Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
1
1
4
3
1
3
k
1 1
2 1 3 2 2 1 3 2
m m m m
2
3
1
3
k
4 2
3 3
Следовательно, ряд (5.5):
сходится при
расходится при
,
13x
.
13x
Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости.
При
x
получим числовой ряд
k
k
k
1
2 1
k
, (5.6)
который расходится, так как
k
2 1
2 1 2 1
1
m
1 1 1
m m m
1
k
2 1 2
m m
2 1 2
m m
2 1 3 2 3
m m
2 1 2 1
m m
1 1
2 1 2 1
m m
k
k
2 1 2
m m
1 1
k
1
3
Первый ряд в сумме сходится по признаку Абеля, а второй расходится,
следовательно, ряд (5.6) расходится.
При
x
получим числовой ряд
2 1
k
k
1
k
k
расходимость которого доказывается аналогично доказательству расходимости числового ряда (5.6).
Таким образом, множеством сходимости СР (5.5) будет интервал
,
.
81
,
k
a x
,
q q
k
a x
q r
k
a q
k
a x
,
q q
n
a x
,
q q
k
a x
x q
0
x
k
x
x
,
A
,
,
5.2. СВОЙСТВА СТЕПЕННОГО РЯДА
Теорема 5.2 (теорема Абеля о равномерной сходимости степенного
ряда). Степенной ряд
вида
, содержащемся в множестве сходимости.
k
Пусть r – радиус сходимости ряда
вой ряд
k
рантой ряда
n
сходится равномерно на
n
0
Если ряд
сходится абсолютно (в силу теоремы 5.1), являясь мажо-
k
0
k
0
k
0
на отрезке
сходится и в точках
k
k
мость ряда на промежутке, содержащем точку
сходится равномерно на любом отрезке
k
0
k
, то по признаку Вейерштрасса ряд
.
и
k
0
, то равномерную сходи-
0
. Так как число-
, получаем с помощью
признака Абеля с учетом равенства
k k
a x a x
k k
k k
0 0
0
.
0
З а м е ч а н и е . Согласно теоремам 5.1 и 5.2 степенной ряд на любом
отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости, сходится
абсолютно и равномерно.
Теорема 5.3. Сумма степенного ряда непрерывна на его множестве
сходимости.
Пусть x – произвольная точка множества сходимости A. Выберем
некоторый отрезок, такой что
На
члены ряда непрерывны, а сам ряд сходится равномерно
x
и
,
.
в силу предыдущей теоремы. Тогда в силу теоремы 4.6, его сумма непрерывна на
, а значит, и в точке x. Таким образом, мы доказали, что
сумма ряда непрерывна в произвольной точке множества сходимости,
т. е. на всем множестве сходимости.
82
a x S x
x A
,
S x C r r
1
k
x r r S x ka x
1
k
x A S u du x
k k k k k
k a a a a a
k k k k
a a a a
f x
x r x r
k
a x x
f x
f x
x r x r
Теорема 5.4. Пусть
сходимости r и множеством сходимости A. Тогда:
1
1)
2)
причем радиус сходимости полученных рядов равен r.
x
0
Доказательство следует из теоремы Абеля 5.2 и теорем о почленном
дифференцировании и интегрировании ФР 4.9 и 4.8 . Утверждение о радиусе
сходимости следует из теоремы Коши – Адамара 5.1:
1)
2)
k
lim 1 lim lim lim lim
k k k k k
lim lim lim lim lim
k k k k k
a
k
k
1 1
1
k k k k
k
k
k
k
0
и
a
k
1
k
0
k
k k k k
,
,
,
1
– степенной ряд с радиусом
1
k
,
k
k
1
k
k
1
k
1
1
;
.
Следствие. На множестве сходимости степенной ряд можно интегрировать и дифференцировать почленно произвольное число раз. Полученные при этом степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что
и исходный ряд.
5.3. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННОЙ РЯД
Говорят, что функция
разложена в СР, если существует СР
на интервале
0
k
в указанном интервале.
Теорема 5.5 (необходимое условие разложимости функции в СР).
Для того чтобы функция
,
0 0
, необходимо, чтобы эта функция имела на указанном интер-
могла быть разложена в СР на интервале
вале производные любого порядка.
83
k
,
0 0
, сходящийся к
0
может быть
Теорема 5.6. Пусть степенной ряд
a x x S x
r
S x
k
x x
a S x
k
a S x
f x
r r
x
k
a x x
f x
f x
f x
x r x r
f x
k
k
k a
k
k
k
Подставляя
S x ka x x
k
k
Теорема 5.7. Если функция
разложена в степенной ряд, то этот ряд единственный.
