Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
61
3) Параметр разветвления – цвет области на колесе.
4) Над «ветвями» указываем возможные варианты (белый (Б) и
красный (К) цвет) и вероятности их появления (учтем их далее – 0,3 и
0,7, соответственно).
5) Указываем результат – «лист» на каждой «ветке», используя
исходную таблицу возможных выигрышей.
6) Вычисляем вероятность получения прибыли для каждого
«листа».
7) Определяем полную вероятность для каждого варианта по
исходному критерию (для каждой из двух кнопок, которые можно
выбрать).
Рис. 6
Подведем итоги игры:
- если выберете легкое вращение, выигрыш составит 240 + 140 = 380
(вариант гарантированно принесет прибыль);
- для сильного вращения получаете (-750) + 700 = -50 – выбор
может привести к затратам.
Пример 2
Требуется принять решение о замене старого оборудования на
новое того же вида или о его ремонте. Отремонтированное
оборудование впоследствии можно частично заменить на новое, более
современное, или отремонтировать его заново.
62
Решение определяется будущим спросом на продукцию,
которую производят на этом оборудовании. Полная замена
оборудования экономически оправдана при высоком уровне спроса. С
другой стороны, можно отремонтировать старое оборудование и через
один год, например, заменить его на новое, более совершенное, или
заново его отремонтировать.
В данной задаче процесс принятия решения состоит из двух
этапов: решение в настоящий момент времени о замене или ремонте
оборудования и решение, принимаемое через один год, относительно
частичной его замены и ремонта.
Предполагается, что спрос может оказаться высоким, средним и
низким. Дерево решений имеет два типа вершин: «решающие» и
«случайные»:
Рис. 7
Начиная с «решающей» вершины 1, необходимо принять
решение о полной замене оборудования или его ремонте.
Вершины 2 и 3 являются «случайными». Фирма будет
рассматривать возможность установления более совершенного
оборудования или повторного ремонта старого в том случае, если
спрос по истечении одного года установится на высоком уровне.
Поэтому в вершине 4 принимается решение о частичной замене
63
старого оборудования более совершенным или о ремонте старого.
Вершины 5 и 6 – «случайные».
Допускается, что фирма рассматривает эту задачу на пятилетний
период. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятности
высокого, среднего и низкого уровней спроса составляют
соответственно 0,6, 0,3 и 0,1. Замена новым оборудованием того же
вида, что и старое, обойдется в 2,5 млн. руб., а ремонт старого –
в 0,8 млн. руб.
Затраты на частичную замену оборудования более совершенным
оцениваются в 1,5 млн. руб., а повторный ремонт старого – в 0,8 млн руб.
Ежегодные доходы для каждой стратегии фирмы рассмотрены
ниже.
1. Замена старого оборудования на новое того же вида при
высоком, среднем и низком уровнях спроса даёт соответственно 0,95,
0,7 и 0,45 млн руб.
2. Ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком
уровнях спроса оценивается соответственно в 0,3, 0,15 и 0,1 млн руб.
3. Частичная замена оборудования на более совершенное при
высоком, среднем и низком уровнях спроса составит соответственно
0,9, 0,6 и 0,4 млн. руб.
4. Повторный ремонт старого оборудования при высоком,
среднем и низком уровнях спроса предполагает 0,3, 0,2 и 0,1 млн. руб.
соответственно.
Определим оптимальную стратегию фирмы в замене
оборудования.
Решение
Оценим результаты каждой стратегии и определим, какие
решения следует принимать в «решающих» вершинах 1 и 4.
Вычисления начнем с этапа 2. Для последних 4 лет
альтернативы, относящиеся к вершине 4, оцениваются так:
ДЧЗ= (0,9∙0,6 + 0,6∙0,3 + 0,4∙0,1) ∙4 – 1,5 = 1,54 млн руб.,
ДДР = (0,3∙0,6 + 0,2∙0,3 + 0,1∙0,1) ∙4 – 0,8 = 0,2 млн руб.,
где ДЧЗ – доход от частичной замены оборудования на более
совершенное; ДДР – доход от замены оборудования, прошедшего
дважды ремонт.
