Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
41
Вершинами дерева являются окончания прямолинейных
отрезков, исходящих из узлов последнего уровня.
Ветвью дерева называется ломаная линия, состоящая из
прямолинейных отрезков дерева, которая начинается в самом нижнем
узле и идет вверх последовательно через соответствующие узлы до
вершины дерева.
Каждая ветвь дерева отображает партию игры.
Для изображения необходимых сведений о сделанных выборах
при определенных ходах игроков на дереве игры отмечают пунктиром
так называемые информационные множества узлов определенного
игрока.
В каждое информационное множество входят только
неразличимые для игрока узлы, т.е. только те узлы, для каждой пары
из которых соответствующий игрок не может точно указать, в какой
точке дерева он находится, делая этот ход.
Поскольку второму игроку не известен выбор первого игрока на
первом ходе, то, выполняя свой ход, он не знает точно, в каком узле
находится. Поэтому узлы второго уровня образуют информационное
множество. Аналогично – для первого игрока на третьем ходе.
Графическое представление этой игры изображено на рис. 4.
Рис. 4
Приведем эту игру к нормальной форме, т.е. к матричной игре.
У первого игрока немного возможностей за счет недостатка
информации, а именно: поскольку он на третьем ходе не знает
предыдущих выборов, то его стратегия состоит из пары чисел (x, z),
т.е. выбирать x=1 или x=2 на первом ходе и выбирать z=1 или z=2 на
42
третьем ходе. Итак, y первого игрока имеются четыре стратегии: (1,1),
1-й игрок
(x ,z)
2-й игрок
y=1
y=2
(1,1)
-2 3 (1,2)
-1
-4
(2,1)
5 2 (2,2)
2
6
1minmax
ij
j
i
a
2maxmin
ij
i
j
a
.0,0;1
;62
;25
;4
;32
2121
21
21
21
21
уууу
уу
уу
уу
уу
.4,...,1,0;1
;6243
;252
4321
4321
4321
jxxxxx
xxxx
xxxx
j
(1,2), (2,1), (2,2).
У второго игрока всего две стратегии: первая – выбрать число 1
и 2 стратегия – выбрать число 2.
Матрица выигрышей первого игрока представлена в табл. 1.
В результате получилась игра порядка (4×2).
Известно, что игры порядка (m×2) и (2×n) можно решать
графически.
В общем случае, позиционные игры, приведенные в нормальную
форму, решаются как матричные игры, например, в рамках линейного
программирования:
Легко убедиться, что данная игра не имеет седловой точки в
чистых стратегиях, т.к.
и
, т.е. ν1 ≠ ν
2
Тогда необходимо найти такие смешанные стратегии х=(х1, х2, х3, х4) и
у=(у1, у2) соответственно первого и второго игроков и цену игры v,
которые удовлетворяют соотношениям:
.
43
Необходимо определить смешанные стратегии х = (х1, х2, х3, х4) и
12
1
1
1
64
23
уу
Hy
Hy
у = (у1, у2) соответственно первого и второго игроков.
Данную задачу можно решить графически относительно
стратегий второго игрока у1 и у2.
Обозначим смешанные стратегии игрока В как y и 1-y. Матрица
содержит 4 строки, поэтому построим 4 графика:
для i=1 H(y)=-2∙y+3∙(1-y) = 5∙y+3;
для i=2 H(y)=-1∙y-4∙(1-y) = 3∙y-4;
для i=3 H(y)=5∙y+2∙(1-y) = 3∙y+2;
для i=4 H(y)=2∙y+6∙(1-y) =-4∙y+6.
Результат показан на рис. 5.
Рис. 5
Минимум верхней огибающей достигается в точке Р, то есть в
точке пересечения прямых для i=3 и i=4. Найдем координаты точки Р.
44
Решение этих уравнений:
.
7
26
,
7
3
,
7
4
21
уу
.
7
26
,
7
3
х,
7
4
43
х
Для определения х3 и х4 следует решить первое и третье
уравнения системы (2):
В результате решения получим стратегию первого игрока: х1 =0,
х2 = 0;
Задачи для самостоятельного решения
Задание. Дайте графическое представление, приведите к
нормальной форме и найдите решение позиционной игры:
Задача 1а. Игрок А называет любое из трех чисел: 1, 2 или 3.
