Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
61
... ...
, , ..., , ...
S x u x
S x
S x
u x S x
u x S x S x
2k
u x
x A
0
u x
S x u x
r x u x
Глава 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
4.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Функциональным рядом (ФР) называют формально записанную сумму
u x u x u x u x
k k
1
k
в которой все функции
1 2
u x u x u x
1 2
k
определены на некотором
, (4.1)
множестве A, называемом областью определения этого ряда. Так же как
n
и в теории числовых рядов, конечную сумму
n-й частичной суммой ФР (4.1).
n k
1
k
называют
Как и в случае числовых рядов, каждому ФР согласно определению
соответствует ФП его частичных сумм
соответствует ФР с членами
n
1 1
,
, и, наоборот, каждой ФП
n
при
1k k k
,
для которого эта последовательность является последовательностью
частичных сумм.
Поэтому любую теорему, доказанную для ФП, можно переформулировать в соответствующую теорему для ФР, и наоборот.
ФР
1kk
сходящимся в точке
называется:
, если сходится числовой ряд
0
.
1kk
сходящимся (или поточечно сходящимся) на множестве A,
если он сходится в каждой точке этого множества.
Множество всех точек, в которых сходится данный ФР, называется мно-
жеством сходимости (или множеством поточечной сходимости) ФР.
На множестве сходимости ФР определены:
сумма ряда
n-й остаток ряда
1kk
n k
,
1
k n
.
62
S x
S x S x
S x
limsup limsup 0
x
1 1,2 2
1 1
1 1
x x
1
1
x
x
1 1,2 2
1
2
1
1/ 2 2
n
limsup 0
u x
4.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ФР называется равномерно сходящимся на множестве A к своей
сумме
, если равномерно сходится его последовательность частичных
сумм, т. е.
n
A
.
Лемма 4.1. ФР равномерно сходится на множестве A к своей сумме
тогда и только тогда, когда его остаток равномерно на A сходится
к нулю, т.е.
n n
S x S x r x
x A x A
n n
.
П р им е р 4.1. Докажем равномерную сходимость ряда
,
x
1kk
(4.2)
Для данного ряда
1
n
x
S x
n
n
,
r x
n
n
.
Ряд (4.2) сходится равномерно в силу леммы 4.1, так как
1
n
а значит,
n
x
r x
x A
n
.
,
x
r x
n
1/ 2
,
I. Критерий Коши равномерной сходимости ФР
Теорема 4.1. Для того чтобы ФР
1kk
на множестве A равномерно
сходился к некоторой сумме, необходимо и достаточно, чтобы
n p
0
n n n n p x A u x
0 0 0
,
k n
k
1
или, что то же самое,
n p
0 sup
n n n n p u x
0 0 0
.
x A
k n
k
1
Утверждение теоремы получается, если критерий Коши для ФП
применить к последовательности частичных сумм ФР.
63
int
A
int
A
k x k
0,1
2 2 2 2
1 1
k x k k x
k
0,1
0x
0,1
u x
0
limsup 0
,
u x S x S x S x S x S x S x
limsup 0
0
x
1, 1
lim sup lim1 1
Теорема 4.2. Если ФР, все члены которого непрерывны на замкнутом
множестве A, сходится равномерно на множестве
равномерно и на самом множестве A.
Следствие. Если ФР, все члены которого непрерывны на замкнутом
множестве A, сходится на множестве
и расходится хотя бы в одной
из граничных точек множества A, то ФР сходится на A неравномерно.
З а ме ч ан и е. Утверждения теорем 4.1 и 4.2 получатся из теорем 3.2 и
3.3, если применить последние к последовательности частичных сумм ряда.
П р им е р 4.2. Исследуем на равномерную сходимость ряд
2 2
11k
,
x
. (4.3)
, то он сходится
Поскольку
при
, ряд (4.3) сходится в силу
признака сравнения.
Все члены ряда (4.3) непрерывны на отрезке
и в точке
этот
ряд расходится, а значит, согласно следствию из теоремы 4.2 ряд сходится
на полуинтервале
неравномерно.
II. Необходимое условие равномерной сходимости ФР
Теорема 4.3. Если ФР
u x
то
k
.
A
1kk
сходится равномерно на множестве A,
Из равномерной сходимости ряда и леммы 4.1 следует, что
k
S x S x
x A
k
.
Тогда, учитывая, что
получаем
k k k k k
u x
x A
k
k
1 1
, а значит,
П р им е р 4.3. Геометрический ряд
мер 1.1) неравномерно, так как
u x
k
A
сходится на
1kk
k
x
x
1,1
k k
.
