбцов в матрице можно уменьшить путем
отбрасывания доминируемого столбца. При этом цена игры не
изменится, а соответствующая доминируемая стратегия не войдет в
решение, то есть
.
Пример 1
Задание. Упростите матрицу А, используя принцип
доминирования:
Для определенности сначала сравним между собой элементы
строк и доминируемые строки, если такие имеются, вычеркнем. Итак,
все элементы третьей строки строго больше соответствующих
элементов второй строки, значит, третья строка доминирует над
второй, то есть третья строка является доминирующей, а вторая –
доминируемой, поэтому вторую строку вычеркиваем. Аналогично
третья строка доминирует над четвертой, значит, вычеркиваем и
четвертую строку. Остальные строки не являются доминируемыми
или доминирующими. В оставшейся матрице порядка 24 сравниваем
между собой соответствующие элементы столбцов. Второй и третий
столбцы доминируют над первым и четвертым, значит, второй и
третий столбцы является доминирующими, а первый и четвертый –
доминируемыми, следовательно, вычеркиваем второй и третий
столбцы. В результате получаем квадратную матрицу второго
порядка, которую больше не упростить:
Далее ищем решение через системы уравнений
28
;)1(6
;)1(45
Нхх
Нхх
;)1(64
;)1(5
Нуу
Нуу
0;0;
3
2
;
3
1
X
6
1
;
6
5
;0;0Y
3
13
.
0
3
1
0
0
3
1
0
2
2
0
3
3
1
0
3
2
2
1
Решая полученные системы, имеем x=1/3, y=5/6,
формировании окончательного ответа необходимо помнить, что
исходная матрица была размера 4×4. Поэтому ответ будет следующим:
,
Пример 2
Задание. Упростите платежную матрицу, используя принцип
доминирования:
Решение
Вторая строка доминирует над первой (все элементы первой
строки больше соответствующих элементов второй строки),
следовательно, первая строка – доминируемая, а вторая –
доминирующая, поэтому первую строку вычеркиваем. В оставшейся
матрице сравниваем столбцы: первый столбец доминирует над
вторым, поэтому является доминирующим, значит, его вычеркиваем.
Получаем квадратную матрицу второго порядка, в которой уже ничего
не упростить:
,
=13/3. При
.
Теорема (Аффинное правило)
Пусть дана матричная игра с матрицей А=(aij) и ценой игры vА и
игра с матрицей С=(сij)=(aij+), где >0. Тогда оптимальные
29
смешанные стратегии игроков обеих матриц совпадают, а цена игры с
AC
5550
4565
A
21
04
A
53
5
3
;
5
2
5
4
;
5
1
А
YX
min
1
mi
i
p
11
mi
iij
pa
i
i
x
p
mi ,1
0ip
nj ,1
матрицей С будет
.
Пример
Пусть матрица игры имеет следующий вид:
Воспользовавшись аффинным правилом
65=5·4+45; 45=5·0+45; 50=5·1+45; 55=5·2+45,
получаем новую матрицу
.
Решая систему, получаем
.
Сведение матричной игры к задаче линейного программирования
Для того, чтобы можно было свести решение матричной игры к
решению двойственных задач линейного программирования, матрица
игры должна быть строго положительна. То есть предварительно,
используя аффинное правило, необходимо преобразовать исходную
матрицу с тем, чтобы все а
ij
>0.
Теорема
Решение матричной игры с положительной платежной матрицей
а
равносильно решению двойственных задач линейного
ij
программирования:
где
,
,
,
,
,
(25)
30
и
max
1
nj
j
q
11
nj
jij
qa
j
j
y
q
nj ,1
0jq
mi ,1
n
j
j
m
i
i
qp
11
11
ii
px
jj
qy
,
,
где
,
,
,
. (26)
Решая эти двойственные задачи, можно найти pi и qj. Тогда
,
,
(27)
После нахождения цены игры для положительной матрицы
необходимо пересчитать цену игры для исходной матрицы игры.
Пример 1
Задание. Найти решение игры, определяемой матрицей
Решение. При решении этой игры к каждому элементу матрицы
А прибавим 1 и получим следующую матрицу:
Составим теперь пару взаимно двойственных задач:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]