Игрок В, зная выбор А, называет одно из двух чисел: 1 или 2. Далее
игрок А (зная выбор В и помня свой собственный выбор) должен
определить, четная или нечетная получилась сумма. В случае, если
игрок А угадывает, его выигрыш составляет сумму названных чисел.
Если не угадывает, то он проигрывает ту же сумму.
Задача 1б. Найти решение задачи для случая, если к третьему
ходу игрок А не знает выбора, сделанного игроком В.
Задача 1в. Найти решение задачи для случая, если игроки не
знают ходов соперника и забывают о своих собственных (игрок А к
третьему ходу забыл о своем собственном выборе на первом ходе).
Задание. Дайте графическое представление, приведите к
нормальной форме и найдите решение позиционной игры со
следующей функцией выигрышей W (x, у, z):
W (1, 1, 1) = 2, W(2, 1, 1) = -1,
W (1, 1, 2) = -2, W(2, 1, 2) = 3,
W (1, 2, 1) = 1, W(2, 2, 1)= 0,
W (1, 2, 2) = 0, W(2, 2, 2) = -3.
Задача 2а
1-й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух
чисел {1, 2}.
2-й ход делает игрок В: не зная о выборе игрока А на 1-м ходе,
он выбирает число у из множества двух чисел {1,2}.
45
3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух
чисел (1,2}, зная значение у, выбранное игроком В на 2-м ходе, но не
помня собственного выбора x на 1-м ходе.
Задача 2б
1-й ход делает игрок А: он выбирает число x из множества двух
чисел {1,2};
2-й ход делает игрок В: зная выбор игрока А на 1 -м ходе, он
выбирает число у из множества двух чисел {1,2};
3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух
чисел {1, 2}, не зная значения у, выбранного игроком В на 2-м ходе, но
помня собственный выбор x на 1-м ходе.
Задача 2в
1-й ход производится случайно: игрок О выбирает число х,
равное 1 с вероятностью 0,3 и равное 2 с вероятностью 0,7;
2-й ход делает игрок А: он выбирает число у из множества двух
чисел {1, 2}, зная результат случайного выбора на 1-м ходе;
3-й ход делает игрок В: он выбирает число z из множества двух
чисел {1, 2}, зная выбор у игрока А на 2-м ходе, но не зная случайного
выбора x на 1-м ходе.
46
Лабораторная работа 6
nj
ij
mi
a
n
L
,1
,1
1
max
nj
ij
mi
r
n
L
,1
,1
1
min
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ
ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Цель работы: освоить методы принятия решений в условиях
полной неопределенности.
Ситуации неопределенности предполагают, что субъекту
известны только возможные варианты последствий принимаемого
решения, но не их вероятности. Выбор в условиях неопределенности –
предмет теории игр, ее раздела «Игры против природы».
Неопределенность, связанную с полным отсутствием информации о
вероятностях состояний среды (природы), иногда называют
«безнадежной». В таких случаях для определения наилучших решений
используются следующие критерии: критерий Лапласа, критерий
Вальда, максимаксный критерий, критерий Сэвиджа, критерий
Гурвица.
Критерий безразличия (Лапласа)
При использовании критерия Лапласа условие
неопределенности интерпретируется как предположение о равных
вероятностях появления всех возможных состояний природы.
Поскольку все вероятности равны, для определения наилучшего
решения можно просто найти среднее значение, соответствующее
каждому решению, и выбрать то решение, которое будет иметь
максимальное среднее (что также соответствует максимальному
ожидаемому выигрышу).
Таким образом,
или для матрицы потерь
(28)
(29)
.
47
Пример 1
S1=200, S2=250, S3=300, S4=350.
15192230
21121821
23878
2518105
а
.
ij
r
5.14)2518105(
4
1
4
1
4
1
1
j
j
r
,
5.11)23178(
4
1
4
1
4
1
2
j
j
r
,
18)21121821(
4
1
4
1
4
1
3
j
j
r
,
5.21)15192230(
4
1
4
1
4
1
4
j
j
r
,
Предприятие должно определить уровень предложения услуг
таким образом, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение
предстоящих праздников. По предварительным прогнозам число
клиентов может принять одно из следующих значений:
Для каждого из этих возможных значений существует
наилучший с точки зрения возможных затрат уровень предложений Xi,
и совокупность этих уровней образует множество G из четырех
элементов. Отклонения от уровней Xi приводят к дополнительным
затратам либо из-за неполного удовлетворения спроса, либо из-за
превышения предложения над спросом. Матрица потерь в условных
денежных единицах приведена ниже:
В данном случае n = m = 4,
предложений Xi и реализации состояний Sj.