(см. при-
64
0
u x
x k
0,1
lim sup lim 0
u x
c
u x
n n
n x A u x c
u x
n n n n p x A
u x
u x
u x
u x
,
a b
,
a b
З а ме ч ан и е. Условие
u x
n
, не является достаточным даже для
A
того, чтобы множество A входило в множество сходимости ряда
Ряд
расходится в каждой точке интервала
11k
1 1
k k
x k k
0,1
x
и при этом
.
III. Достаточные признаки равномерной сходимости
Теорема 4.4 (признак Вейерштрасса). Если ФР
на множестве A и существует сходящийся числовой ряд
мажорантой ФР
то ФР
1kk
сходится равномерно и абсолютно на множестве A.
1kk
, такой, что
,
1kk
1kk
, называемый
Утверждение теоремы справедливо в силу критерия Коши:
0
0 0 0
Следствие 1. Если к ряду
то ряд
1kk
также будет равномерно сходящимся.
Следствие 2. Если ФР
а функции
номерно на
монотонны на
k
.
n p n p n p n p
u x u x c c
k k k k
1 1 1 1
k n k n k n k n
применим признак Вейерштрасса,
1kk
сходится абсолютно в точках a и b,
1kk
, то ФР сходится абсолютно и рав-
.
1kk
определен
.
65
u x
u x
u x
k k
k x x
, 2
1
sup sup 2 2 2
k k k k k k k
1 2
!
k
k
1 2
!
k
k
lim lim 0 1
u x
u x
З а ме ч ан и е. При анализе сходимости ФР
1kk
с помощью признака Вейерштрасса оптимальным – с наиболее точной
оценкой – мажорирующим рядом является ряд
k
sup
1
бывает достаточно более грубой, но легче получаемой оценки для
П р им е р 4.4. Исследуем на сходимость ряд
2
k
1
!
k
1
x
,
. (4.4)
2
Так как
x x x x
ряд
k
x x
k
2
мажорирует исходный ряд (4.4) и по теореме Вейерштрасса
1
1 1
,2 , 2
2 2
из его сходимости будет следовать равномерная сходимость ряда (4.4).
k
Числовой ряд
2
1
k
k
2 1 2 1
k k
сходится в силу признака Даламбера:
2
2 2
k k
1 !
k
!
k
1 2
k
2
k
2
k k
1
на множестве A
. Однако часто
k
x A
,
,
.
k
а значит, исходный ряд сходится равномерно.
Возможны случаи, когда ряд
условно (см. пример 4.6) или даже абсолютно сходящимся, но ряд
все же сходится неравномерно (см. примеры 4.8 и 4.2). Подобные случаи
заведомо не охватываются признаком Вейерштрасса. Признаки, позволяющие исследовать такие ряды, будут рассмотрены ниже. Следующий
пример показывает, что даже в случае знакопостоянных рядов признак
Вейерштрасса не является необходимым.
сходится равномерно, будучи
1kk
1kk
66
x
y
n
1n
u x
0
1,1
1
k
1 1
,1k k
u x
1 1 1 1
k k k
1 1 1 1
,
k k k
u x
[0,1]
r x u x
0,1
0
1
k n
1 1
1
k n
1
1
n
0
n
[0,1]
a
0,1
k k
u x a
k k
u x a
k
a
u x
П р им е р 4.5. Покажем, что существует знакопостоянный ряд, для которого нет мажорирующего сходящегося числового ряда.
Определим функцию
u x
k
на лучах
следующим образом (см. рисунок):
k
k
1
,
,
;
k
u x
k
k
Покажем, что ФР
равномерно на
если
остаток этого ряда, то
в середине отрезка
;
линейна и непрерывна на каждом из отрезков
,
1 2 1
1kk
. Действительно,
n k
k n
1
x
сходится
среди
,
2 1
1
n
.
u x
n
его членов существует не более одного,
для которого
u x
k
,
.
0
1
1
При этом очевидно
r x
n
,
0,1
x
при
, т. е. рас-
.
0
0
u x
k
поэтому
0
r x
n
, следовательно,
сматриваемый ряд равномерно сходится на отрезке
1
Если
max
[0,1]
– такой числовой ряд, что
1kk
, а значит, ряд
расходится.
1kk
Таким образом, в рассмотренном случае числового ряда, удовлетворяю-
щего по отношению к функциональному ряду
1kk
условиям признака
Вейерштрасса, заведомо нет.
