Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
2
0 1 / 2
2 ,
k k Z
2 1
2
0,1, 2,...
n
0,
0
n
, 1 / 2
2
.
f x t D t dt f x t D t dt
0,
.
S x f x t f x t D t dt
f x
2
,
n
Лемма 6.1 (о свойствах ядра Дирихле).
1) Ядро Дирихле – четная непрерывная
причем
2)
3)
4)
D n
n
D t dt D t dt
n n
2
0
D t dt
n
,
;
n
sin
D
n
при
2sin
2
.
Свойства 1 и 2 непосредственно следуют из определения ядра
Дирихле, поэтому их доказывать не будем. Свойство 3 доказано в разделе
1.3.3. Свойство 4 следует из теоремы Римана 6.2, если взять
1
.
sin / 2
t
Учитывая
f t p n
-периодичность ядра Дирихле, для частичной суммы ряда
Фурье получаем
1 1
S x f x D x x dx t x x
n n
x
0
0 0
x
0
Разбивая интеграл на два
1
0 0 0
n n
функции и
2 -периодичные
00
f D
и приводя второй интеграл путем
-периодическая функция,
,
n
; (6.14)
изменения знака переменной к промежутку
1
0 0 0
n n
Таким образом, если
интегрируемая на отрезке
0
–
-периодическая функция, абсолютно
, то сходимость ее ряда Фурье определя-
ется сходимостью интеграла (6.15), зависящего от параметра n.
З а ме ч ан и е. Перейти к пределу под знаком интеграла нельзя, так как
предел ядра Дирихле при
не существует.
101
, получаем
(6.15)
2
f x
,
0
x
0
.
n t dt
f x t f x t
,
,
f x
2sin / 2
n
0
S x
.
f x t f x t D t dt
f x
0
x
0
x
Теорема 6.3 (Римана, принцип локализации). Поведение ряда
Фурье
на
нимаемых этой функцией в непосредственной близости рассматриваемой
точки, т. е. в сколь угодно малой ее окрестности.
-периодической функции
, в некоторой точке
зависит исключительно от значений, при-
, абсолютно интегрируемой
Взяв произвольное
Если второй из них переписать в виде
0 0
f x t f x t
0 0
то станет ясно, что множитель при синусе
является абсолютно интегрируемой на
функция
рывна, а значит, ограничена.
Согласно лемме Римана интеграл (6.16) при
Следовательно, и существование предела для частичной суммы ряд
Фурье
нием интеграла
чающие изменению аргумента в промежутке от
совпадают, то независимо от их значений вне этой окрестности соответствующие им ряды Фурье ведут себя в точке
дятся (к одной и той же сумме), либо оба расходятся, причем сами коэффициенты Фурье этих рядов могут оказаться различными.
n
Однако в этот интеграл входят лишь значения функции
Следствие. Если значения двух функций в некоторой окрестности
– абсолютно интегрируема, а функция
, и величина этого предела целиком определяются поведе-
2sin / 2 2
g t
1
0
n n
, разобьем интеграл в (6.15) на два
1
t
sin
0 0
2sin / 2
t
функцией, так как на
, (6.16)
(6.17)
1
стремится к нулю.
0 0
x
одинаково: либо оба схо-
0
до
x
0
– непре-
t
, отве-
.
102
2
,
dx
0,
2
dx
x
0,
1
2sin2x
,
f x
,
2sin2f x
x
,
0,
2
dx
x
,
0
,
f x
x
2sin2f x
x
2sin2f x f x
x
0x
dx
0
2
dx
x
6.3.2. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке
Докажем сначала следующую теорему.
Теорема 6.4. Для
руемой на
сходятся и расходятся одновременно.
, интегралы
-периодической функции f, абсолютно интегри-
f x
0
,
x
и
0
f x
2sin
Пусть
руема по Риману на
на
интеграл
была интегрируема по Риману (такое есть, так как по условию f абсолютно интегрируема).
мость на этом отрезке функций
, следовательно,
f x
2sin
Выберем так, чтобы на любом отрезке
Из интегрируемости по Риману на
Следовательно, интегралы
. Функция
. Функция
сходится.
x
непрерывна, а значит, интегри-
интегрируема на
функции f следует интегрируе-
и
f x
x
0
. Кроме того,
при
,
абсолютно интегрируема
, т. е.
,
.
и
0
f x
2sin
функция f
сходятся
и расходятся одновременно.
103
f x
2
,
f x
0,
dt
f x
0 0
2
0 0
0 0
2
0 0
f x t f x t D t dt D t dt
f x t f x t D t dt f x f x D t dt
f t D t dt
n t dt
0t
1 1
t t
dt
dt
f t
2sin / 2
Теорема 6.5 (признак Дини). Пусть
ция, абсолютно интегрируемая на
непрерывности или точкой разрыва первого рода функции
некотором
то ряд Фурье функции
Пусть
(6.15), получаем
1 1
f f x t f x f x t f x
1
1 2
0 0
0 0
сходится интеграл
0
*
x
S x
n
f x t f x t D t dt
0
1
*
x n
0
0 0f x t f x f x t f x
сходится в точке x к значению
f x f x
f x f x
n n
n n
1 1
0
t
n
*
f t
x
2sin / 2 2
–
-периодическая функ-
. Тогда, если x является точкой
, (6.18)
. (6.19)
. Тогда, учитывая
f x f x
2
0 0
f x f x
2
0 0
sin
t
.