Так как ДЧЗ > ДДР, то в вершине 4 выгоднее частично заменить
оборудование на более совершенное, при этом доход составит
1,54 млн. руб.
64
Для дальнейших расчетов в вершине 4 можно оставить одну
ветвь, которой соответствует доход в 1,54 млн. руб. за 4 года.
Вычислим доходы на 1-м этапе для «решающей» вершины 1:
ДЗН = (0,95∙0,6 + 0,7∙0,3 + 0,45∙0,1) ∙5 – 2,5 = 1,625 млн руб.,
ДЗО = 0,3∙0,6∙1 + 0,15∙0,3∙5 + 0,1∙0,1∙5 +1,54 – 0,8 = 1,195 млн руб.,
где ДЗН – доход от замены старого оборудования на новое того же
вида; ДЗО – доход от отремонтированного оборудования и
дальнейшей замены на более совершенное.
Так как ДЗН > ДЗО, то оптимальным решением в вершине 1
является полная замена старого оборудования на новое того же вида.
Итак, оптимальной стратегией фирмы в замене оборудования является
полная замена старого оборудования на новое того же вида, при этом
доход составит 1,625 млн. руб.
Задачи для самостоятельного решения
1. Представить задачу в виде дерева решений.
2. Рассчитать ожидаемую денежную оценку каждой ветви и
выбрать лучшее решение.
Задача 1. Фермер Мак-Кой может выращивать либо кукурузу,
либо соевые бобы. Вероятность того, что цены на будущий урожай
этих культур повысятся, останутся на том же уровне или понизятся,
равна соответственно 0,25, 0,30 и 0,45. Если цены возрастут, урожай
кукурузы даст 30000 долл. чистого дохода, а урожай соевых бобов –
10000 долл. Если цены останутся неизменными, Мак-Кой лишь
покроет расходы. Но если цены станут ниже, урожай кукурузы и
соевых бобов приведет к потерям в 35000 и 5000 долл. соответственно.
Какую культуру следует выращивать Мак-Кою?
Задача 2. Директор лицея, обучение в котором осуществляется
на платной основе, решает, следует ли расширять здание лицея на 250
мест, на 50 мест или не проводить строительных работ вообще. Если
население небольшого города, в котором организован платный лицей,
будет расти, то большая реконструкция могла бы принести прибыль
65
250 тыс. руб. в год, незначительное расширение учебных помещений
Ожидаемый доход за год (тыс. долл.)
Альтернатива
Высокий
спрос
Низкий
спрос
Крупное предприятие сейчас
Небольшое предприятие сейчас
Расширенное предприятие через
2 года
1000
250
900
300
200
200
могло бы приносить 90 тыс. руб. прибыли. Если население города
увеличиваться не будет, то крупное расширение обойдется лицею в
120 тыс. руб. убытка, а малое – в 45 тыс. руб. Статистическая служба
предоставила информацию об изменении численности населения:
вероятность роста численности населения составляет 0,7; вероятность
того, что численность населения останется неизменной или будет
уменьшаться, равна 0,3. Как следует поступить директору лицея?
Задача 3. Фирма планирует открыть новое предприятие в
Арканзасе. В настоящее время имеется возможность построить либо
крупное предприятие, либо небольшое, которое через два года можно
будет расширить при условии высокого спроса на выпускаемую им
продукцию. Рассматривается задача принятия решений на
десятилетний период. Фирма оценивает, что на протяжении этих
10 лет вероятность высокого и низкого спроса на производимую
продукцию будет равна 0,75 и 0,25 соответственно. Стоимость
немедленного строительства крупного предприятия равна 5 млн. долл.,
а небольшого – 1 млн. долл. Расширение малого предприятия через
два года обойдется фирме в 4,2 млн. долл. Прибыль, получаемая от
функционирования производственных мощностей на протяжении
10 лет, приводится в следующей таблице:
а) Постройте соответствующее дерево решений, принимая во
внимание, что через два года фирма может либо расширить небольшое
предприятие, либо не расширять его.
