Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
0
A
0x
k
F A
k
A b
k
a kx b kx
f
,
,
x x
x x
f x dx dx a kx b kx dx
,
f x
f x
f x a kx b kx
f x
f x a k kx b k kx a kx b kx
k k
a kb
k k
b ka
Для нахождения
в (6.32) положим
A
0 0
0
2
0
2
A
k
1 1
k k
:
,
1
k
(сходимость этого ряда доказана при доказательстве теоремы 6.11).
Подставив в (6.32) найденные значения коэффициентов, с учетом
(6.31) получим
x
f x dx F x
0
a
0
2
sin 1 cos
k k
1
k
k
,
и, следовательно, выполняется (6.30).
Следствие. Если
то для любого сегмента
x x x
x x x
– абсолютно интегрируемая на
такого, что
a
2
0
k
cos sin
k k
1
функция,
,
причем ряд, стоящий справа, сходится равномерно.
Теорема 6.14 (о почленном дифференцировании ряда Фурье). Пусть
на
f f
точек) производную
Тогда ряд Фурье для производной
задана непрерывная функция
, удовлетворяющая условию
и имеющая (исключая не более чем конечное множество
. Пусть для нее построен ряд Фурье:
a
0
2
cos sin
k k
1
k
.
может быть получен почленным
дифференцированием:
k k
sin cos cos sin
k k k k
1 1
a
0
2
Следовательно,
,
.
,
111
З а м е ч а н и е . При дифференцировании сходимость полученного ряда
Фурье надо устанавливать отдельно. При дифференцировании порядок
малости коэффициентов понижается и ухудшаются шансы на сходимость.
При интегрировании наоборот, порядок малости увеличивается, а значит,
сходимость получающегося ряда обусловлена сходимостью исходного.
При решении с помощью рядов Фурье задач математической физики часто приходится дифференцировать эти ряды (даже неоднократно). Поэтому существуют специальные методы обеспечения сходимости получаемых рядов. Например, «выделение плохо сходящихся частей по методу
Крылова» [8]. При этом сумма выделенной части, известная в конечном
виде, дифференцируется непосредственно, а для остающегося ряда стараются добиться столь высокого порядка малости коэффициентов, чтобы
и после дифференцирования получить равномерно сходящиеся ряды.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Виноградова И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу.
В 2 кн.: Кн.1: Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной
переменной: учебное пособие для университетов, пед. вузов / И. А. Вино-
градова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий; под ред. В. А. Садовничего. – М.:
Высшая школа. 2000.
2. Гельбаум Б. Контрпримеры в анализе / Б. Гельбаум, Дж. Олмстед;
под. ред. П.Л. Ульяновой. – М.: Мир, 1967.
3. Ильин В.А. Основы математического анализа. В 2 ч.: учебник для
вузов / В.А. Ильин В.А., Э.Г. Позняк. – М.: Наука; Физматлит, 1998.
4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: учебник для студен-
тов университетов и вузов. В 3 т / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Высшая школа,
1998.
5. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: учеб-
ное пособие. В 3 т / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Ша-
бунин; под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука, 2003.
6. Математический анализ в вопросах и задачах: учебное пособие /
В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев, А. А. Шишкин; под ред.
В. Ф. Бутузова. – М.: Физматлит, 2001.
