Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая теория радиотехнических систем. Обнаружение и различение сигналов. Учебное пособие
.pdf
Находим параметры ПРВ:
E
s
2
и дисперсию
. Вычисляя математическое ожидание (3.37), получаем
mutststdt
1 д1 шд1 ш 10 д1
()w
– математическое ожидание
1
T
( )[ ( , ) ( , )]
0
m
1
.
Здесь черта сверху обозначает вычисление математического ожидания.
Учтено, что математическое ожидание белого гауссовского шума равно
нулю. Подставляя в это выражение (3.35), находим
T
() (, )
где
mstst st dtE
11 1 0 10
T
stdt
0
(, )[ (, ) (, )] ( )(1 )
0
2
1(0)
– энергия каждого из сигналов, а безразмерный
, (3.40)
параметр
T
1
10 1 0
E
()
tstdt
(, ) (, )
0
(3.41)
является коэффициентом взаимной корреляции рабочих сигналов
(, )st
1
11
лах
(, ) (, )st st
10
и
(, )st
0
10
. Значения коэффициента корреляции лежат в преде-
. Предельному значению
, значению
10
1
10
1
– сигналы
соответствуют сигналы
(, ) (, )st s t
10
называемые противоположными.
Находим дисперсию:
,
T
2
TT
( ) ( )[ ( , ) ( , )][ ( , ) ( , )] .
ututst st st st dtdt
ш 1 ш 211 01 12 02 12
00
()[ (, ) (, )]
utst st dt
ш 10
0
81
2
Поскольку корреляционная функция белого шума
A
A
p
p
p
N
0
()
имеет -образный характер, используя фильтрующее
2
tt
21
() ( )utut
ш 1 ш 2
свойство -функции, находим
T
N
22
0
st s t dt EN
[(, ) (, )] (1 )
11 01 1 0 10
2
0
. (3.42)
Подставляя (3.40), (3.42) в (3.39), определяем вероятность ошибок:
1
1
pq
10
10
, (3.43)
2
где
0
сигнала
0 д0 ш
д0 д110
2/qEN
– отношение сигнал/шум.
0
Аналогично можно определить вероятность ошибки
).
ПРВ
*
при фактическом присутствии
1
()w
выходного эффекта
00
()wd
00 0
принятия решения
(, )st
0
(событие
0
отличается знаком детерминированной составляющей
(1 )E
. При этом формула для
1
1
pq
01
10
2
совпадает с (3.43):
01
. (3.44)
p
01
С учетом (3.43), (3.44) находим среднюю вероятность ошибок (3.17):
1
10
.
10
2
, (3.45)
Ppppppppp q
ош 0 01 1 10 10 0 1 10
величина которой совпадает с вероятностями
() 1
01
82
,
Согласно (3.45) средняя вероятность ошибок определяется двумя па-
P
E
s
раметрами: отношением сигнал/шум
сигналов
. Как отмечалось ранее, интеграл вероятности представ-
10
q
и коэффициентом корреляции
ляет собой монотонно возрастающую функцию (см. рис. 2.8), поэтому,
q
как видно из (3.45), при увеличении
вероятность ошибок
, что является ожидаемым результатом. Оце-
ош
ним влияние коэффициента корреляции
монотонно уменьшается средняя
. Предварительно напом-
10
ним некоторые положения теории сигналов как элементов геометрического пространства сигналов.
Геометрическая трактовка сигналов исходит из их рассмотрения как
векторов в многомерном пространстве. Это дает возможность при анализе сигналов пользоваться свойствами геометрических объектов. Лю-
(, )st
бой сигнал
может быть представлен вектором в этом простран-
стве, исходящим из нулевой точки и оканчивающимся в точке, однозначно соответствующей данному сигналу. Интенсивность сигнала в
этом пространстве отображается в виде длины (нормы) вектора
T
(, ) (, ) ( )
s t s t dt E
связанной с энергией сигнала
гия зависит от параметра
раметром сигнала. Для двух сигналов (двух векторов)
2
0
T
() (, ) .
,
называемого при этом энергетическим па-
2
st dt
0
,
В общем случае энер-
()st
1
и
()st
опре-
0
деляется скалярное произведение:
T
( ( , ), ( , )) ( , ) ( , ) .
tst ststdt
10 10
0
С другой стороны, скалярное произведение векторов определяется произведением норм
угла
между векторами:
10
( ( , ), ( , )) ( ) ( ) cosst st E E
(, ) ( )st E
11
10 1010
83
(, ) ( )st E
,
00
.
и косинуса
Отсюда можно определить косинус угла (а следовательно, и сам угол)
s
s
P
между сигнальными векторами:
((, ), (, ))
st st
cos ( , ) ( , ) .
При равных энергиях сигналов
10
10 0
() () () ()
EE EE
10 10
10
T
E
1
()
0
cos ( , ) ( , ) .
