Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
71
1. Построить функцию полезности турфирмы. Диапазон
)(1)()( sUpSpUU
Дни
Цена за
шт., руб.
Вероятность
Прибыль
гарантированная
U
7
25000
0,8
(25000-15000)∙6 = 60000
0,8∙100+(1-0,8)∙0=80
5
15000
0,7
(15000-15000)∙6 = 0
70
3
12000
0,65
-18000
65
2
10000
0,3
-30000
30
0
4000 0 -66000
0
изменения функции полезности принять от 0 до 100. Для этого сначала
вычислить гарантированную прибыль (в случае, если найдется группа
человек и купит все оставшиеся путевки). Задать значения функции
полезности на концах интервалов. Рассчитать полезность
гарантированной суммы:
Построить график.
2. Для каждого значения гарантированного платежа определить
значение вероятности р*, при которой этот платеж будет ОДО.
Рассчитать значения функции полезности U* для полученных р*.
Добавить ее на график.
3. Сравнить р и р*. Сравнить графики U и U*. Склонен продавец
туристических путевок к риску, или нет?
Решение
1. Рассчитаем гарантированную прибыль и полезность
результатов любого из возможных исходов нашей задачи. Введем
произвольные значения полезностей выигрышей для лучшего и
худшего исходов:
Введем произвольные значения полезностей выигрышей для
лучшего и худшего исходов:
2. Для каждого значения гарантированного платежа определим
значение вероятности р*, при которой этот платеж будет ОДО.
Рассчитаем значения функции полезности U* для полученных р*:
U (90000) = 100; U (-36000) = 0.
72
p*
U*
0,807692308
80,76923077
0,423076923
42,30769231
0,307692308
30,76923077
0,230769231
23,07692308
0
0
Построим график функции полезности (рис. 10).
Рис. 10
Вывод: p > p*, U > U*, функция вогнутая, следовательно,
продавец туристических путевок к риску не склонен.
Задача для самостоятельного решения
Задача. Хозяин мясной лавки продает свежее мясо. К концу дня
у него осталось 20 кг мяса. Закупает он мясо по 100 руб. за кг. Днем
продает в среднем по 180 руб. за кг. Но вечером мясник готов отдать
мясо оптом с большими скидками, так как на следующий день оно
будет испорчено. Далее приведены результаты опроса мясника в
73
течение последних двух часов работы магазина (чем меньше времени
Время, ч
Цена за 1 кг (опт)
Вероятность
2
140
0,8
1,5
130
0,75
1
120
0,7
0,5
100
0,55
0,2
70
0,3
0
50
0
)(1)()( sUpSpUU
до закрытия, тем меньше вероятность того, что он сможет продать
товар). В первом столбце – время до закрытия магазина. Во втором
столбце ‒ цена при продаже оптом всех 20 кг мяса (гарантированный
платеж). В третьем столбце – вероятность того, что мясо будет
продано по обычной цене. Если мясо не продается, мясник сдает его
по цене 50 руб. за кг:
1. Построить функцию полезности продавца мяса. Диапазон
изменения функции полезности принять от 0 до 100.
Для этого сначала вычислить гарантированную прибыль (в
случае, если найдется оптовый клиент на все мясо). Задать значения
функции полезности на концах интервалов. Рассчитать полезность
гарантированной суммы:
.
Построить график.
2. Для каждого значения гарантированного платежа определить
значение вероятности р*, при которой этот платеж будет ОДО.
Рассчитать значения функции полезности U* для полученных р*.
Добавить ее на график.
3. Сравнить р и р*. Сравнить графики U и U
*
. Склонен продавец
к риску, или нет?
74
Лабораторная работа 10
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Цель работы: изучить применение функции полезности для
определения максимальной платы за риск и оптимальной величины
страхования.
Определение максимальной платы за риск
Пример 1
Игроку необходимо принять решение: получить
гарантированный выигрыш или играть. Известно, что он может
выиграть 300 руб. с вероятностью 0,7 и 1500 руб. ‒ с вероятностью 0,3.
Ожидаемая величина выигрыша ОДО =300∙0,7+1500∙0,3 = 660 руб.
Рассчитаем полезность ОДО для данной игры:
U(660) = ln660 = 6,49.
Таким образом, полезность отказа от игры при получении
гарантированного выигрыша, равного 660 руб. (ОДО данной
игры), оценивается в 6,49 ютиля (ютиль ‒ условная единица
полезности).
Если ЛПР предпочтет игру, то 0,7∙U(300) + 0,3∙U(1500) =
= 0,8∙5,7 + 0,2∙7,3 = 5,45 ютиля.
Для рассмотренной логарифмической функции полезности
большей полезностью обладает вариант с получением
гарантированного выигрыша, равного ОДО, а не участие в игре
(6, 49> 5,45). Такое лицо, принимающее решение, не склонно к риску.
