Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
, , , ,
k k
a a a a a
n k
P a
n k
Q a
n
n
P
P a
0P
n
P
1 1
a P
1
kkk
PaP
2, 3, ...
k
Глава 2. *БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть задана некоторая числовая последовательность
a a a
1 2
k
Формально образованное из элементов этой последовательности выраже-
ние вида
называют бесконечным произведением
1 2 3
1
k
(БП), а входящие в него сомножители – членами произведения.
n
Произведение
частичным произведением, а бесконечное произведение
первых n членов данного БП называют n-м
1
k
k n
–
1
-м остаточным произведением.
БП называется сходящимся, если последовательность
имеет конеч-
ный предел P, отличный от нуля. В случае сходимости БП указанный
предел P называют значением этого БП и пишут
З а ме ч ан и е 1 . Условная договоренность, что при
.
1kk
БП расходится (расходится к нулю), позволяет провести четкую аналогию между
сходимостью рядов и сходимостью бесконечных произведений. Поэтому
далее будем рассматривать только БП с ненулевыми членами.
З а ме ч ан и е 2 . На сходимость БП не влияет удаление или добавление
конечного числа ненулевых членов этого произведения.
З а ме ч ан и е 3 . Рассмотрение бесконечных произведений (так же как
и рядов) представляет собой новую форму изучения числовых последовательностей, так как каждому данному БП однозначно соответствует последовательность его частичных произведений, а каждой числовой последовательности
, все элементы которой отличны от 0, однозначно соответ-
ствует БП, для которого эта последовательность является последовательностью частичных произведений:
,
,
41
.
9
4
3 3
4 2 2
5 3
10 2
9 1
4 2
a
lim 1
lim lim 1
, 0
lim lim 0
lim lim 1
lim lim lim lim 1
2
П р им е р 2.1. Вычислим
2
n n
9
k
P
n
Следовательно,
2
k k k
8 8
k k
n n
3 3
k k
8 8
k k
n n
2 2
k k
8 8
k k
8
k
Теорема 2.1 (необходимое условие сходимости БП). Если БП
сходится, то
Пусть
1)
2)
P a P
k
a
k
k k
Q a
n k
n n n n
k
ka
k
1
lim
P
k k
lim
P P P
1 1
k k
k
1
k n
Следствие. Если БП сходится, то, начиная с некоторого номера, все
его члены положительны
З а ме ч ан и е. Так как на сходимость БП не влияет удаление конечного
количества сомножителей, в дальнейшем будем рассматривать лишь БП
с положительными членами.
k
2
k
8
k
k k
n n
n n
2
k
lim
k
2
,
. Тогда
P
k
P
n
Q a
n n
k k
P
a
k
1
k
n n
a a
k k
1 1
k k
.
3 ! 3 !
4! 10!
2 ! 2 !
5! 9!
.
n
n k
k n
P P P
1
k k
,
P P P
n
.
n
1kk
.
1
, следовательно:
.
lim
P P
n
n
42
a
0
ln
k
a
S
a e
ln
n k
S a
n k
P a
ln
n n
S P
n
S
P e
n
P
n
S
S S
S
P e
P P
lim ln
S P
1
1, 2, 3,...
k
k
a
k
a
0
k
a
k
1
k
,
1
k a
k
. Причем
.
k
,
сходилось, необхо-
.
n
Теорема 2.2. Для того чтобы БП
1kk
димо и достаточно, чтобы сходился ряд
Пусть
ln
a S
k
1
k
n
,
1
k
n
, тогда
1
k
В силу непрерывности показательной и логарифмической функции
последовательность
сходится тогда и только тогда, когда сходится
последовательность
рот, если lim
n
n
, причем если lim
, то
n
n
.
, то
n
n
lim
n
n
, и наобо-
При исследовании БП оказывается удобным представить его в виде
где
1 1 1 1
a a a a
1
k
a
,
k
k
1 2 3
Тогда вопрос о сходимости этого произведения
, (2.1)
согласно теореме 2.2 эквивалентен вопросу о сходимости ряда
БП
k
1
1
k a
,
k
ln 1
1
k
, такое, что ряд
. (2.2)
k
1
ln 1
сходится абсо-
лютно (условно), называется абсолютно (условно) сходящимся.
З а ме ч ан и е 1 . Теоремы Коши и Римана позволяют заключить, что
абсолютно сходящееся произведение обладает переместительным свойством,
в то время как условно сходящееся произведение заведомо им не обладает.
З а ме ч ан и е 2 . Для расходимости БП (2.1) к 0 необходимо и доста-
точно, чтобы
k
1
ln 1
a
k
.
43
44
a
k
a
a
a
a
k
a
a
21k
a
k
a
a
21k
a
k
a
a
21k
a
k
a
k
a
k
a
k
a
lim 0
a
k
a
a
lim 0
k k
a a
k
a
k
a
Теорема 2.3 (о сходимости бесконечного произведения).
