Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
2, 2
k
f x a x
ln5 ln 4
/2 /3
1 3
6k
/3 1
1 3
5
k
3k
k2
2
4
2k
k3
x e dt
3
10
1x
2
xe
2
!
k
x
2 2 2 1
! ! ! 2 1
t t x
1x
1 1 ...
4
1 10
1320
1 1 0.746
Тогда для
где
a
и
0
( ) ln5 ln 4
,
,
ak
k
/2
k
1 1 0
k k k
1 2
a
k
при
k
k k
5 4
и
1
k
1
x
k k
5 4
k k
/2 1
k
.
3
k
x
при
2
k
,
k
k
,
a
при
k
/3
k
В заключение покажем несколько практических применений теории
степенных рядов.
П р им е р 5.10. Найдем разложение в СР «неберущегося» (в элементар-
x
2
t
ных функциях) интеграла
ностью до
в точке
Подынтегральная функция
.
и вычислим этот интеграл с точ-
0
раскладывается во всюду сходящийся
степенной ряд следующим образом:
k
2
x
e
k
1
0
.
k
Согласно теореме 5.4 степенной ряд внутри множества сходимости
можно интегрировать почленно, следовательно:
k k k
k k k
1 1 1
k k k k
k
1
! 2 1 3 10 42 216 1320
, то
1 1 1 1 1
S
5
Подставив
Так как
x x
x dt dt
0 0 0
k k k
0 0
в (5.15), получим числовой ряд лейбницевского типа
k k
0
k
r
5
1
91
. (5.15)
и все три знака верные.
9 36 40
x x
2x
2x
4
2
1 2
k k
2x
2x
2 0
2
224 3
k
f x
,
a b
P x
,
a b
f x
0
P x
,
x a b
,
a b
0,1
,
a b
x b a t a
0 1 0
П р им е р 5.11. Найдем выражение для производной n-го порядка функ-
ции
y
Построим разложение в окрестности точки
Так как полученный СР можно дифференцировать в достаточно малой
окрестности точки
5.4. РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
1
2
y
9 36 40 4
МНОГОЧЛЕНАМИ [3]
в точке
1 1 1 1
2
x x
2 1
ky
9 2 4
x
1 3
4 2
0
k
, в самой точке
2
k
,
y
.
2
2
k
x
1 2 !
1 2
.
получим
k
k
9
x
:
.
2
Теорема 5.9 (теорема Вейерштрасса о равномерном приближении
многочленами непрерывной функции). Если функция
на сегменте
равномерно сходящаяся на
многочлен
*Не ограничивая общности, можно ввести следующие ограничения.
1. Вместо сегмента
образуется в сегмент
2. Рассматривать лишь те функции, для которых
, то существует последовательность многочленов
к функции
с номером n, зависящим от , такой, что
n
P x f x
n
рассматривать сегмент
линейной заменой:
f f
92
непрерывна
n
, т. е.
.
.
. (5.16)
найдется
, так как он пре-
,
0 1 0
0,1
g x
0 1 0
g x
f x
f x g x
f x
0,1
0 1 0
0,1
2
n
1, 2, 3,...
n
n
Q x c x
n
c
1nQ x dx
n
c
n
1, 1
2 2
x nx
1
x dx x dx x dx
4 1
n n
Так как если функция не удовлетворяет условию (5.16), то, положив
мы получили бы непрерывную на
условию
предела равномерно сходящейся последовательности многочленов вытекало бы, что и
последовательности многочленов (так как разница
многочленом первой степени).
эту функцию на всю числовую прямую, положив ее равной нулю за пределами сегмента
непрерывной на всей числовой прямой.
тельных многочленов степени
у каждого из которых постоянная
этого заметим, что
g g
Итак, пусть
Рассмотрим следующую конкретную последовательность неотрица-
Не вычисляя точного значения постоянной
g x f x f x f f
функцию
, и из возможности представления
представима в виде предела равномерно сходящейся
непрерывна на
, причем полученная функция будет равномерно
,
1
, (5.17)
n n
выбрана так, чтобы
1
1
x
справедливо неравенство
n
1 1
. (5.19)
f f
и
:
2
. (5.18)
,
, удовлетворяющую
в виде
является
. Продолжим
, оценим ее сверху. Для
Применяя неравенство (5.19) и учитывая, что
1 1 1/
1 0 0
n n n
2 2 2
1 2 1 2 1
1/
n
2 1
0
2
nx dx
93
1
n
n
. (5.20)
3
, получаем
n
c n
0 , 1
n
0
Q x
,1
0, 1
P x f x t Q t dt
P x
2
n
P x f x
f x
0,1
P x f x t Q t dt
t x
P x f t Q t x dt
P x
2
n
P x
f x
0,1
f x
0
2
Из (5.17), (5.18) и (5.20) заключаем, что
Из (5.21) и (5.17) вытекает, что
Из (5.22) следует, что при любом фиксированном
тельность неотрицательных многочленов
номерно на сегменте
Положим для любого
и убедимся в том, что функция
Так как изучаемая функция
, интеграл (5.23) можно записать в виде
Заменяя в последнем интеграле переменную t на
Из (5.25) и (5.17) ясно, что функция
член степени
Остается доказать, что последовательность
равномерно на
.