б) Сформулируйте стратегию строительства для фирмы на
планируемый 10-летний период без учета инфляции.
66
в) Сформулируйте стратегию строительства для фирмы на
планируемый 10-летний период с инфляцией 10 %.
Задача 4. Ежедневный спрос на булочки в продовольственном
магазине может принимать одно из следующих значений: 100, 120 или
130 с вероятностями 0,2, 0,3 и 0,5. Владелец магазина ограничен в
выборе величины запаса одним из указанных уровней. Если он
закупает больше, чем может продать, то должен реализовать
оставшиеся булочки со скидкой 55 центов на каждую булочку.
Булочки закупаются по цене 60 центов и продаются за 1 долл.
5 центов. Владелец магазина желает рассмотреть задачу принятия
решений на двухдневный период. Его альтернативы для второго дня
определяются следующим образом. Если спрос в первый день был
равен текущему запасу, то он закажет то же самое количество булочек
и на другой день. Если спрос превысил текущий запас, он делает запас
на более высоком уровне. И, наконец, если спрос в первый день
оказался меньше текущего запаса, он может сделать запас на любом
более низком уровне.
67
Лабораторная работа 9
ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ НЕЙМАНА–МОРГЕНШТЕРНА
Цель работы: освоить метод принятия решения с помощью
функции полезности Неймана–Моргенштерна, а также анализ графика
функции полезности.
Определение полезности по Нейману–Моргенштерну
Полезность U – это некоторое число, приписываемое лицом,
принимающим решение, каждому возможному исходу. Функция
полезности Неймана–Моргенштерна U() для ЛПР показывает
полезность, которую он приписывает каждому возможному исходу.
У каждого ЛПР своя функция полезности, которая показывает
его предпочтение к тем или иным исходам в зависимости от его
отношения к риску.
Ожидаемая полезность события равна сумме произведений
вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов.
Проиллюстрируем практическую реализацию введенных
понятий на примере расчета ОДО и сопоставления этого значения с
полезностью.
Пример 1
Рыболовецкое судно решает вопрос о зоне ловли рыбы.
Известно, что если ловля будет идти в запланированном месте:
– с вероятностью 0,4 – рыба поймана не будет; частные
предприниматели потеряют 350000 руб;
– с вероятностью 0,25 – количество пойманной рыбы составит
14000 кг; потери снизятся до 280000 руб;
– с вероятностью 0,2 – 16000 кг; прибыль 800000 руб;
– с вероятностью 0,1 – 19000 кг; прибыль 950000 руб;
– с вероятностью 0,05 – 26000 кг прибыль 1200000 руб.
Рассчитаем ожидаемое значение выигрыша:
ОДО = 0,4∙ (-350000) + 0,25∙ (-280000) + 0,2∙800000 +0,1∙950000+
+ 0,05∙1200000 = 105000 руб.
Если ЛПР, представляющий фирму, безразличен к риску и
принимает решение о проведении буровых работ на основании
рассчитанного ОДО, то он воспринимает ожидаемую полезность как
пропорциональную ОДО, полагая U = 105. Учитывая, что U –
68
индивидуальное число, характеризующее ЛПР, нули, отвечающие
)(U
v
n
xxxx ...,,,
321
n
xxxx
...,,,
321
0
001.0,0
расчету ОДО, можно отбросить. В этом случае функция полезности
, где
– прибыль, получаемая при различных исходах, является
прямой с положительным наклоном. Ниже будет показано, что U
можно задавать с точностью до некоторого монотонного
преобразования.
Для принятия решения в случае небезразличия ЛПР к риску
необходимо уметь оценивать значения полезности каждого из
допустимых исходов. Дж. Нейман и Моргенштерн предложили
процедуру построения индивидуальной функции полезности, которая
заключается в следующем: ЛПР отвечает на ряд вопросов,
обнаруживая при этом свои предпочтения, учитывающие его
отношение к риску.