Определим, какую максимальную сумму пожелает заплатить
ЛПР, чтобы избежать игры, в которой с вероятностью 0,7 он
выигрывает 300 руб. и с вероятностью 0,3 выигрывает 1500 руб.
Переведем полезность игры в денежный эквивалент:
Exp (5,45) = 11,58 руб. С другой стороны, сумма ожидаемого
выигрыша в случае игры (ОДО) равна 660 руб. Поэтому, чтобы
избежать игры, ЛПР согласится заплатить максимальную сумму,
равную 660 – 11,58 = 648,42 руб.
Страхование на случай неудачного решения
Пример 2
Воспользуемся теорией полезности для иллюстрации того, как
следует обосновать приобретение или продажу страхового полиса.
75
Если продавец и покупатель страхового полиса были бы безразличны
U
2000lg1042000lg)101(
10
2
10
2
U
к степени риска, то тогда они не смогли бы прийти к соглашению на
основе компромисса, так как удача одного приводит к неудаче
другого. Многие не склонны к действиям, связанным с риском, и
предпочитают платить больше, чем следовало бы, чтобы избежать еще
больших потерь.
Для примера предположим, что кто-то имеет дом стоимостью
40 тыс. долларов в активе. Чтобы упростить задачу, будем считать, что
в течение любого данного года дом либо останется нетронутым, либо
будет полностью разрушен. Располагая данными о домах подобной
конструкции в области, где он живет, владелец дома пришел к
заключению, что вероятность разрушения дома в течение года
составляет 1 %. Как владелец дома, так и страховая компания не
склонны к риску. Предполагается, что функция полезности имеет
логарифмический вид и задается уравнением U(долл.) = lg
(долл.). На
10
рис. 11 показан диапазон изменения полезности страхования в
интервале величин страхового полиса от 5000 до 50000 долл.
Рис. 11
К концу года величина средней полезности
домовладельца при отсутствии страхового полиса будет:
.
для имущества
76
Это уравнение отражает тот факт, что с вероятностью 0,99
4160020001042000)101(
22
'U
'U
'U
U
61.4)102.4(lg'
max
4
10
UPU
)10410(lg10)10(lg)101(
47
10
27
10
2
2
минмин
PPU
домовладелец будет иметь к концу года актив на сумму 42000 долл. и с
вероятностью 0,01 – лишь 2000 долл. Из уравнения получим U= 4,61.
Денежный эквивалент этой полезности равен антилогарифму от 4,61,
т.е. 40700 долл. Если домовладелец был безразличен к степени риска,
то среднее значение полезности в долларах для него было бы равно
долл.
Следовательно, ценность имущества по восприятию
домовладельца ниже, чем полученная прямыми расчетами, так как он,
по существу, не склонен рисковать, чтобы не оказаться перед фактом
больших потерь.
Домовладелец готов застраховать свой дом на 40 тыс. долл.,
если для него полезность при страховании
превышает U.
Максимальный страховой полис, приемлемый для страхующегося,
вычисляется путем приравнивания
полис привел бы к значению
приемлемый страховой полис обозначить через Р
и U, так как большой
ниже
Если максимальный
, то получим
макс
.
Из этого выражения следует, что Р
=1300 долл. Если
макс
домовладелец безразличен к степени риска, то максимальная сумма,
на которую он готов застраховаться, составит 400 долл.
Определим теперь минимальную величину страхового полиса,
приемлемую для страховой компании. Эта величина вычисляется
путем приравнивания средней полезности для компании в двух
случаях: когда страхование не производится (U1) и когда оно
производится (U2). Если страховая компания имеет в активе 10 млн.
долларов, то U1=lg10107=7. При страховании
,
где Р
– минимальная величина полиса, приемлемая для страховой
мин
компании. Актив компании в случае страхования и без него почти
77
одинаков. Следовательно, можно считать, что в рассматриваемом
xU
интервале величин страхового полиса полезность меняется линейно,
т.е. при малых изменениях своего актива страховая компания
безразлична к степени риска. Поэтому
Р
= (вероятность выплаты)∙(размер выплаты)=0,01∙4∙104=400 долл.
мин
Таким образом, страховой полис в размере от 400 до 1300 долл.
оказывается приемлемым как для домовладельца, так и для страховой
компании.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Кэрол Лейн уже 10 лет как закончила Стэнфордскую
высшую школу бизнеса и сейчас имеет возможность купить новый
великолепный автомобиль Lexus. Она позвонила в страховую
компанию и узнала, что ежегодная страховая премия за безаварийную
езду составляет $1000 с обязательным платежом $250 (т.е. страховой
полис стоит $1250, из которых ей возвращается $1000, если она не
попадет в аварию в текущем году). Поскольку Кэрол очень аккуратно
водит автомобиль, вероятность аварии в следующем году составляет
0,5 %, стоимость потерь в случае аварии составляет $50000. При
покупке автомобиля она сразу внесла все деньги (купила не в
рассрочку), поэтому ей не требуется обязательная страховка.