I. Пусть ряд
знакопостоянный. Тогда БП
1kk
тогда и только тогда, когда сходится ряд
II. Пусть ряд
1) если ряд
2) если оба ряда
3) если один из рядов
то расходится и БП
4) если оба ряда
знакопеременный. Тогда:
1kk
сходится абсолютно, то сходится и БП
1kk
,
1kk
сходятся, то сходится и БП
k
,
1kk
k
k
1
1kk
1
,
k
;
расходятся, то о сходимости БП
.
1kk
сходится, а другой расходится,
k
1
1
1
1
k
1
1
k
сходится
;
;
1
1
k
ничего сказать нельзя.
Согласно теореме 2.2 БП
k
1
1
и ряд
k
1
ln 1
сходятся
и расходятся одновременно, поэтому докажем все утверждения теоремы
для ряда
Условие
1kk
ln 1
k
1
ka
.
является необходимым и для сходимости ряда
k
и для сходимости ряда
k
1
ln 1
, а значит, невыполнение этого
условия гарантирует расходимость обоих рядов.
ln 1
и
k
I. Если
ln 1
1
– знакопостоянный. Из того, что
1kk
при
, а значит, в силу теоремы сравнения ряды
сходятся и расходятся одновременно.
ka
, следует, что
k
1kk
45
a
lim 0
2
2
k k k
a a o a
21k
a
o a
a
21k
a
a
21k
a
a
21k
a
, 2 1;
, 2 .
n k
a
1 1 1
k k
21k
a
1
k
k
II.
– знакопеременный. Так как
1kk
ln 1
, то
k
ka
2
a
k
.
В силу теоремы сравнения ряды
и
k
k
1
2
a
k
2
и расходятся одновременно.
Таким образом, если оба ряда
и их сумма, если из рядов
1kk
то их сумма – расходящийся ряд.
1) Если
сходится абсолютно, то для него выполняется необхо-
1kk
и
k
димое условие сходимости, поэтому
1kk
один сходится, а второй расходится,
k k k a a
и
0 01k k
сходятся, то сходится
k
2
сходится.
k
2), 3). Эти утверждения вытекают из основных свойств рядов.
4) Приведем примеры соответствующих рядов.
1
n k
k
1 1 1
k
k k k
a a a
k m m
2 1 2
k k
2
a
при
k
.
Пусть
Ряд
Ряд
a
k
расходится, так как
1kk
1 1 1 1
k m k k
расходится, так как
k
2
сходятся
k
, а значит, ряд
.
k
a
2
1 1 1 1 1
m m
1/6
1
1/6
1
k
1/3
1
k
k
a
2
2
k
a
1/6 1/3 1/6
1 1 1
2 2
k k k
k
a
21k
a
1
n
k
a
21k
a
1
k
21k
a
a
1 0
a
a
0
1 exp 0
Ряд
k
1
ln 1
1 1
m m
сходится, так как
ln 1 ln 1 ln 1
a a a
1 1
k m
ln 1 1 ln 1
k m m
m m m m
2 1 2
.
a
1 1
k k
ln 1
1
k
ak
k
k
a
.
и
a
1 1
k k
расходится, так как расходится ряд
2
a
k
k
Пусть
Ряды
Ряд
З а ме ч ан и е. Из сходимости ряда
сходимость ряда
сходится, а ряд
1kk
сходится, а ряд
k
Следствие 1. Если
, и наоборот. Например, если
k
расходится, а если
k
расходится.
1kk
k a
расходится к нулю.
Так как ряд
расходится и
1kk
1
k
2
k
расходятся.
при
1kk
и ряд
k
k a
k
a a
k k
1
k
a
k
k
1
:
.
в общем случае не следует
a
, то ряд
k
a
, то, наоборот, ряд
k
расходится, то БП (2.1)
1kk
, то
a
1kk
, а значит,
.
46
47
a
21k
a
21k
a
0
exp exp 0.
1
1nn
2
1
2
1
1
p
1
1nn
lim lim 1
1
n
2
1
2
2
1 1
n
2
1
n
1
1
p
n
2 2 2 2
1 2 2 2
n p p
n n n n
2
n
Следствие 2. Если
сходится условно, а ряд
1kk
расходится,
k
то БП (2.1) расходится к нулю.
a
2
1
k
a
2
k
2
2
k
, а значит,
2
.
Так ряд
расходится и
k
1 exp ln 1 exp
a a a o a
k
k k k k
1
k k
1 1
k k
a o a A
k k
1 1
2
a
k
2
k a
2
2
, то
k
П р и м ер 2.2. Исследуем на сходимость бесконечные произведения:
1)
1
1. БП
расходится, так как не выполняется необходимое ус-
1
ловие сходимости БП:
n
2. БП
и ряд
3. БП
a
1 1
n n
n n
1
n
a p
n n
n
2
n
p
n
сходится.
