Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
51
0
A x
0
x
0
A x
0
x
0
x
A
f x f x
limsup 0
A
f x f x
lim sup 0.
0,1
n
f x x
0
0,
1
0,1 lim 0
f x f x
n n n
0, 0,1 ;
0, , 1
0,1
Равномерная сходимость ФП на множестве A является глобальным
свойством, характеризующим поведение последовательности на множестве «в целом», т. е. множество рассматривается как единый объект.
Поэтому недопустима формулировка локального типа: «последовательность равномерно (неравномерно) сходится в точках множества A».
В то же время определение равномерной сходимости имеет смысл и для
множества A, состоящего из одной точки:
случае сходимости последовательности в точке
о равномерной сходимости в таком случае, то формулировка должна быть
следующей:
«ФП сходится равномерно на множестве
(т. е. не в точке
, а на множестве, состоящем из одной точки
Для практического исследования равномерной сходимости удобно
использовать следующую теорему.
, и эквивалентно в этом
. Если мы хотим говорить
»
).
Теорема 3.1.
n
n
0 sup
n
0nn n n x A f x f x
0 0
n n n f x f x
0 0
n
x A
f x f x
n
x A
П р им е р 3.2. Покажем, что на множестве
к функции
f x
неравномерно, но на любом полуинтервале
сходимость равномерная.
Очевидно, что
x x
тера сходимости вычислим
sup sup sup
f x f x x x
n
0, 0, 0,
x x x
lim sup
n
n
x
n
0,
получаем, что
lim sup lim
n n
x
0,
f x f x
n
Следовательно, на полуинтервале
а на полуинтервале
– неравномерная.
f x f x
n
x A
.
ФП
n
n
, поэтому для определения харак-
. Так как
n
, (3.3)
n
1, 1.
, сходимость равномерная,
сходится
,
,
52
f x
0
2
n m n x A
2 2
f x
x A
f x
m
int
A
f x f x
Теорема 3.2 (критерий Коши равномерной сходимости). Для того
чтобы ФП
предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы
или
0
Необходимость. Пусть
сходимости
равномерно на множестве A сходилась к некоторой
n
0 ,
n n n m n x A f x f x
0 0 0
n n n n p x A f x f x
0 0 0
n m
n p n
задано. По определению равномерной
(3.4)
. (3.5)
Тогда
n n n x A f x f x
0 0
,
0
f x f x f x f x f x f x
n m n m
n
.
.
Достаточность. Выполнение условий теоремы означает сходимость
ФП
ной функции
при
при любом фиксированном
n
. Перейдя к пределу в неравенстве
, получим
f x f x
n
.
и существование предель-
f x f x
n m
З а ме ч ан и е. Утверждения (3.4), (3.5) можно записать в виде:
0 , sup
0 sup
n n n m n f x f x
0 0 0
n n n n p f x f x
0 0 0
x A
x A
n m
n p n
,
.
Теорема 3.3. Если все члены ФП непрерывны на замкнутом мно-
жестве A, а сама ФП сходится равномерно на множестве
его внут-
ренних точек, то ФП сходится равномерно и на множестве A.
Утверждение теоремы следует из критерия Коши, если учесть, что для
всякой непрерывной на замкнутом множестве функции
sup sup
x A x A
int
.
Следствие. Если ФП непрерывных на замкнутом множестве A функ-
ций сходится на множестве его внутренних точек и расходится хотя бы
в одной из его граничных точек, то сходимость на A неравномерная.
53
nx
x E
f x ne ne f x
E
f x f x
n
убывает по на множестве sin 0
f x n nx nx
0, 1
0x
n
f x n nx n x f x
f x f x
f x
sup sup 1 1 1
x
sup 1, 1 1 0.
0,1
f x
f x
0,1
0,1
f n
П р им е р 3.3. Исследуем на сходимость и равномерную сходимость
f x ne
ФП
Покажем теперь, что
sin
n
lim limsin sin lim 0
n n n
на множестве
nx nx
n
n
1,E
:
.