Эта теорема является следствием теоремы 5.6, так как коэффициенты
Следствие. Разложение четной (нечетной) функции в СР может содер-
З а ме ч ан и е 1 . СР
ak
З а ме ч ан и е 2 . Теорема позволяет строить разложения в СР для
k
k
k
k
x r x r
, 0,
0, 0.
f x
lim 0
0x
2
1/
x
x
2 2
1/ 1/
x x
f x e e
x x
2 2 2
1/ 1/ 1/
x x x
f x e e e
x x x
0x
f x
2
1/
x
x
lim 0
x
f
f
x
k k
a x x
r
x
f x
f x
0
f x
З а ме ч ан и е 3 . Существуют функции, имеющие на интервале
,
0 0
мые на этом интервале в степенной ряд, например [3],
*Функция
непрерывные производные любого порядка, но неразложи-
2
1/
x
e x
x
f x
непрерывна, так как
f x e
,
24 36 8
5 7 9
2
,
3
6 4
4 6
2
1/
x
e
0
x
. Для
.
Продолжая операцию дифференцирования, получаем, что при
производная
2
1
1/
x
e
m
0
x
n
, есть сумма выражений вида
и непрерывности функции f в нуле следует, что функция
A
. Из равенства
e
m
в нуле существует и равна нулю, а значит, непрерывна. Точно так же получаем, что функция
в нуле существует, равна нулю и непрерывна. Про-
должая эти рассуждения, получаем, что функция f имеет в любой точке
производные всех порядков, причем в нуле все ее производные равны
нулю. Следовательно, ряд Тейлора функции f в нуле имеет вид
k
0 0
k k
.
0
Согласно теореме Коши – Адамара радиус сходимости этого ряда
, т. е. ряд сходится при любом
венный нуль и ни в какой точке, кроме нуля, не равна
, но сумма его есть тождест-
. Поскольку
единственным степенным рядом, представляющим в некоторой окрестности нуля функцию
в точке
x
0
, функция
, может быть только ее ряд Тейлора с центром
не представляется степенным рядом в окре-
стности нуля.
85
0r
M x r x r
f x
f x M
k
C k x M f x C
x M
k
f x x x
r
r
x r x r
r
n
x M
f x S x R x
k
S x x x
, 0, 1
x M
0
n
r
x M x x r
lim sup lim lim 0
1 ! 1 !
x r x r
r
r
Теорема 5.8 (достаточное условие разложимости функции в СР).
Пусть
x
,
0
,
удовлетворяет условиям:
1)
2)
,
;
1
то
причем для
сходимость ряда равномерна на M, а для
димость равномерна на любом сегменте вида
*Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа,
где
n
Для
R x x x
n
, учитывая условие 2, имеем
R x x x
f x x x
n
n
n
k
1
0 0
1 !
n
C
n
Следовательно, переходя в (5.10) к пределу при
,
0 0
k
k
f x
0
k
k
f x
k
0
0
!
k
n n
0
!
1
n
1 !
1
n
0
. Тогда, если функция
, (5.9)
0
,
0 0
,
, (5.10)
,
0
1
n
0
.
n
.
, получаем (5.9).
схо-
.
Докажем теперь утверждение о равномерной сходимости. Пусть
Так как
n n n
,
x x r x r
0 0
, то
0
R x r
n
C
n n
1
n
т. е. остаток СР равномерно сходится к нулю, значит, сам СР сходится
тоже равномерно. Аналогичным образом доказывается равномерная схо-
димость СР на отрезке
,
0 0
,
86
1
n
, в случае
n
Cr
.
1
,
x
f x e
x
f x e
0
h
,
x h h
0
n
h
f x e
0
x
e
0 1
x
e
!
k
xek
ch
x
sh
x
x
!
k
x
2 2 !
x x k
e e x
k
2 2 1 !
sh
x
ch
x
sin
x
cos
x
sin
f x x
sin / 2 1
sin
x
cos
x
2 1
2 1 !
2
2 !
k
x
Приведенная теорема дает метод разложения функций в ряд Тейлора.
Однако условия этой теоремы не всегда выполняются или не могут быть
просто проверены. Тогда эффективным методом получения разложения
является использование свойств СР.
П р им е р 5.3. Разложим в ряд функцию
Так как
n
, то
0
Таким образом, условия теоремы 5.8 выполнены (
функция
раскладывается в ряд Тейлора на любом конечном интервале,
.
n
.
x
), поэтому
0
а значит, и на всей действительной оси.
n
Так как
f e
П р им е р 5.4. Разложим в ряд функции
Заменив в формуле (5.11) x на
0
, согласно формуле (5.9) разложение
x
. (5.11)
0
k
и
, получаем
k
1
x
e
0
k
. (5.12)
k
имеет вид
.
Складывая и вычитая формулы (5.11) и (5.12), получим
k
0
2
,
x x k
e e x
sh
x
k
0
2 1
.
k
ch
x
В силу единственности разложения функций в СР правые части этих формул являются рядами Тейлора функций
П р им е р 5.5. Разложим в ряд функции
k
Пусть
. Тогда
f x x k
Согласно теореме 5.8 отсюда следует, что функция
ется в СР на всей действительной оси. Аналогично функция
и
.
и
.
.