10 1 0
1
() () ()EE E
tstdt
T
tstdt
1
0
отсюда получаем
Сопоставляя это выражение с (3.41), устанавливаем, что коэффициент
корреляции сигналов
совпадает с косинусом угла между сигналь-
10
ными векторами:
cos
10 10
.
Рассмотрим несколько примеров влияния коэффициента корреляции
(и, следовательно, угла
10
)
на вероятность ошибок разли-
10
чения.
Большое значение имеет случай, когда коэффициент корреляции
10
1
и угол
10
180 .
При этом сигналы связаны между собой вы-
ражением
(, ) (, )st s t
10
и называются противоположными. Их изображение в виде векторов показано на рис. 3.6. Из (3.45) для этого случая имеем
1()
q
()st
1
Рис. 3.6. Векторное изображение
противоположных сигналов
ош
0
84
. (3.46)
()st
0
При
10
90
коэффициент корреляции
10
0,
сигналы ортого-
нальные, их изображение показано на рис. 3.7. Вероятность ошибок
(3.45) при этом выражается соотношением
12Pq . (3.47)
ош
Из сравнения (3.46) и (3.47) видно, что при одинаковых значениях отно-
q
шения сигнал/шум
вероятность ошибок при ортогональных сигналах
выше.
На рис. 3.7 окружностями условно изображены границы областей,
в которых могут находиться концы векторов входного сигнала в присутствии шума, соизмеримого с сигналом, круговые области пересекаются. Попадание входного сигнала в «общую» область иллюстрирует
механизм возникновения ошибок различения.
()st
1
0
Рис. 3.7. Векторное изображение
ортогональных сигналов
()st
0
Очевидно, что в случае ортогональных сигналов угроза перепутываний выше, чем при сигналах противоположных, что и объясняет
больший уровень вероятностей ошибок в случае ортогональных сигналов.
85
3.8. ПРИНЦИПЫ ОПТИМИЗАЦИИ
s
s
s
s
s
АНСАМБЛЕЙ СИГНАЛОВ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ
Из предыдущего раздела следует общий принцип оптимизации ансамблей сигналов произвольных размеров М. Наилучшими сигналами
равных энергий являются такие, у которых два любых соответствующих
им векторов находятся на максимально возможном удалении друг от
()
d
друга. Расстояние
между двумя сигналами
ij
ется как норма разностного сигнала
() ()
tst
ij
t
i
и
()
t
определя-
j
:
T
dststdt
ij i j
[() ()] .
0
В случае противоположных сигналов равных энергий
тогональных имеем
dE
2
ij
– расстояние в
Для произвольных ансамблей M сигналов расстояния
пар индексов
, ij
различаются: некоторые векторы ближе друг к другу,
2
(3.48)
2,
dE
ij
2
а для ор-
раз меньше.
d
для разных
ij
некоторые дальше. Очевидно, такие ансамбли не являются оптимальными. В более благоприятном положении находятся сигналы, удаленные один от другого, в менее благоприятном – те сигналы, для которых
расстояния меньше. Можно определить пару самых неблагоприятных
сигналов
t
i
и
()
t
, для них расстояние
j
d
– наименьшее из всех
ij
()
парных расстояний:
min
dd . (3.49)
ij kl
,
kl
При отыскании оптимального ансамбля сигналов на основе какого-либо
существующего ансамбля необходимо контролировать наименее благоприятную пару, для которой выполняется условие (3.49), и вносить такие изменения в сигналы, при которых происходит максимизация мини-
d
мального расстояния
. Подставляя в это выражение формулу (3.48),
ij
при равных энергиях сигналов получаем для наихудшей пары сигналов:
min min 2 (1 )
dd E
ij kl k l
kl kl
,,
86
.
,
Очевидно, что наихудшая пара сигналов может быть определена из ана-
s
M
M
s
s
лиза парных коэффициентов корреляции:
max
.
ij kl
kl
,
Оптимизация предполагает такие корректировки сигналов, при которых
максимальная корреляция
будет минимизироваться.
ij
Очевидно, все сигнальные векторы оптимального ансамбля сигналов расположены относительно друг друга под одним и тем же углом
для любой пары сигналов
ij
коэффициенты корреляции
(), (), .
tsti j
ij
, ijij
также одинаковы для любой
Поэтому все парные
пары сигналов. Сигналы, обладающие такими свойствами, получили
название симплексных сигналов. Определим величину
. Рассмотрим
множество коэффициентов парных корреляций
0, 1,jM
Ее
2
образующих матрицу размером
диагональных элементов
(1)MMMM
элементов
, ijij
1, 0, 1,
iM
ii
не зависят от комбинаций
,ij
M
а остальные
0, 1,iM
элементов.
