Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая теория радиотехнических систем. Обнаружение и различение сигналов. Учебное пособие
.pdf
2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Все существующие РТС в процессе функционирования в том или
ином виде решают задачу автоматического обнаружения сигнала. В радиолокации, например, наличие полезного сигнала (сигнала цели) означает присутствие цели в поле зрения РЛС, а его отсутствие соответствует ситуации, когда цель не фиксируется. Установление наличия или
отсутствия цели представляет
онном наблюдении информацию. В цифровой связи, как правило, сообщения кодируются последовательностями бинарных символов – единиц
и нулей. Передача единицы может осуществляться посылкой в линию
связи высокочастотного сигнала, а передача нуля – отсутствием посылки (выключением передающего устройства). Таким образом, прием
сигнала в цифровой связи представляет собой последовательное
тывание обнаружителя, который выполняет текущий анализ поступающего сигнала и принимает решение в том темпе, в каком канале связи
передаются двоичные символы.
Обнаружение сигнала – это определенная вычислительная операция, выполняемая приемником обнаружения над колебанием, поступающим на его вход, и завершающаяся принятием двоичного (бинарного)
решения. Найти правило, по
невозможно без применения современных математических методов.
Начальным шагом в этом будет математическая формулировка задачи
обнаружения.
собой чрезвычайно важную при локаци-
сраба-
которому работает обнаружитель сигнала,
2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА
Причиной, порождающей проблему обнаружения сигналов, служит
присутствие помех во входном сигнале приемного устройства (часто
именуемом наблюдаемым сигналом). Поэтому отсутствие полезного
сигнала на входе приемника не означает наблюдения
11
нулевого сигнала,
так как помеха присутствует всегда, следовательно, наличие какоголибо колебания на входе приемника совсем не означает присутствия полезного сигнала.
Обычно входной сигнал приемника
()ut описывают при помощи
выражения
()
(, ) ();
st u t
() 0 ,
ut t T
();
ut
ш
ш
А
1
()
А
0
(2.1)
в котором (, )st – полезный сигнал, а
()ut
– напряжение шума, ко-
ш
торый рассматривается как помеха радиоприему. Математическая модель полезного сигнала часто содержит те или иные параметры
, или
вектор параметров, например, это могут быть амплитуда, частота, фаза
радиосигнала, другие параметры, характеризующие его модуляцию.
Выражение (2.1) предусматривает возможность одного из двух состояний входного колебания (или двух возможных событий на входе обнаружителя), которые обозначены:
A – присутствует полезный сигнал с шумом;
1
A
– присутствует только шум.
0
Эти обозначения в дальнейшем будут использоваться, так как они
способствуют более лаконичному изложению. Подчеркнем, что согласно (2.1) рассматривается наблюдение со строго фиксированным
временным интервалом существования.
Задача обнаружителя сигнала состоит в выполнении анализа наблюдаемого сигнала (2.1) с целью принятия решения о том, какое из двух
состояний
(A или 0)A имело место при поступлении сигнала ().ut
1
Наличие шума приводит к тому, что исключить ошибочные решения невозможно. Решения обнаружителя по аналогии со входными состояниями обозначают так:
*
A – решение обнаружителя о присутствии сигнала с шумом;
1
*
A – решение обнаружителя о присутствии только шума.
0
Очевидно, что опасность ошибочных решений будет минимальной,
если решение принимать по окончании наблюдения, т. е. в любой момент
так как при любом разумном способе анализа входного сиг-
,tT
нала увеличение длительности наблюдения улучшает представление
о свойствах наблюдаемых данных. Поэтому для всех РТС свойственно
12
стремление к увеличению интервала наблюдения Т. Однако это увели-
A
A
чение всегда ограничивается темпом работы РТС, который, в свою очередь, всегда определяется назначением системы. Поэтому реально решение обнаружителем выносится в момент
шения в любой более поздний момент
фективности работы и просто означает
tT
задержку в приемнике обнару-
,tT так как вынесение ре-
ничего не добавляет к эф-
жения, которая, как правило, бывает нежелательной.
В самом общем виде структурная схема обнаружителя сигнала показана на рис. 2.1.