Возникает вопрос: страховать Lexus или не страховать?
1. Получить решение, исходя из ОДО.
2. Получить решение с использованием концепции полезности.
Для построения функции полезности использовать экспоненциальную
функцию с r = 10000.
Задача 2. Вы имеете логарифмическую функцию полезности и
текущий уровень вашего благосостояния $ 5000. С вероятностями 0,5
можно выиграть и проиграть $ 1000. Если вы можете купить
страховой полис, который полностью устраняет риск, за $ 125, купите
вы его, или предпочтете игру? Допустим, вы играли (без покупки
полиса) и проиграли. Будете ли вы в этом случае покупать полис?
Задача 3. ЛПР имеет ФП
. Его начальное состояние равно
$ 4. У него есть лотерейный билет, по которому он с вероятностью 0,5
78
может выиграть $ 12, либо $ 0. Какова ожидаемая полезность игры?
xU 210
Какова наименьшая сумма, за которую он продал бы этот билет?
Задача 4. Пусть ФП Неймана-Моргенштерна для ЛПР имеет вид
Он имеет возможность вложить $ 25000 в строительство
.
бара и гриля. С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой капитал, или
выиграет $ 32000. Следует ли инвестировать вообще? В случае
инвестирования какова его ожидаемая полезность?
79
Лабораторная работа 11
n
i
ii
BAPBPAP
1
)()()(
)(iBAP
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
Цель работы: освоить метод принятия оптимальных решений в
условиях частичной неопределенности с использованием
дополнительной статистической информации о состоянии природы.
В теории ПР статистические игры являются основным
подходом, если решение принимается в условиях частичной
неопределенности.
Статистические модели представляют собой игру человека и
природы с использованием дополнительной статистической
информации о состоянии природы. Но основным отличием
статистической игры от игры с природой – это возможность человека
провести статистический эксперимент для получения дополнительной
информации о стратегиях природы.
Пусть В1, В2, … Вn – полная группа несовместных событий.
Событие А появляется совместно с каким-либо событием В
. Требуется
j
произвести количественную переоценку вероятностей событий
В1, В2, … Вn. При этом известны вероятности событий Р(В1), Р(В2), … Р(Вn)
до опыта (априорные). Требуется определить вероятности после опыта
(апостериорные).
Теорема
Если событие А может наступить только при условии появления
одного из событий В1, В2, … Вn, образующих полную группу
несовместных событий, то вероятность наступления события А равна
сумме произведений вероятностей каждого из событий В1, В2, … Вn на
соответствующую условную вероятность события А:
, (39)
где P(Bi) – вероятность события Вi;
‒ условная вероятность
наступления события А в случае, если событие В уже произошло.
Апостериорные вероятности представляют собой условные
вероятности Р(В1│А), Р(В2│А), … Р(Вn│А). Вероятность совместного
наступления события А с любым событием Вi по теореме умножения
равна
80
)()()()()(
jjjj
BAPBPABPAPABP
, (40)
n
i
ii
jjjj
j
BAPBP
BAPBP
AP
BAPBP
ABP
1
)()(
)()(
)(
)()(
)(
374,0
0,98
99,037,0
)(
)()(
)(
11
1
AP
BAPBP
ABP
329,0
0,98
98,033,0
)(
)()(
)(
22
2
AP
BAPBP
ABP
отсюда при Р(А)≠0
. (41)
Пример 1
В упаковочный отдел конфеты поступают с трех конвейеров.
Первый завод поставляет 37 % деталей, второй ‒ 33 %, третий – 30 %.
Вероятность брака первого конвейера ‒ 0,01, второго – 0,02, третьего –
0,03. Определить вероятность того, что в наполненную коробку без
нарушения оболочки и внешнего вида конфет попали конфеты
первого, второго и третьего конвейера.
Событие А ‒ конфета без брака
Р(А) – полная вероятность того, что конфета без брака.
Р(В1│А), Р(В2│А), Р(В3│А) – условные вероятности того, что
конфета без брака поступила с первого, второго и третьего конвейера,
соответственно.
Р(А│В1), Р(А│ В2), Р(А│ В3) – вероятности того, что конфета,
поступившая с первого, второго и третьего конвейера, без брака.
Р(А) – вероятность того, что изделие, пришедшее в сборочный
цех, исправно.
Таким образом, дано:
Р(А│В1)=0,99 Р(А│ В2)=0,98 Р(А│ В3)=0,97
Р(В1)=0,37 Р(В2)=0,33 Р(В3)=0,3.
Требуется определить:
Р(А), Р(В1│А), Р(В2│А), Р(В3│А).
Решение
Р(А)=Р(В1)∙Р(А│В1)+Р(В2)∙Р(А│В2)+Р(В3)∙Р(А│В3)= 0,37∙ 0,99+
+0,33∙0,98+0,3∙0,97=0,98;
;
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]