Значения полезностей могут быть найдены за два шага.
Шаг 1. Присваиваются произвольные значения полезностей
выигрышам для лучшего и худшего исходов, при чем худшему исходу
ставится в соответствие меньшее число. Например:
U (-350000)=0 U (1200000)=100.
Тогда полезности промежуточных выигрышей будут находиться
в интервале от 0 до 100. Полезность исхода даже для одного индивида
определяется не однозначно, а с точностью до монотонного
преобразования.
Пусть
– полезности, приписываемые n ожидаемым
значениям выигрышей.
Тогда
полезностями. То есть для нашего примера
(
) также будут
.
Шаг 2. Игроку предлагается на выбор: получить некоторую
гарантированную сумму , находящуюся между худшим s и лучшим S
значениями, либо принять участие в игре, то есть получить с
вероятностью p наибольшую денежную сумму S и с вероятностью (1 ‒ p)
– наименьшую сумму s. При этом вероятность следует изменять
(понижать или повышать), пока ЛПР не станет безразличным в
отношении к выбору между получением гарантированной суммы и
игрой. Пусть указанное значение вероятности равно p0. Тогда полезность
69
гарантированной суммы определяется как среднее значение
)()1()()(
00
sUpSUpU
)350(9,0)1200(1,0)280( UUU
-1
-0,5
0
0,5
1
-0,4
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8
3,2
3,6
4
4,4
0)(,0)(
xUxU
)(0SUp
(математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм:
(38)
.
Рассчитаем полезность результатов любого из возможных исходов
нашей задачи. Пусть для ЛПР безразлично, потерять 280000 руб. или
принять участие в игре: выиграть 1200000 руб. с вероятностью 0,1 или
проиграть 350000 руб. с вероятностью 0,9. Тогда
=0,1∙100+0,9∙0=10.
Таким образом, если определена шкала измерения, то может
быть построена функция полезности ЛПР (рис. 8).
Рис. 8
Однако обычно функцию полезности задают в виде
определенной зависимости. Большинство моделей, основанных на
ожидаемой полезности, используют функции U(x), сохранившие два
основных свойства, присущих логарифмической функции полезности
денег Бернулли. Это, во-первых, возрастание функции полезности
денег, во-вторых, ее вогнутость. Если функция дважды
дифференцируема, то полагают
В общем
трех типов (рис. 9):
случае график функции полезности может быть
.
70
‒ для ЛПР, не склонного к риску, ‒ строго вогнутая функция, у
baxxu )(
Дни
Цена за шт., руб.
Вероятность
7
25000
0,8
5
15000
0,7
3
12000
0,65
2
10000
0,3 0 4000
0
которой каждая дуга кривой лежит выше своей хорды (а); такую
функцию называют функцией уклонения от риска.
‒ для ЛПР, безразличного к риску, ‒ прямая линия (б)
; чтобы функция возрастала, а должен быть
положителен;
‒ для ЛПР, склонного к риску, ‒ строго выпуклая функция, у
которой каждая дуга кривой лежит ниже своей хорды (с); такую
функцию называют функцией стремления к риску.
Рис. 9
В рассмотренной выше задаче ЛПР не склонно к риску,
поскольку функция полезности вогнутая.
Пример 2
Турфирма продает путевки на морской курорт. За неделю до
окончания сезона осталось 6 путевок. Турфирма у туроператора закупает
путевки по 15000 руб. за одну путевку и продает ее затем за 30000 руб.
В конце сезона турфирма открывает систему «горящих путевок» и
продает их с большими скидками.
В таблице приведены результаты работы турфирмы за последнюю
неделю до окончания сезона (количество дней до окончания сезона, цена
за путевку при продаже всех путевок – гарантированный платеж,
вероятность того, что фирма сможет продать тур):
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]