Имеем
– потери при уровне
48
Таким образом,
5.11
4
1
min
4
1
j
ij
i
rL
,
ij
nj
mi
aW
,1
,1
minmax
ij
nj
mi
rW
,1
,1
maxmin
ij
r
25max
141
,1
rr
j
nj
,
23max
242
,1
rr
j
nj
,
21max
34313
,1
rrr
j
nj
,
30max
414
,1
rr
j
nj
j
.
и наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием
Лапласа будет X2.
Максиминный критерий (критерий Вальда)
Этот критерий является наиболее «осторожным», поскольку его
реализация предполагает выбор наилучшей из наихудших
возможностей.
В качестве искомого решения выбираем то решение, которому
будет соответствовать максимум минимального значения выигрыша
(отсюда название – «максиминный критерий»)
(30)
.
Для матрицы потерь
(31)
также его называют минимаксным критерием.
Пример 2
Решим задачу Примера 1 на основе минимаксного критерия, т.к.
в данном случае
отражают затраты. Для каждого допустимого
решения Xi найдем максимальные затраты:
49
Затем из полученных значений найдем минимальное:
21maxmin
3431
,1
,1
rrrW
ij
nj
mi
.
ij
aM max
ij
nj
mi
rS
,1
,1
maxmin
ijij
i
ij
vvr max
Итак, оптимальным является решение Х4.
Максимаксный критерий
Максимаксный критерий является критериями крайнего
оптимизма, поскольку предполагают, что природа будет находиться в
наиболее благоприятном для игрока. Здесь для каждого решения
определяется наибольший соответствующий ему выигрыш, и затем в
качестве оптимального решения выбирается решение, которому
соответствует максимальный возможный выигрыш:
(32)
Аналогично для матрицы потерь выбирается минимальное
значение, и критерий называется миниминным.
В соответствии с критерием для Примера 1 принимается
альтернатива, соответствующая минимальному элементу матрицы
потерь. Для приведенного Примера 1 эта величина М=5, поэтому
выбираем альтернативу Х1.
Критерий минимаксного риска (Сэвиджа)
Потери вводят новую меру для определения качества решений,
для чего создается новая таблица платежей. Обычно в таблице
платежей приводятся значения чистого дохода или выплат для каждой
комбинации возможного решения и возможного состояния природы.
При использовании критерия минимаксных потерь в таблице платежей
приводятся значения потерь (рисков), также рассчитанных для каждой
возможной комбинации решения и состояния природы:
, (33)
где
.
50
Каждое значение потерь показывает, сколько мы потеряем при
0001000010
9000011
А
021000
100900
R
ij
nj
ij
nj
mi
apapH
,1
,1
,1
max)1(minmax
различных состояниях природы, если наше решение будет отличаться
от наилучшего (для данного состояния природы) решения. Отсюда
следует, что менеджер должен принять такое решение, которое бы
минимизировало потери, но он не знает, каким будет состояние
природы.
Если было бы известно распределение вероятностей состояний
природы, то можно было бы выбрать решение, которому
соответствует минимальное ожидаемое значение потерь. Если
вероятности неизвестны, то возникает естественная мысль
использовать консервативный минимаксный критерий: выбрать то
решение, которому они бы соответствовали.
Пример 3
Задание. Для платежной матрицы
определить оптимальную стратегию по критерию Сэвиджа.
Решение
Строится матрица риска, которая будет иметь вид
.
В каждой строке матрицы рисков выбирается максимальное
значение рисков. Теперь выбираем решение, которое минимизирует
максимум потерь. По критерию Сэвиджа оптимальным является
решение Х1.
Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица)
Этот критерий при выборе решения рекомендует
руководствоваться некоторым средним результатом,
характеризующим состояние между крайним пессимизмом и
безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в
матрице А выбирается в соответствии со значением
(34)
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]