и при
Так как при
следует сходимость интеграла
сходится, так как
ничена на
, , 0
2sin / 2
*
– абсолютно интегрируема, а
x
.
, то из сходимости интеграла (6.18)
*
f t
x
2sin / 2
t
0
104
. Интеграл
*
f t
x
2sin / 2
1
t
t
– огра-
dt dt dt
2sin / 2
f t
0,
lim sin 0.
dt
dt
x y x y
0 0
2
f x
g x
0
x
0 0
2
Следовательно, сходится интеграл
* * *
f t f t f t
а значит, функция
применяя лемму Римана, получаем
З а ме ч ан и е. Вместо существования интеграла (6.18) достаточно предположить существование интегралов
x x x
2sin / 2 2sin / 2 2sin / 2
t t t
0 0
lim
n
n
0
*
x
1 1
t
абсолютно интегрируема на
t
0 0
f x f x
t
2
n t dt
и
0
S x
n
*
f t
x
2sin / 2 2
0
0f x t f x
,
0f x t f x
. (6.20)
t
. Тогда,
Сходимость интеграла (6.18) следует из сходимости интегралов
(6.20) в силу неравенства треугольника:
Следствие 1. Если условия теоремы выполнены, то в любой регулярной точке6 функции f (в частности, во всех ее точках непрерывности)
ряд Фурье этой функции сходится к ее значению в рассматриваемой точке,
а в точках разрыва 1-го рода к значению
Следствие 2. Функции
разрыва и отличающиеся друг от друга лишь в этих точках, представимы
одним и тем же рядом Фурье.
6
Точка
называется регулярной по Лебегу, если
f x f x
и
105
.
. (6.21)
, имеющие одинаковые точки
f x f x
f x
0
0 0
.
f x
0
x
f x t f x Lt
0L
0 1
0
x
0
f x
1
1
L
t t
f x
0
x
0
f x
0 0
f x t f x
t
0 0
f x t f x
t
f x
0
x
0
x
0 0
2
,
2
2
f
1
x
,
Используя различные признаки сходимости, из признака Дини можно
получить ряд частных признаков сходимости ряда Фурье.
Теорема 6.6 (признак Липшица). Если функция
в точке
0 0
ее ряд Фурье сходится в точке
При
и для достаточно малых t выполняется условие Липшица
, где
к
и
– некоторые константы, то
.
интегралы (6.20) сходятся как собственные. Если
f x t f x
0 0
, (6.22)
1
и, так как справа стоит интегрируемая функция, то интегралы (6.20) существуют, даже если являются несобственными.
Следствие. Если функция
дифференцируема в точке
крайней мере, имеет обе конечные односторонние производные, то ряд
Фурье сходится, причем сумма его равна
.
Так как
f x
lim
,
0
t
0
f x
lim
,
0
0
t
то наличие конечных односторонних производных обеспечивает выполнение условий (6.22).
Теорема 6.7 (признак Дирихле–Жордана). Если функция
некотором промежутке, содержащим точку
ние, то ее ряд Фурье в точке
сходится к
имеет ограниченное измене-
f x f x
0 0
непрерывна
, то
или, по
на
.
6.3.3. Характер сходимости рядов Фурье
Рассмотрим ряды Фурье для интегрируемых функций, квадрат которых также интегрируем (в собственном или несобственном смысле) на
отрезке
Теорема 6.8. Если функция интегрируема с квадратом, то она абсолютно интегрируема. Обратное, вообще говоря, неверно.
Первое утверждение вытекает из неравенства
зательства второго утверждения достаточно рассмотреть функцию
на отрезке
.
1
f
. Для дока-
.
106
f x
,
S x
f x S x dx f x T x dx
T x
T x A kx B kx
f x T x dx
f x dx A f x kx dx B f x kx dx
f x dx
0 0
A a
k k
A a
k k
B b
1, 2,
k
T x
S x
f x
Теорема 6.9 (минимальное свойство коэффициентов Фурье). Пусть
функция
ее сумма Фурье степени n, то
где минимум в правой части равенства берется по всем тригонометрическим многочленам
Пусть
квадратные скобки в выражении
и используя соотношения (6.9), (6.10) получаем
2 cos sin
Из полученного выражения видно, что выражение (6.24) достигает
минимума тогда, когда слагаемое
принимает наименьшее значение, т. е. когда
Следовательно,
ции
интегрируема с квадратом на
n
A
n k k
f x T x dx f x dx A B
A
0
2
2
2 2 2
f x dx a b
2
n k k
A a A
0 0 0
2 2
A a
0 0
2
n
2 2
n n
min
T x
n
степени не выше n.
n
0
2
n
1
k
2
2
a
0
2
,
является суммой Фурье
cos sin
1
k
2 2 2
k k
n n
2 2
A B a A b B
k k k k k k
1 1
k k
n
k k
1
k
A a
0 0
2
2
n
A a B b
k k k k
1
k
,
2
n
(6.24)
2
n
A
0
2
k
2
2
n
A a B b
k k k k
1
k
2 2
,
n
.
