Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
81
297,0
0,98
97,03,0
)(
)()(
)(
33
3
AP
BAPBP
ABP
.
x
xF
)(xdAi
x
ii
xdFALALMdR ),(),()),((),(
),(iAL
i
Axd )(
d,
L,,
RDG ,,
X
X
Проверка: 0,393 + 0,329 + 0,296 = 1.
Вывод: количественная переоценка доли конфет в коробке конфет
без брака составляет: первый конвейер ‒ 37,4 %, второй – 32,9 %,
третий – 29,7 %.
Свойства статистических игр
По результатам эксперимента
конкретно решение он должен выбрать. Для выбора из множества D
наилучшей функции решения он использует функцию риска. Функция
решения, отображающая множество выборок XΘ в множество решений
статистика А, называется нерандомизированной (чистой) функцией
решения статистика.
Функция риска зависит от множества состояний природы и
множества функций решения и принимает значения, выраженные
действительными числами. Она определяет математическое ожидание
функции потерь при некотором состоянии природы
статистику функции распределения
Представим функцию риска:
где
интерпретируют как ущерб, к которому приводит решение d и
состояние природы
Функция R не является случайной величиной, а принимается как
платеж статистика в его игре при следующих условиях: состояние
природы фиксировано и функция решения выбрана.
Стратегическая игра
функция потерь при состоянии природы и
. Значение функции потерь L в произвольной точке
.
статистик определяет, какое
и известной
, когда
становится статистической
.
, (42)
, если используется результат эксперимента – вектор x.
Игра называется статистической, если в ней:
-
‒ множество n-мерных выборок;
- D – множество функций решений, которые преобразуют
в А;
82
- ‒ множество состояний среды;
dR ,
dR ,
1
2
1
21
2
1
2
-
Статистическая игра является игрой двух лиц с нулевой суммой,
а риск
Рандомизация на стороне статистика проводится двумя
методами: применение решений с определенными вероятностями
(смешение решений) и смешение чистых функций решения, то есть
рандомизация функций решения.
Статистик может не прибегать к рандомизации, если он
использует как оптимальную байесовскую функцию решения.
Функция решения называется байесовской, если она минимизирует
байесовский риск.
Для всех состояний природы не существует одной наилучшей
функции решения. Для каждого состояния природы имеется своя
лучшая функция.
‒ функция риска.
платеж природе.
Рис. 12
Пусть имеются две функции решения
Можно выделить область, где функция
диапазоне состояний природы
лучшей для состояния природы при
Пример 2
Бизнесмен хочет открыть в регионе новую торговую сеть.
Необходимо построить в регионе электростанцию большой
мощности. В данном регионе имеются возможности:
и
(рис. 12).
будет лучшей ‒ в
. Вторая функция
и при
.
будет
83
- а1 – открыть продуктовую торговую сеть;
4321
,,,
1
2
3
4
А
1
2
3
4
min
Продуктовая сеть
60
60
30
35
30
Хозяйственные товары
50
35
45
35
35
Сеть магазинов одежды
40
40
40
40
40
max
60
60
45
40
- а2 – открыть магазины хозяйственных товаров;
- а3 – магазины одежды.
Возможные решения А = {а1, а2, а3}. Экономическая
эффективность каждого варианта рассчитана аналитическим центром,
который учитывал затраты на закупку товара и оборудования, и
расходы на периодическую закупку новых товаров.
На уровень продаж в магазинах одежды влияет сезонность
бизнеса, например, температура воздуха, определяющая желание
покупателей приобретать теплую одежду. Стоит отметить, что при
негативных климатических условиях повышаются логистические
расходы в продуктовых и хозяйственных магазинах. Также на
розничные цены в магазинах, и как следствие эффективность бизнеса,
влияют курсы иностранных валют, поскольку многие товары являются
импортными.