1
, то
67
u x
v x
x A
U x
U x u x
u x
x A
v x
0
n
v x
u x v x
1
n
k x
1
k
Признак Дирихле Признак Абеля
Пусть функции
1) ФП частичных сумм
n
n k
1
k
,
n
,
n
,
n
, удовлетворяют условиям:
1) ФР
1kk
сходится равномерно на A;
равномерно ограничена на A;
2)
числовая последовательность
n
монотонна относительно параметра n;
3) ФП
Тогда ряд
k
v x
1
n
k k
,
A
.
равномерно ограничена на A.
3) ФП
сходится равномерно на множестве A.
n
Доказательства приведенных выше признаков равномерной сходимости проводятся так же, как и доказательства соответствующих признаков
сходимости числовых рядов.
З а ме ч ан и е 1 . Признаки Дирихле и Абеля, в отличие от признака
Вейерштрасса, применимы и к условно сходящимся рядам.
З а ме ч ан и е 2. В признаках Дирихле и Абеля характер монотонности
при разных x может быть различным (см. пример 4.7).
П р им е р 4.6. Исследуем на множестве
Ряд (4.5) сходится равномерно на
так как выполняются соответствующие условия:
1) последовательность частичных сумм
чена на
1,
числом 1;
k
сходимость ряда
1,
2
. (4.5)
в силу признака Дирихле,
1,
n
равномерно ограни-
2
k
68
1,
1
k x
0
lim sup lim 0
1
n
k x
1,
1
k x k
k
,
4 4
x
k
,
4 4
1
k
k x
,
4 4
,
4 4
,
4 4
x
k
0x
0x
0x
sin 0
,
4 4
sin 1
2)
3)
Ряд
x
1
k x
2
k
последовательность
, так как
1,
расходится
убывает по k;
1 1
k k
1,
x
k x k
x
, так как
расходится.
21k
Таким образом, исходный ряд сходится на множестве
но и равномерно.
П р им е р 4.7. Исследуем на множестве
1 sin
k
2
Ряд (4.6) сходится равномерно на
k
k x
. (4.6)
в силу признака Абеля,
так как выполняются соответствующие условия:
1) равномерная сходимость ряда
k
на
1
зана в предыдущем примере;
.
1
k
1
k
1,
сходимость ряда
и ряд
услов-
дока-
x
2)
3)
при
при
при
x
функция sin
возрастает,
убывает,
x
k
x
k
монотонна по k:
;
.
69
xkk
k
x
k
0x
,
4 4
, 0 0,
4 4
0x
0,1
k x k
2 2 2 2
1 1
k x k k x
k
0,1
1
k
0,1
0,1
k x k
0
lim sup lim 0
0,1
Ряд (4.6) сходится условно, так как
расходится
2k
.
sin
x
k x
при
, а ряд
Таким образом, на отрезке
при этом на множестве
ряд (4.6) сходится равномерно,
сходимость условная, а в точке
абсолютная.
П р им е р 4.8. Исследуем на множестве
Поскольку
u x
k
1
k
2 2
k
1
. (4.7)
при
абсолютно в силу признака сравнения.
Покажем теперь равномерную сходимость ряда на
1) последовательность частичных сумм
ничена на
2)
3)
k x k
x
1
2 2
числом 1;
последовательность
, так как
0, 1
1
2 2
1 1
k k
2 2
k x k k
0, 1
x
сходимость ряда
, ряд (4.7) сходится
. Действительно:
n
равномерно огра-
1
k
убывает по k;
.
Таким образом, в силу признака Дирихле ряд (4.7) сходится равномерно на
.
70
u x u x
v x v x
,
u x v x u x v x
u x v x
u x
u x
1
A
2
A
1 2
A A A
v x
u x u x
u x v x u x v x
4.3. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ3
I. Основные свойства
1. Если ФР
1kk
на множестве A, то
сходится равномерно на A к функции
2. Если ФР
1kk
1kk
сходится равномерно на A.
сходится равномерно на множестве A, то и ряд
3. Если ФР сходится равномерно на множестве A, то сходимость
будет равномерной на любом его подмножестве.
и
1kk
ФР
1
k
;
сходятся равномерно
k k
4. Если ФР сходится равномерно на каждом из множеств
на множестве
объединения это утверждение неверно.
5. Числовой ряд можно рассматривать как ФР, каждый элемент кото-
рого есть константа на данном множестве. Сходимость такого ФР на любом
множестве равномерна.
6. Если функция
и
1kk
3
Все свойства и теоремы этой главы получаются из соответствующих свойств и теорем
для функциональных последовательностей, если применить последние к последовательности частичных сумм ряда.
A
, то
и
этот ФР сходится равномерно. Для бесконечного
равномерно ограничена на множестве A
1kk
A
.
, то
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]