x
.
x
n n
n n
n n
. Для фиксированного в силу равномерной непре-
. (5.21)
n
0 1
Q x n
1
1
n
n
1 x
x
1
0
n
n
есть многочлен степени
0, 1
. (5.24)
равна нулю за пределами сегмента
представляет собой много-
n
2
. (5.22)
последова-
сходится к нулю рав-
(5.23)
, причем
.
, получаем
. (5.25)
сходится к
n
рывности
на всей бесконечной прямой, найдется
x y
f x f y
при
94
. (5.26)
такое, что
f x
0,1
f x A
Q x
P x f x
0,1
P x f x f x t f x Q t dt
f x t f x Q t dt
A Q t dt Q t dt A Q t dt
2
2
Заметим еще, что, так как
ограничена на этом сегменте, а значит, и всюду на бесконечной прямой.
Это означает, что существует постоянная A такая, что для всех x
Используя (5.18), (5.22), (5.26) и (5.27) и учитывая неотрицательность
, оценим разность
точно больших номеров n справедливо неравенство
2 2
Для завершения доказательства теоремы заметим, что для всех доста-
n n
n n n
1
n
1
1
2
4 1
непрерывна на сегменте
. (5.27)
1
1
A n
x
.
1
2
n
n
.
4 1
A n
, она и
n
2
.
, ,
A
2 /T
1, 2, ...
k
1
T
2
T
1 2
T T
t
.
t dt t dt
n k k
k k
t t
0 0
2
a A
k k k
k k k
k
t a t b t
t a t b t
Глава 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
6.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной)
является функция
называют гармоникой с амплитудой A, частотой и начальной
фазой . Период гармоники –
Свойства периодических функций
1. Константа является периодической функцией с произвольным
периодом.
2. Сумма, разность, произведение и частное периодических функций
с одним и тем же периодом T – периодические функции с тем же периодом.
3. Если T – период функции, то величина Tk,
ется периодом этой функции.
4. Если
и
функции.
5. Если
конечном промежутке функция, то
6. Сумма конечного числа гармоник с общим периодом T
является T-периодической функцией, причем если сходится ряд
то функция-сумма
З а м е ч а н и е . Применив к равенству (6.1) формулу синуса суммы и положив
,
тригонометрического многочлена степени n:
и соответственно тригонометрического ряда:
sinA t
, где
– постоянные. Эту функцию
.
также явля-
– периоды функции, то
также периоды этой
– периодическая с периодом T интегрируемая на любом
T T
t A A t
1
k
lim
n
sin
a A
n
a
0
n k k
2
1
k
a
0
2
1
k
n
0
1
k
sin
A t
2
sin
0
2
k
(6.1)
T
k
,
T
также является T-периодической.
n
,
cos
b A
2 2
k k
cos sin
,
, получим общий вид
T T
2 2
k k
cos sin
k k
T T
. (6.3)
. (6.2)
96
t
a t b t
a t t dt
k
b t t dt
k
t
t
t
t
t a t b t
t
t
T
t
x t t
T
2
x
f x a kx b kx
2
6.2. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ
Формально построенный для T-периодической функции
тригоно-
метрический ряд
a
0
2
1
k
2 2
k k
cos sin
k k
T T
, (6.4)
коэффициенты которого вычисляются по формулам
T
2 2
k
k
T T
0
T
2 2
T T
0
cos
sin
называется тригонометрическим рядом Фурье функции
k
,
k
,
, (6.5)
, (6.6)
.
З а ме ч ан и е 1 . Сходимость тригонометрического ряда Фурье функции
ряда будет совпадать с функцией
, вообще говоря, не означает, что функция-сумма
, поэтому договоримся о следую-
этого
щем обозначении: запись
a
0
2
1
k
означает лишь то, что функции
2 2
k k
cos sin
k k
T T
(6.7)
соответствует ряд Фурье, стоящий
справа. Знак «» можно заменить знаком «=» только тогда, когда будет
доказана сходимость ряда и равенство его суммы функции
.
З а ме ч ан и е 2 . Если в качестве новой независимой переменной
-периодической функции
чим
-периодическую функцию
примет вид
a
0
2
поэтому, не нарушая общности, при изложении теории можно рассматривать лишь
-периодические функции.