Случайные факторы, от которых зависит экономическая
эффективность вариантов капиталовложений, объединим в четыре
возможных состояния ‒
‒ с учетом окупаемости:
‒ курсы валют низкие и климатические условия
благоприятные;
‒ курсы валют высокие и климатические условия
благоприятные;
‒ курсы валют низкие и климатические условия
неблагоприятные;
‒ курсы валют высокие и климатические условия
неблагоприятные.
Получены следующие расчеты эффективности:
84
В стратегической игре
),,( WA
25.0)(
1
P
15.0)(
2
P
4.0)(
3
P
2.0)(
4
P
),,( WA
аWM ,
аWаL ,,
аWM ,
1
,аWM
2
,аWM
3
,аWM
аWM ,
‒ природа. Матрица игры имеет седловую точку, равную 40 ед. Если
бы не было дополнительной статистической информации, то на этом
игра закончилась бы решением а3 – открывать сеть магазинов одежды.
Это было бы осторожным решением.
С помощью имеющихся временных рядов можно получить
апостериорную информацию, поскольку существуеют статистическая
и прогнозируемая информации о динамике курса валют, а также
статистические сведения сезонных климатических изменений,
которые могут затруднять и увеличивать стоимость логистических
услуг.
Получены оценки апостериорного распределения состояний
природы. Данные непосредственного наблюдения состояний природы
позволили получить апостериорное распределение состояний
природы:
;
Имея апостериорное распределение состояний природы, можно
преобразовать стратегическую игру
которой платеж игроку (статистику) будет определен как
математическое ожидание в данном распределении состояний
природы
Математическое ожидание максимизирует оптимальная
байесовская стратегия статистика, что эквивалентно минимизации
байесовского риска в статистической игре, в которой функция потерь
Для отдельных решений получим математические ожидания
:
.
.
игрок 1 ‒ статистик, а игрок 2
;
;
в статистическую, в
.
продуктовую торговую сеть.
=60 · 0,25 + 60 · 0,15 + 30 · 0,4 + 35 · 0,2 = 43;
= 50 · 0,25 + 35 · 0,15 + 45 · 0,4 + 35 · 0,2 = 42,75;
40 · 0,25 + 40 · 0,15 + 40 · 0,4 + 40 · 0,2 = 40,00;
Max
Вывод: оптимальным решением будет а1 открыть
= 43.
85
Формула Байеса
)(jinmР
2
1
21
)(
m
m
nn
mnР
ij
Задача 1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов
и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова:
для лыжника ‒ 0,9, велосипедиста ‒ 0,8, бегуна ‒ 0,75. Найти
вероятность того, что первый наудачу выбранный спортсмен
выполнит норму. Найти вероятность того, что это – лыжник (а также
велосипедист и бегун).
Задача 2. Предположим, что вы хотите вложить на фондовой
бирже 10000 долл. в акции одной из двух компаний: А или В. Акции
компании А являются рискованными, но могут принести 50 %
прибыли от суммы инвестиции на протяжении следующего года. Если
условия фондовой биржи будут неблагоприятны, вы потеряете 20 %.
Компания В обеспечивает безопасность инвестиций с 15 % прибыли в
условиях повышения котировок на бирже и только 5 % – в условиях
понижения котировок. Все аналитические публикации с вероятностью
60 % прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40 % –
понижение. Вместо того, чтобы полностью полагаться на эти
публикации, вы решили проконсультироваться со знакомым брокером.
Он высказывает мнение «за» или «против» инвестиций (но не говорит,
куда именно инвестировать). Это мнение в дальнейшем определяется
количественно следующим образом. При повышении котировок его
мнение с 90 % вероятностью будет «за», при снижении котировок
вероятность его мнения «за» уменьшится до 50 %. Как его мнение
повлияет на ваше решение?
1. Решить задачу без учета мнения знакомого брокера.
2. Построить дерево решений (первый этап – мнение
специалиста, второй – инвестиция, третий – изменение котировок).
3. Для оценки различных альтернатив вычислить
апостериорные вероятности
, где буквой m обозначена
реакция рынка (m1 – повышение, m2 – понижение котировок), а n –
мнение друга (n1 – покупать, n2 – нет). Для этого:
а) записать условные вероятности:
.