1
()ut
Приемник обнаружения
0
Рис. 2.1. Обобщенная схема приемника обнаружения
Отметим здесь, что на входе присутствует входной сигнал ()ut ,
а выход является бинарным, что условно изображено в виде двух состо-
яний, соответствующих принятому решению
*
A или
1
*
A .
0
2.2. БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
СТРУКТУРЫ ОБНАРУЖИТЕЛЯ
Одной из основных задач при проектировании обнаружителя сигна-
лов в РТС стало
отыскание тех операций обработки сигнала ()ut , ко-
торые обеспечивают максимально высокую эффективность обнаружения при функционировании системы. Решение этой задачи, называемое
синтезом решающего правила, основывается на выборе определенного
критерия оптимальности, который отвечает смыслу задачи обнаружения и дает возможность математического отыскания решающего правила. Существуют различные подходы к построению оптимальных
устройств, один из которых –
мума
среднего риска (МБР). При его существенных ограничениях,
байесовский – основан на критерии мини-
13
которые позже будут обсуждены, использование критерия МБР позво-
A
ляет понять, каким образом должен быть устроен оптимальный обнаружитель, а также оценить предельные характеристики качества обнаружения сигналов. Все остальные подходы к синтезу обнаружителей сигналов лишены ограничений байесовского подхода и имеют в своей
структуре элементы обработки сигналов, вытекающие из байесовского
принципа
, а свойственные им характеристики обнаружения часто уступают характеристикам байесовского обнаружителя. Естественно при
этом определить те потери качества, которые связаны с применением
других критериев, и оценить приемлемость предлагаемых подходов.
При работе обнаружителя могут возникать следующие четыре ком-
бинации входного и выходного состояния:
*
01
AA
10
00
AA
11
– ошибочные решения обнаружителя;
*
*
– правильные решения обнаружителя.
*
1)2)AA
3)4)AA
Первая комбинация, например, описывает ситуацию, когда на входе
приемника полезный сигнал отсутствует, а обнаружитель принял ошибочное решение о его наличии. Аналогично расшифровываются остальные три комбинации.
К числу основных понятий байесовского подхода относятся стои-
мости ошибок обнаружения:
r – стоимость (штраф, риск) ложного обнаружения сигнала;
01
r
– стоимость пропуска сигнала.
10
Здесь и везде в дальнейшем при использовании двойных индексов
(0 или 1) первый индекс будет обозначать состояние сигнала на входе
обнаружителя, а второй – выходное состояние (т. е. принятое решение). Так, например,
«наказывается» обнаружитель, если при входной ситуации
принято решение
r определяет величину штрафа, которым
01
A им
0
*
A . Указанные величины штрафов случайны, по-
1
скольку факт назначения той или иной санкции зависит от того, какая
из двух возможностей
(A
0
того, какое из двух решений
или
)
реализуется на входе, а также от
1
*
или
A
0
*
будет принято приемником.
A
1
14
При байесовском подходе входные состояния считаются случайными
p
p
A
p
p
p
p
D
F
R
R
p
событиями, для их описания вводятся
– вероятность входного состояния 1;A
1
– вероятность входного состояния
0
нормировки
Наличие случайной помехи
бежно приводит к случайному характеру реакции обнаружителя.
Для описания этого можно ввести четыре
AA F
ее называют вероятностью
AA
AA
AA D
Легко понять, что эти условные вероятности отвечают двум соотношениям нормировки:
10
*
10
*
– вероятность пропуска сигнала;
01
*
– вероятность правильного необнаружения;
00
*
11
1.pp
– вероятность ложного обнаружения (в радиолокации
ложной тревоги);
– вероятность правильного обнаружения.
априорные вероятности:
, с очевидным свойством
0
()ut во входном сигнале ()ut неиз-
ш
условные вероятности:
**
01 11
используя которые, принято обозначать:
Средний (байесовский) риск
тематическое ожидание случайных величин
где
полезный сигнал отсутствует и что происходит ложное срабатывание
F
– совместная вероятность того, что на входе обнаружителя
0
1pA A pA A
*
pA A D
01
*
pA A F
00
rpF rpD (2.3)
01 0 10 1
**
,
10 00
1;
(2.2)
1.