7. Рояк С.Х. Элементы теории рядов: учебное пособие / С.Х. Рояк. –
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис-
числения. В 3 т / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1969.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля
— лемма 76
— неравенство 36
— преобразование 34
— признак сходимости ряда
— — числового 36
— — функционального 67
— теорема о равномерной
сходимости степенного ряда 82
Бесконечное произведение 41
— остаточное 41
— сходящееся 41, 44
— — абсолютно, условно 43
— расходящееся 41
— частичное 41
Дирихле
— ядро 100, 101
— признак сходимости ряда 36, 67
Гармоника 96
Коши
— критерий 7, 52, 62
— признак сходимости ряда
— — интегральный
(Коши–Маклорена) 14
— — радикальный 20
Необходимое условие
— равномерной сходимости
функционального ряда 63
— разложимости функции
в степенной ряд 83
— сходимости
— — бесконечного произведения 42
— — ряда 8
Неравенство
— Абеля 36
— Бесселя 108
Остаток ряда 5
— лейбницевского типа 29
Остаточное произведение 41
Признак сходимости ряда
—, Абеля 37, 67
—, Вейерштрасса 64
—, Дини 56, 73, 104
—, Дирихле 36, 67
— знакопостоянного
— —, Бертрана 23
— —, Гаусса 24
— —, Даламбера 18, 19, 23
— —, Коши
— —, — радикальный 20
— —, — интегральный
(Коши–Маклорена) 14
— —, Куммера 22
— —, логарифмический 24
— —, Раабе 23
— —, сравнения 11, 13
—, Лейбница 29
— Фурье 104, 106
Равенство Парсеваля 108
Ряд
— гармонический 7
— — обобщенный 16
— геометрический 6
—, группировка членов 28
— знакопостоянный 10
— лейбницевского типа 29
—, множество сходимости 34, 39, 61
—, необходимое условие
сходимости 8
—, остаток 5
— расходящийся 5
—, свойства 9
—, скорость сходимости 7, 27
— степенной 76
— —, лемма Абеля 76
— —, радиус, интервал,
множество сходимости 78, 79
— —, свойства 82
— —, теорема Коши-Адамара 77
—, сумма 5, 61
—, — частичная 5, 61
— сходящийся 5
— — абсолютно, условно 30
— Тейлора 84
— тригонометрический 96
— — Фурье 97
— функциональный 61
— —, множество сходимости 39, 61
— —, область определения 61
— — сходящийся
— — — поточечно 61
— — — равномерно 62
— Фурье 97
— —, неравенсто Бесселя 108
— —, минимальное свойство
коэффициентов 107
— —, признак сходимости 104, 106
— —, принцип локализации 102
— —, равенство Парсеваля 108
— —, сходимость 103, 107, 109
— числовой 5
Сходимость
— бесконечного произведения 41, 44
— функциональной последовательности
— — в точке 49
— — на множестве 49
— — — в среднем 58
— — — поточечная 49
— — — равномерная 50
— — — среднеквадратичная 58
— функционального ряда
— — в точке 61
— — на множестве 61
— — — поточечная 61
— — — признак Дини 73
— — — равномерная 62
— ряда 5
— — абсолютная, условная 30
Теорема
— Абеля о равномерной сходимости
степенного ряда 82
— Вейерштрасса о равномерном
приближении 92
— Коши об абсолютно сходящемся
ряде 32
— Коши-Адамара 77
— Ляпунова 108
— Римана
— — об абсолютно интегрируемой
функции 100
— — об условно сходящемся ряде 32
— —, принцип локализации 102
Тригонометрический
— многочлен 96
— ряд 96
— — Фурье 97
Функциональная последовательность
— монотонная 49
—, область определения 49
— равномерно ограниченная 49
— сходящаяся
— — в точке 49
— — на множестве 49
— — — в среднем 58
— — — поточечно 49
— — — равномерно 50
— — — —, свойства 54
Функциональный ряд
—, область определения 61
— сходящийся
— — в точке 61
— — на множестве 61
— — — поточечно 61
— — — равномерно 62
— — — —, свойства 70
Ядро Дирихле 100, 101
Светлана Хаимовна Рояк
ТЕОРИЯ РЯДОВ
Учебное пособие
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка С.Х. Рояк
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК.005-93.(ОКП)
Подписано в печать 15.03.2022. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 150 экз.
Уч.-изд. л.6,74. Печ. л. 7,25. Изд. № 150/21. .
Заказ № 104. Цена договорная.
Новосибирского государственного технического университета
Отпечатано в типографии
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]