,
sin
sup sup sin
f x f x
n
1, 1,
x x
n n
nx n
e e
x E
nx
e
.
n
П р им е р 3.4*. Исследуем на сходимость и равномерную сходимость
ФП
n
Следовательно,
На множестве
1, 1,
x x
На множестве
ствия к теореме 3.3, так как все члены ФП
последовательность сходится на
ность
0
n
1
при
n
f x f x n x
n
1,
x
n
1,E
1
sup 1 1
n x o
1,
x
1 1
o x o
E
2
на множествах
1 1 1
1 1
nx nx
на множестве
ФП
1 1 1
2
nx nx
x x
ФП
n
сходится равномерно, так как
n
1 1 1
nx nx
сходится неравномерно в силу след-
n
E
2
,
1,E
1
2
2
x
0,
.
2
x
2
n
непрерывны на
, но числовая последователь-
расходится.
E
2
.
E
2
.
,
54
f x f x
g x g x
,
f x g x f x g x
f x f x
f x f x
A
f x f x
B A
B
f x f x
f x
A Q
f x
B A B Q
f x
A
f x f x
B
f x f x
f x f x
f x f x
( )
g x
f x g x f x g x
f x f x
f x f x
f x f x
f x
g x f x
3.3. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
I. Основные свойства
1. Если
n
2. Если
3. Если
n
n
Следствие. Если ФП
торого
4. Если
n
f x
n
A
и
, то
A
n
A
n n
n
, то
, определена на множестве Q и для неко-
n
и
, то
n
A
, то:
A
.
.
A
n
.
f x
n
A B
B
. Для бесконеч-
.
n
, то
ного объединения это утверждение неверно.
5. Числовую последовательность можно рассматривать как ФП, каж-
дый элемент которой есть константа на данном множестве. Сходимость
такой ФП на любом множестве равномерна.
6. Если
7. Если
n
A
n
A
и функция
n
ограничена на множестве A, то
A
.
и все члены ФП являются многочленами степени
не выше k, то и предельная функция этой ФП – также многочлен степени
не выше k.
8. Если
n
A
и все члены ФП являются ограниченными
на множестве A функциями, то и предельная функция будет ограничена
на множестве A .
9. Если
n
при некотором
A
n
0
и функция
ФП
n n n
ограничена на множестве A, то
равномерно ограничена на A.
0
55
f x f x
f x
f x
f x f x f x
lim
lim
x a
x a
f x f x
,
a b
f x
,
a b
,
a b
f x f x
x A
,
a b
,
x a b
a b A
,
a b
f x
0
x
0
x
f x
1, ,
0, \
limsup lim 0
n
0
II. Предельный переход
Теорема 3.4. Пусть a – произвольная предельная точка множества A.
Если
предельное значение, то и предельная функция
предельное значение, причем
т. е. символ
значения функции можно переставлять местами (или, как говорят, к пре-
делу при
III. Непрерывность предельной функции
Теорема 3.5. Если
ными на
рывна на
n
A
и все элементы ФП
lim lim lim lim lim
x a x a n n x a
предела последовательности и символ
n
можно переходить поэлементно).
функциями, то и предельная функция
.
,
n n
,na b
и все члены ФП являются непрерыв-
имеют в точке a конечное
n
имеет в точке a
предельного
будет непре-
З а м е ч а н и е 1 . В теореме 3.5 вместо сегмента
вал, полуинтервал, луч или всю вещественную прямую.
Пусть A – произвольный промежуток и
вольной точки
Для отрезка
непрерывна на нем и, в частности, в точке
выбора точки
З а м е ч а н и е 2 . Для равномерно сходящейся ФП непрерывность ее
членов является достаточным условием непрерывности предельной функции, но не является необходимым. Например, все члены ФП
разрывны, но
n n
существует отрезок
0
все условия теоремы 3.5 выполнены, а значит,
получаем непрерывность
f x g x g x
n
f x
n
x
и
0
1
n
1
,
,
, а значит,
можно взять интер-
n
A
такой, что
.