86
б) вычислить вероятности совместного появления событий:
2
1
21
)()(),(
m
m
nn
mPmnРnmР
iijji
)(jnP
2
1
21
)(
),(
)(
m
m
nn
nP
nmР
nmР
j
ji
ji
t1
t2
t3
<10
10-20
>20
x1
<10
0,12
0,13
0,09
x2
10-20
0,84
0,78
0,81
x3
>20
0,04
0,09
0,1
.
(в результате сумма всех элементов должна равняться 1);
в) вычислить
;
г) вычислить апостериорные вероятности:
4. Записать полученные апостериорные вероятности на
соответствующие ветви дерева решений.
5. Рассчитать ОДО в остальных узлах. Как вы поступите?
Статистическая игра
Задача 3. Небольшая больница в районном центре покупает
кровь в городском банке крови. Закупленная кровь не может
храниться больше месяца. Если кровь покупается заблаговременно, то
ее стоимость значительно ниже, чем в случае, если кровь требуется
доставить срочно. Специалистом были проведены расчеты и была
получена таблица соотношений возможных затрат на закупку крови и
количества операций в месяц:
Для уточнения количества операций в месяц был приглашен
статистик. Он провел дополнительные статистические исследования за
последние 5 лет и получил следующие апостериорные вероятности:
87
<10
10-20
>20
0-5
50
650
4500
5-10
150
250
2500
10-15
1500
380
750
В таблице приведены сгруппированные данные. В столбцах –
реальное количество операций в месяц. В строках – количество
операций, на которое хватило бы запасов крови, пересчитанное на
проценты.
Также статистик получил следующее распределение количества
операций в месяц:
P(<10)=0,28, P(10-20)=0,64, P(>20)=0,08
Найти решение стратегической игры по критерию Вальда –
минимизация максимальных потерь (без учета дополнительной
статистической информации). Сделать вывод.
Составить таблицу множества возможных
нерандомизированных функций решений
Построить матрицу риска для всех возможных функций
решений
Построить байесовскую функцию с учетом распределения
количества операций в месяц, минимизируя риски.
Сделать вывод (какой следует иметь запас крови).
88
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Подписано в печать 03.08.2016
Формат 60×84 1/16
Бумага офсетная
Печать ризографическая
5,11 усл. печ. л.
5,5 уч.-изд. л.
Тираж 100 экз.
Заказ «C» 186
Издательство Казанского национального исследовательского
технологического университета
Офсетная лаборатория Казанского национального
исследовательского технологического университета
420015, Казань, К. Маркса, 68
1. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе /
А.М. Дубров [и др.] / М.: Московский междунар. ин-т эконометрики,
информатики, финансов и права, 2003. – 190 с.
2. Исследование операций по разделам: теория игр и сетевое
планирование: метод. указания / сост. Л.А. Плетнева; МАДИ. – М., 2013. – 48 с.
3. Системы и методы принятия решений: метод. указания к практ.
занятиям и самостоятельной работе студентов, / сост. Ю. М. Нефедов; ВНУ
им. В. Даля. – Луганск. 2002. – 58 с.
4. Гадельшина Г.А. Теория игр: учебное пособие /
Г. А. Гадельшина; общ. ред. А.Е. Упшинской, И.С. Владимировой. – Казань:
Изд-во КНИТУ, 2015. – 84 с.
5. Печерский С.Л. Теория игр для экономистов. Вводный курс:
учебное пособие / С. Л. Печерский; общ. ред. А. А. Беляева. – СПб.:
Европейский ун-т 2001. – 342 с.
6. Волкова Т.Б. Методы и алгоритмы решения задач исследования
операций с использованием ЭВМ: учебное пособие / Т.Б. Волкова,
Ю.П. Корнеев. – М.: МАИ, 2008. – 58 с.
7. Чернова Г.В. Управление рисками / Г.В. Чернова, А.А. Кудрявцев. –
М.: ПРОСПЕКТ, 2005. – 160 с.
Редактор Е. И. Шевченко
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]