. Тогда если
n
(6.23)
. Тогда, открывая
1
2 2
.
порядка n функ-
–
107
, ,
k k
a a b
k
a b f x dx
f x S x dx f x dx a b
0
n
,
lim 0
2 2 2
k k
f x dx a b
,
,
f x
a kx b kx
,
Следствие. Если
0
, где
, суть коэффициенты Фурье
функции f, то справедливо неравенство Бесселя:
2
a
0
2
2 2 2
k k
1
k
1
. (6.25)
Из полученного при доказательстве теоремы соотношения
2
n k k
2 2 2
2
n
a
0
2
1
k
,
следует, что
2 2 2
f x dx a b
2
n
a
0
2
k k
1
k
.
Это неравенство справедливо при любом натуральном n. Переходя в нем
к пределу при
, получаем неравенство Бесселя.
Теорема 6.10 (Ляпунова7). Если функция f интегрируема с квадратом
на отрезке
, то
f x S x dx
n
n
2
,
(т. е. ряд Фурье функции f сходится к ней в смысле среднеквадратичного)
и справедливо равенство Парсеваля
1
2
a
0
2
1
k
. (6.26)
Теорема 6.11 (достаточное условие равномерной сходимости ряда
Фурье) [3]. Если функция f на
непрерывную производную и удовлетворяет условию
непрерывна, имеет кусочно-
f f
то тригонометрический ряд Фурье функции f равномерно и абсолютно
на всем отрезке
сходится к самой функции f.
Исходя из теории сходимости функциональных рядов достаточно
доказать, что ряд, составленный из модулей членов тригонометрического
ряда Фурье функции
сходится равномерно на сегменте
a
0
2
cos sin
k k
1
k
.
(6.27)
,
7
Доказательство этой теоремы будет рассмотрено в курсе функционального анализа
108
k k
a b
k
k
f x
f x
f x
,
f x
f x
k k
f x kx dx k f x kx dx kb
k k
f x kx dx k f x kx dx ka
k k
k k
k k
2
1 1
k k
2
1 1
k k
2 2
k k
2
k
f x
В силу признака Вейрештрасса для доказательства равномерной сходимости ряда (6.27) достаточно доказать сходимость мажорирующего его
числового ряда
Обозначим через
и
, доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе
точек, в которых не существует производная функции
полусуммой правого и левого предельных значений производной).
Производя интегрирование по частям и учитывая, что функция
непрерывна на
и удовлетворяет условию
следующие соотношения, связывающие тригонометрические коэффициенты Фурье функций
1 1
1 1
sin cos
Таким образом,
1
k
. (6.28)
тригонометрические коэффициенты функции
(например,
и
:
cos sin
f f
, получаем
,
.
a b
k k
и для доказательства сходимости ряда (6.28) достаточно доказать сходимость ряда
k
k k
1
Сходимость ряда (6.29) вытекает из неравенств
k
и из сходимости рядов
2
k
2
1
k
,
,
k
11k
в силу равенства Парсеваля (6.26) для кусочно-непрерывной функции
, а второй – в силу интегрального признака Коши–Маклорена.
109
. (6.29)
2
k
2
, первый из которых сходится
f x a kx b kx
g x A kx B kx
cf x qg x
cos sin
ca qA kx cb qB nx
,
f x a kx b kx
,
cos sin .
f x dx dx a kx b kx dx
F x f x dx
,
,
,
0
F x
F x A kx B kx
k
b
k k k
k
a
k k k
6.4. ОПЕРАЦИИ НАД РЯДАМИ ФУРЬЕ
Теорема 6.12 (линейность). Если
a
то
ca qA
0 0
Теорема 6.13 (о почленном интегрировании ряда Фурье). Пусть для
абсолютно интегрируемой на
дящийся или расходящийся)
Тогда
x x x
x
0 0 0
Рассмотрим функцию
Она является непрерывной (и, следовательно, абсолютно интегрируе-
мой на
F F f x dx a
Согласно теореме 6.11 тригонометрический ряд Фурье функции
равномерно сходится к этой функции, т. е.
Вычислим коэффициенты ряда (6.32):
1 1 sin 1
A F x kx dx F x f x kx dx
k
1 1 cos 1
B F x kx dx F x f x kx dx
k
cos sin
sin cos
0
2
A
0
2
2
k
cos sin
k k
1
k
cos sin
k k
1
k
k k k k
1
функции построен ряд Фурье (схо-
a
0
2
x
0
cos sin
k k
1
k
a
2
0
1
k
a
0
2
) и
A
0
2
cos sin
k k
1
k
kx
kx
,
,
.
k k
,
x
, (6.31)
.
0
. (6.32)
.
(6.30)
,
.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]