раскладыва-
раскла-
дывается в СР на всей действительной оси. Таким образом, получаем
k
k
0
sin
x
k
1
x
k
,
cos
x
k
k
1
0
. (5.13)
k
87
f x x
1
1
x
f x
1 ,
k
f x x
1
1
1
1
x
1x
1x
1
1kk
1
1
x
1,1
1x
1
1
x
1,1
1x
arctg
f x x
1
2 1
1 2 1
t k
1x
1
2 1
k
k
1x
2 1
2 1
k
1,1
1x
Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тейлора,
можно получать разложения новых функций в степенные ряды.
П р им е р 5.6. Разложим в ряд функцию
ln 1
.
Заметив, что
f x
, разложим
в ряд по формуле для
суммы членов геометрической прогрессии
Интегрируя этот ряд от 0 до x,
f x x t dt
ln 1 1
k
x
0
k
x
.
0
x
, получаем
k
0 0
k k
k
k
k
1
k
.
Рассмотрим теперь полученный ряд в граничных точках интервала сходимости. При
а при
– расходящийся ряд
сходится на множестве
Функция f непрерывна при
k
1
k
k
0
ряда
с ней и в точке
П р им е р 5.7. Разложим в ряд функцию
Поступая при
arctg 1 1
Отметим, что полученный ряд при
поскольку сходится знакопеременный ряд
Функция f непрерывна при
сумма ряда
k
падает с ней и в концевых точках
мы получаем сходящийся ряд лейбницевского типа,
.
. Следовательно, ряд
0
, поэтому согласно теореме 5.3 сумма
k
, будучи непрерывной функцией на
.
x
аналогично предыдущему примеру, получаем
x x
dt x
x t dt
0 0
2
0 0
k k
k k
2
k
.
k
. (5.14)
по признаку Лейбница сходится,
k
0
.
, поэтому согласно теореме 5.3
k
x
k
1
0
, будучи непрерывной функцией на
.
0
k
, совпадает
1
k
k
k
, сов-
88
arctg
f x x
1, 1
2 1
2 1
k
f x
!
k
xek
2 1
2 1 !
2
2 !
k
x
1 1
x
k
x
1 1
x
k
x x
k
x
k
x
2 1 !!
k
x
2 1 !!
k
x
1
2 1 !!
2 2 !!
k
x x
1
2 1 !!
2 2 !!
k
x x
Отметим, что, хотя функция
определена на всей действи-
тельной числовой оси, ее разложение в степенной ряд (5.14) справедливо
k
x
k
1
расходится
только на отрезке
. Вне этого отрезка ряд
k
0
согласно теореме Коши – Адамара.
З а ме ч ан и е. Так как разложение в степенной ряд функции
опре-
деляется единственным образом, его радиус сходимости может быть вычислен как по теореме Коши – Адамара, так и с помощью теорем, сформулированных для определения сходимости функциональных рядов, примененных
к ряду Тейлора этой функции (см. примеры 5.8 и 4.6).
Приведем некоторые наиболее часто используемые при решении задач
разложения.
Разложения с множеством сходимости
x
0
k
Разложения с множеством сходимости
Разложения с множеством сходимости
1 1
1
1
1
1
x
1 1 1
x
k
1 1
1
k
1
k
k
1
0
k
1
k
sin
ln 1
k
2 !!
k
k
k
k
1
x
k
0
k
x
1
k
1
k
1 1
x
1
k
k
1
k
k
!
1
1 1
cos
k
1
1
1
1
x
x
k
x
,
k
1
k
0
k
1
0
k
2 !!
k
k
k
1
k
k
89
x x
f x
1 9 1
x x x
2
2 2 2 2
2
kkk
x
1
1
9 9 9 9
k
x x
1
2
k
f x a x
1 2 1
1 1
1 2 2
1 1
0,1,2...
m
3
2
4
x
x
f x
3 2
f x x x
3
2
3
k
x
1 1
5
2
4
k
k
x
k
1 1
4
П р и м ер 5.8. Разложим в ряд функцию
Представим функцию
f x
в виде
x
2 2
83 2 2 9
Учитывая, что
получаем при
где
a
2
m
83 2 9
1 1 1 1
2
x
1 1
x
x
1
83 2 2 9
9 1
0 0 0 0
k k k k
m
m m
2
x
1
k
0 0
k k
k k
2 1 2
k k
1 1
x x
9
1 1 1
k k k
,
a
2 1
m
П р и м ер 5.9. Разложим в ряд функцию
f x
1
0
k
при
k
1
m m
83 2 9
f x
при
x
9
x
m
ln
1
2
2 9
.
.
2
x
,
2
,
k
,
k
,
5
.
.
Представим функцию
Разложим в ряд каждую из функций
ln 5 ln5 ln 1 ln5
3
x
ln 4 ln 4 ln 1 ln 4
2
x
в виде
ln 5 ln 4
ln 5x
3
x
5 5
2
x
4 4
1
k
1
k
ln 4
90
.
ln 4x
и
1
k
1
1
,
k
k
2 1
k
2
k
x
k
k
,
1
k
:
3
x
,
2
x
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]