взять переменную
f x
cos sin
k k
1
k
97
2
, то полу-
, а разложение (6.7)
. (6.8)
m
0, 0
2 , 0
sin 0
,
k n
sin cos 0
k n
k n
a nx b nx S x
,
a S x kx dx
k
b S x kx dx
k
0
a
0 0
S x dx a dx a kx dx b kx dx a
2
kx nx k n x k n x
2
kx nx k n x k n x
2
kx nx k n x k n x
Определение коэффициентов тригонометрического ряда по методу
Эйлера–Фурье
Для тригонометрических функций, участвующих в разложении (6.8),
справедливы следующие соотношения4:
cos
mx dx
sin sin cos cos
kx nx dx
kx nx dx kx nx dx
m
m
,
mx dx
, (6.9)
,
0,
. (6.10)
,
Теорема 6.1. Пусть сумма тригонометрического ряда
a
определена на сегменте
0
2
cos sin
k k
1
k
, абсолютно интегрируема на нем, а сам
(6.11)
ряд допускает почленное интегрирование. Тогда этот ряд является тригонометрическим рядом Фурье своей суммы, т. е.
Для нахождения
1
k
1
k
cos
sin
,
,
, (6.12)
. (6.13)
проинтегрируем выражение (6.11) почленно
от до :
зованием известных формул тригонометрии
4
Эти соотношения легко доказываются непосредственным интегрированием с исполь-
1
2
sin sin cos cos
cos cos cos cos
sin cos sin sin
cos sin
k k
1
k
1
1
1
.
,
,
.
98
k
a
k
b
kx
kx
S x kx dx kx dx
n n k
a nx kx dx b nx kx dx a
S x kx dx kx dx
n n k
a nx kx dx b nx kx dx b
,
kx
2
k
Для нахождения коэффициентов
(6.11) на
cos
(
sin
) и проинтегрируем почленно по тому же про-
(
) умножим обе части равенства
межутку. С учетом (6.9), (6.10), получим:
cos cos sin cos
1
n
cos sin sin sin
1
n
cos cos
sin sin
a
0
2
.
a
0
2
.
Из полученных соотношений непосредственно вытекают формулы
(6.12), (6.13).
Следствие 1. Если равенство (6.11) выполняется всюду за исключением,
быть может, конечного числа значений (для одного периода), то утверждение теоремы остается справедливым.
Следствие 2. Пусть сумма тригонометрического ряда (6.11) определена на сегменте
, причем сам ряд сходится равномерно на этом
сегменте. Тогда этот ряд является тригонометрическим рядом Фурье своей
суммы.
Утверждение теоремы основывается на том, что равномерная сходимость – достаточное условие сходимости ряда к непрерывной, а значит,
абсолютно интегрируемой функции, и возможности его почленного интегрирования.
П р им е р 6 .1. Ряд
ерштрасса, так как ограничен сходящимся числовым рядом
k
sin
1
равномерно сходится по признаку Вей-
2
k
. Следо-
11k
вательно, является рядом Фурье своей суммы.
99
f t
,
a b
lim cos lim sin 0
f t pt dt f t pt dt
,
k k
a b
,
a b
k
f x
k
a
f x b kx
b f x kx dx
k
f x
f x a kx
a f x kx dx
k
2
f x
0
x x
f x dx
f x kx kx kx kx dx
f x k x x dx f x D x x dx
D k
Теорема 6.2 (Римана). Если функция
на
, конечном или бесконечном, то5
b b
p p
a a
Следствие. Коэффициенты Фурье
на
функции при
стремятся к нулю.
абсолютно интегрируема
.
абсолютно интегрируемой
Четные и нечетные функции
Если функция
нечетная, то коэффициенты
, как интегралы от
нечетных функций по симметричному промежутку, равны нулю, а значит,
разложение в ряд Фурье содержит только синусы:
k
1
k
Аналогично, если функция
sin
,
2
k
0
sin
,
.
является четной, то ряд Фурье содер-
жит только косинусы:
a
0
2
k
cos
k
1
,
2
k
0
cos
,
.
6.3. СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ
6.3.1. Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье. Принцип
локализации
Для того чтобы исследовать поведение ряда Фурье
функции
в какой-нибудь определенной точке
-периодической
, составим удоб-
ное выражение для его частичной суммы:
n
a
S x a kx b kx
0 0 0
n k k
1
Функция
5
Доказательство можно прочесть в [4]
2
1 1 1
n
n
1
1
k
n
2
1
k
n
1
cos
2
1
k
0
2
cos
cos sin
1
k
cos cos sin sin
0 0
0 0
называется ядром Дирихле.
n
.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]