. В силу произвольности
на всем множестве A.
x
x
f x
n
.
. Для произ-
56
0,1
n
f x x
0, 1,
1, 1,
2 4
1
nx
n x
0
3
n
0
f x
,
a b
f x
f x
f x
,
a b
f x
,
a b
0
f x
0,1
2
1nx
2
1nx
З а ме ч ан и е 3. Теорема 3.5 может быть использована для доказатель-
ства неравномерности сходимости. Если рассматривается сходящаяся
ФП, члены которой непрерывны на множестве A, а предельная функция – разрывна, то ФП сходится на A неравномерно.
П р им е р 3.5. На сегменте
функций
поэтому сходимость неравномерная (в примере 3.2 неравномерность сходимости этой ФП была доказана по определению).
З а ме ч ан и е 4. Требование равномерной сходимости в тексте теоремы
не может быть опущено, доказательством этому может служить предыдущий пример. Однако равномерная сходимость фигурирует в теореме лишь
как достаточное условие непрерывности предельной функции.
Например, ФП
и сходится неравномерно к непрерывной функции
lim sup lim
n n
Теорема 3.6 (признак Дини для ФП). Пусть ФП
(или не убывает) в каждой точке сегмента
Тогда, если все элементы ФП
рывны на
n
1 1
0, 1
x
сходится к разрывной функции
f x
n
nx nx
n x n x
, то сходимость ФП
2 4 2 4
последовательность непрерывных
f x
состоит из непрерывных функций
:
1
4
n
2
3
n
1
2
1
n
2
не возрастает
n
2 4
1 3
n n x
2
2 4
1
n x
x
и сходится на нем к
и предельная функция
n
является равномерной на
n
f x
x
. (3.6)
непре-
x
.
.
З а ме ч ан и е. В теореме 3.6 существенно условие монотонности.
Например,
не монотонна на
n
убывает).
f x
n
1
nx
2 4
n x
(при
0, 1
(см. (3.6)), но каждая из функций
– возрастает, а при
–
57
f x
,
a b
f x
f x
,
a b
f x
,
a b
,
x a b
f t dt f t dt f t dt
0
1 2 2 4
n
f x x
0,1
0, 0,1 ;
f x
,
a b
f x f x
f x
,
a b
0
x
,
a b
x
f x
,
a b
x
f x
0
IV. Почленное интегрирование
Теорема 3.7. Если ФП
ции
ная функция
димости.
почленного интегрирования последовательности.
Но при этом справедливость равенства (3.7) легко доказать непосредственным интегрированием.
, а каждая из функций
интегрируема на
x x x
0
З а ме ч ан и е 1 . В теореме 3.7 существенно условие равномерной схо-
1nxn x
1 1
lim lim lim arctg lim arctg
n n n n
0 0
З а ме ч ан и е 2 . Теорема дает лишь достаточное условие возможности
Ранее было показано (см. пример 3.2), что ФП
сходится неравномерно к разрывной функции
2 4
0,1
f t dt dt nt n
n
lim lim
n n
x x x
0 0 0
(см. (3.6)), но при этом
nt
2 4
n t
f x
сходится равномерно на
n
интегрируема на
n
и
n n
1 1
1, 1.
x
x
к функ-
, то предель-
. (3.7)
1
2
0
n
.
на сегменте
Теорема 3.8. Если все члены ФП
на сегменте
имеет первообразную на
тельность первообразных
вию
функции
x
00n
и
, сходится равномерно на
, удовлетворяющей условию
,na b
n
, то предельная функция
. Более того, если
функций
имеют первообразную
n
, то последова-
, удовлетворяющих усло-
n
к первообразной
x
.
0
также
58
f x
,
a b
,
x a b
f x
,
a b
f x
,
a b
f x
,
x a b
f x f x
,
a b
{ }
f x
,
a b
f x
lim ( ) 0
,
a b
2
f x f x
f x
f x
n
V. Почленное дифференцирование
Теорема 3.9. Если ФП
сходится хотя бы в одной точке
мерно на
торой дифференцируемой функции
З а ме ч ан и е. В теореме 3.9 под существованием производных подразумевается существование производной на
в точке a справа и левой производной в точке b слева.