2
n
2
n
2
1 1 1 1
и ряд
сходится.
11n
n
n
1
n n
1
, 3)
.
, 2)
p
n
n n
сходится, так как
2
1
n
1 1
2 2
n n n n
сходится, так как при
p
1 1 1
p
2
n
2
2
n
,
n
n
.
,
/
x n
e
n
x
/
x n
e
1 1 1 1 1 1
2 2 3 2
2 2 3 2 2
2 2 2
x x x x x x
n n n n n
2
n
1
n
x
n
1 1
n
1
x
n
a
n n
b a
b
1
n n
n
b
b
1
1
n
n
2
1
n
b
П р и м ер 2.3. Найдем множество сходимости БП
x
1)
1. БП
a p e o
n n
1
1
n
1 1
1
1
n
x
n
x x x x
n n n n n
n
сходится для любых значений x, так как
/
x n
n n
и ряд
2. При
11n
сходится.
x
БП
n
2
1
расходится, так как не выполняется необ-
ходимое условие сходимости: при
При
БП сходится, так как абсолютно сходится ряд
x
2)
1
2
n
o
p x
.
2
2 2
2
1
n
n
.
1
.
1nn
П р и м ер 2.4. Исследуем на сходимость и абсолютную сходимость БП.
БП
n
1
когда сходится абсолютно (условно) ряд
1. Ряд
1nn
расходится, следовательно, ряд
2. Ряд
1nn
лейбницевского типа) и
Из 1 и 2 следует, что
сходится абсолютно (условно) тогда и только тогда
1
ln 1
расходится, так как
b
n
1 1
n n
ln 1
1
n
1
и ряд
т
.
не сходится абсолютно.
1nn
сходится, так как сходятся ряды:
2
a
n
1 1
n n
.
a
n
1 1
n n
сходится условно, а значит, условно схо-
1nn
дится и бесконечное произведение.
(ряд
11n
49
f x
, , ..., ,...
f x
C n x A f x C
C n f x C
f x
x A n f x f x
f x
x A
f x
f x
f x
x A f x f x
A
f x f x
f x
4
n n n
, 0 0,5;
max , , 4 , 0,5 2
;
Глава 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Функциональной последовательностью (ФП) называют последовательность
определенные на некотором множестве A, называемом областью опре-
деления этой последовательности.
ФП
n
если выполняется одно из двух эквивалентных условий:
1)
2)
ФП
растающей в каждой точке множества A), если
Аналогично определяются убывающая, невозрастающая и неубываю-
щая ФП.
ФП
последовательность
ФП называется сходящейся (или поточечно сходящейся) на множе-
стве A, если она сходится в каждой точке этого множества. Если ФП
n
то символически это записывают следующим образом:
П р и м ер 3.1. Предельная функция
имеет вид
n
n
на множестве A сходится поточечно к предельной функции
f x x x x
, элементами которой являются функции
n
f x f x f x
1 2
называется равномерно ограниченной на множестве A,
n
sup
n
x A
называется возрастающей на множестве A (или воз-
называется сходящейся в точке
сходится.
0n
lim
n
n
f x x x
n
4 2
n
n
.
, или
4 2
2
x x
4
4
, 2.
x x
,
;
.
1n n
, если числовая
0
n
последовательности
.
,
50
f x
f x
A
f x f x
0
x A
f x
f x
0
f x
f x
A
f x f x
A
f x f x
0 0
f x
f x
f x
A
f x f x
f x
f x
f x
x
f
3.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
Последовательность
жестве A, если
Обозначение:
Сущность равномерной сходимости ФП
состоит в том, что
такой номер
заданного и не зависящий от выбора точки
, что при
будет выполняться всюду на множестве A,
т. е. «графики» функций
в «-полоске», окружающей график функции
Таким образом, в случае равномерной сходимости
достаточно больших n (а именно при
приближают функцию
множестве A.
Лемма 3.1. Если
0nn n n x A f x f x
0 0
n
, зависящий только от
n
0
n n
f x f x
0
n
n
неравенство
сходится к
n
.
можно выбрать
расположены
n
n n
с погрешностью, меньшей , сразу на всем
, то
n
f x
0
f x
f x
0
) значения функции
0
.
равномерно на мно-
. (3.1)
y
0
0
(см. рисунок).
x
0
при всех
f
n
f
f
n
Если условие равномерной сходимости не выполняется, т. е.
то ФП
случае пишут
дится к
Если
n
n
0nk n k x A f x f x
не сходится равномерно к
f x
n
A
на множестве A неравномерно.
, но
.
f x
n
, (3.2)
на множестве A. В этом
, то говорят, что ФП
A
схо-
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]