индексов i и j. Сумма всех элементов корреляционной матрицы для
этого случая легко определяется:
11
MM
MMM
ij
00
ij
(1)
. (3.50)
Вычислим значение этой же суммы исходя из определения (3.41) коэффициента корреляции:
MM MM
11 11
ij ij
00 00
E
1
ij
E
()
T
MM
11
1
()
(, ) (, )
00
ij
0
T
M
1
E
()
i
0
T
(, ) (, )
tstdt
ij
0
tstdt
ij
1
st dt
(, ) 0.
i
0
2
(3.51)
87
Здесь неотрицательность результата обусловлена тем, что выражение
M
s
под интегралом не имеет отрицательных значений. Из выражений (3.50), (3.51) вытекает неравенство
(1)0,MMM
откуда находим
1
.
1M
Значение
1
1
является минимальным достижимым коэффициентом корреляции равноудаленных векторов-сигналов ансамбля. Вполне ожидаема зависимость этого параметра от размеров ансамбля М: чем больше М, тем
ближе величина
к нулю. С увеличением числа сигналов коэффициент
корреляции любой пары сигналов стремится к нулю, т. е. оптимальный
ансамбль сигналов приближается к ансамблю ортогональных сигналов.
3.9. ПРИМЕР ОТЫСКАНИЯ АНСАМБЛЯ
ОПТИМИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Рассмотрим один из подходов улучшения исходного ансамбля сиг-
(), 0, 1
налов
st i M
i
тате оптимизации будет получена новая система сигналов
0, 1iM
. Метод улучшения семейства состоит в добавлении к каж-
дому сигналу одного и того же сигнала
, который не является оптимальным. В резуль-
(),
t
i
()zt
; в геометрическом про-
странстве сигналов этому соответствует прибавление к каждому век-
(), 0, 1
st i M
тору
сигналу
i
()zt
. Улучшенные сигналы описываются выражением
, одного и того же вектора, соответствующего
() () (), 0, 1
st st zt i M
ii
.
Вектор
() () () () () () () ()
s t s t st zt st zt st st
,
ij i j i j i j ij
88
характеризующий расстояние между двумя произвольными сигналами,
E
в улучшенной системе сигналов остается таким же, как в исходной. Следовательно, изменения вероятностей ошибок при таком изменении не
происходит. Оптимизации предполагается достичь за счет уменьшения
суммарной энергии всех сигналов улучшенного ансамбля по сравнению
с аналогичным показателем для исходного ансамбля сигналов. Таким
образом, улучшенный ансамбль
сигналов будет обеспечивать необходи-
мое качество при меньших затратах энергии.
Определим суммарную энергию ансамбля улучшенных сигналов:
T
Корректирующий сигнал
M
(() ()) .
()zt
st zt dt
i
0
i
0
определяется так, чтобы обеспечить тре-
2
(3.52)
бование минимума суммарной энергии ансамбля сигналов:
E
(3.53)
min .
()
zt
Подынтегральная функция в (3.52) неотрицательна. Поэтому требование (3.53) будет удовлетворяться, если при всех значениях
t
будет ми-
нимизироваться величина
M
() ( () ()) .
vt s t zt
i
0
Отсюда, приравнивая производную
dv t
dz t
()
()
M
2 ( () ()) 0,
i
0
i
st zt
i
2
()/dt dt
к нулю, находим:
откуда имеем
1
M
M
1
0
i
(3.54)
i
() ().
zt s t
Предположим, что исходная система состоит из ортогональных сиг-
(), 0, 1
налов
st i M
i
. Найдем суммарную энергию улучшенной
89
системы сигналов (3.52), если корректирующий сигнал
E
s
s
M
M
M
ется выражением (3.54):
()zt
определя-
T
MM
11
TT
MMM
111
000
iij
00
MMM
ijk
21
E ME MEME EEMEE
M
st s t dt
ij
00
0
2
tdt s ts tdt
() () ()
lij
111
1
2
M
000
1
M
M
0
i
1
() ()
ij
M
2
M
T
ts tdt
() ()
kj
0
2
2
2.
Здесь Е – энергия каждого из сигналов исходного ансамбля. Суммарная
,EME
энергия исходного ансамбля
EE E
При
2M
, например,
/2EE
поэтому получаем
E
оптимизированный ансамбль сигна-
M
M
1
.
лов обеспечивает экономию энергии в два раза. С ростом числа сигналов
экономия уменьшается, практически исчезая при больших размерах ансамблей. Отсюда вытекает, что ортогональные сигналы при
больших размерах ансамблей близки к оптимальным.
3.10. РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ ПРИ ПРОСТЫХ
ВИДАХ ЦИФРОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Рассмотрим простейшие виды сигналов с цифровой модуляцией амплитуды, фазы и частоты, используемых в системах связи. Сообщение,
подлежащее цифровой передаче, подвергается специальным процедурам, в результате которых становится последовательностью логических
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]