Все сказанное выше позволяет сделать следующий важный вывод: равномерная сходимость не выводит из класса функций, имеющих предельное
значение (теорема 3.4), из класса непрерывных функций (теорема 3.5),
из класса интегрируемых функций (теорема 3.7), из класса функций, имеющих первообразную, и в случае равномерной сходимости производных –
из класса дифференцируемых функций (теорема 3.9).
3.4. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ
ФП
на
или, что то же самое,
, то сама ФП
интегрируемых с квадратом функций сходится в среднем
n
к интегрируемой с квадратом функции
0 ( ) ( )
N N n N f x f x dx
b
n
a
дифференцируемых на
n
0
n
f x f x dx
n
, а ФП
сходится равномерно на
и
lim
.
n
b
n
a
2
сходится равно-
n
n
, правой производной
, если
.
2
,
функций
к неко-
З а ме ч ан и е 1 . Сходимость в среднем также называют среднеквад-
ратичной сходимостью.
З а ме ч ан и е 2 . Интегрируемость на
следует из интегрируемости с квадратом функций
функции
,
( )
n
,
n
.
59
f x
f x
f x
B A
f x
f x
f x
f x f x
f x
f x
f x f x
lim sup ( ) 0
f x f x dx f x f x dx
lim sup ( ) lim sup ( ) 0.
f x
f x
n
f x x
0
0,1
f x
0
0,1
0,1
lim ( ) lim lim lim 0
Лемма 3.2. Если ФП
на множестве A, то эта ФП сходится в среднем к
подмножестве
Лемма 3.3. Если ФП
к функции
функции, отличной от
Теорема 3.10. Если
в среднем.
Так как по условию
Следовательно,
0 lim ( ) lim ( )
З а м е ч а н и е . Обратное по отношению к теореме 3.10 утверждение
неверно, т. е. из сходимости в среднем равномерная сходимость не следует.
Более того, если
ничего нельзя сказать не только про равномерную, но и про поточечную
сходимость этой последовательности.
b b
n n
n n
a a
b b
n n
a a
.
, то она сходится в среднем на этом множестве к любой
n
f x f x dx f x f x dx
n n
, ,
x a b x a b
сходится в среднем на множестве A к
n
сходится в среднем к функции
n
и на любом его
сходится в среднем на множестве A
n
не более чем в конечном количестве точек.
,na b
f x f x
,
, то ФП
, то
n
,na b
x a b
2 2
сходится к функции
n
.
22
, то
В примере 3.2 было показано, что ФП
мерно к функции
ся к функции
3.2 и на полуинтервале
1 1
f x f x dx x dx
n n n n
0 0
f x
f x
n
на множестве
в среднем на отрезке
, так как
2
2
n
n
. Но при этом
, а значит, в силу леммы
2 1
n
x
2 1 2 1
n n
сходится неравно-
n
1
0
1
сходит-
. (3.8)
n
f x x
0,1
0
0
1x
f x
,
a b
f x
,
a b
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x f x dx
f x f x dx dx b a f x f x dx
lim 0
Для доказательства второго утверждения заметим, что любая равномерно сходящаяся ФП сходится и поточечно, и в среднем к тому же пре-
делу. При этом рассмотренная выше ФП
в среднем к функции
f x
тельность, сходящуюся к 1.
, так как при
получаем стационарную числовую последова-
f x
, но поточечно она не сходится к
n
сходится на отрезке
Теорема 3.11 (почленное интегрирование ФП). Если ФП
сходится в среднем на
можно почленно интегрировать на
b b b
b b b
lim lim
n n
a a a
Неравенство
Коши Буняковского
lim lim
n n
lim lim
n n
a a a
n n
b b b
n n
a a a
b a f x f x dx
к функции
n n
, то эту последовательность
, т. е.
b b b
h x g x dx h x dx g x dx
a a a
2 2
b
n
a
n
2 2
2
.
.
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]