обнаружителя определяется как ма-
r и 10r :
01
,
15
,
1pA A pA A
обнаружителя, т. е. вероятность того, что риск примет значение
p
p
p
p
p
Аналогично
нимает значение
В выражении (2.3) величины
D представляет собой вероятность того, что риск при-
1
r .
10
r , 10r ,
01
и
0
определяются внеш-
1
r .
01
ними для обнаружителя факторами и при отыскании оптимальной процедуры обработки сигналов являются константами.
Сам процесс отыскания оптимального обнаружителя представляет
собой перебор всех возможных процедур, которые в соответствии
с рис. 2.1 преобразуют входной сигнал
в одно из двух выходных решений
(), 0ut t TU= (2.4)
A
*
или
0
*
A
. В (2.4) введено компакт-
1
ное обозначение входного сигнала на всем интервале наблюдения, который используется обнаружителем при принятии им решения.
Среди множества процедур, выполняющих преобразование входного сигнала
U в одно из двух решений
A
*
или
0
*
A
, необходимо найти
1
такую, которая обеспечивает минимальное значение среднего риска (2.3):
В (2.5)
(
правил принятия решения, решающих правил) указанного вида, и, сле-
Г()U – множество всех возможных вычислительных процедур
minR
. (2.5)
Г()
U
довательно, это выражение представляет собой требование отыскания
такой процедуры
Г ()U из множества
Б
Г()U , для которой риск мини-
мален. Приемник обнаружения, обладающий таким свойством, является
оптимальным по критерию Байеса обнаружителем, или
приемником.
Как уже говорилось, величины
r , 10r ,
01
и
0
байесовским
не зависят от
1
устройства приемника, а определяются внешними для него факторами.
В процессе отыскания оптимального функционала приемника
Г ()U ,
Б
например, методом перебора всех возможных вариантов различным вариантам Г()
U будут соответствовать различные значения условных
16
вероятностей F и .D Если изменение решающего правила
A
F
A
A
приводит к более простому принятию решения
ствует», то растет вероятность ложного обнаружения
вероятность пропуска сигнала
нии правила
тельным
ятность ложного обнаружения
D
нала
Г()U
, мы сталкиваемся с разнонаправленными изменениями вероятно-
стей ошибок
тами образуют сумму в выражении байесовского критерия (2.3), (2.5).
Из этого следует, что в самом деле существует оптимальное решающее
правило
В большинстве случаев при помощи перебора всех возможных решающих процедур невозможно отыскать оптимальное решающее правило, для этого используются аналитические методы.
Г()U
принятие решения
увеличивается. Следовательно, изменяя решающую процедуру
,D
F и
Г ()U , для которого байесовский риск минимален.
Б
которые с определенными весовыми коэффициен-
.D Если при каком-либо другом измене-
*
становится более затрудни-
1
F снижается, а вероятность пропуска сиг-
*
«сигнал присут-
1
и уменьшается
*
то, наоборот, веро-
,т. е. облегчается принятие решения
0
Г()U
2.3. РЕШАЮЩЕЕ ПРАВИЛО БАЙЕСОВСКОГО
ПРИЕМНИКА ОБНАРУЖЕНИЯ
Отыскание оптимального решающего правила, помимо критерия
оптимальности, опирается на математические модели, которые описывают полезные сигналы и помехи. В радиотехнике получили развитие
и широкое применение различные способы математического описания
сигналов. Решению многих задач способствует представление сигнала
как вектора в многомерном пространстве. Если, например, сигнал
()ut
дискретный и содержит n временных отсчетов
()uut ,
11
то его можно представить в виде вектора в
екции которого на координатные оси равны
существуют различные способы представления и
лов в дискретном виде, например путем взятия отсчетов (дискретизации), поэтому геометрические трактовки вполне применимы и для них.
()uut , …, ( )
22
17
uut ,
nn
n -мерном пространстве, про-
u , 2u , …, nu . Заметим, что
1
непрерывных сигна-
Одно из важных достоинств геометрических моделей состоит в том,
A
A
A
A
что в указанных пространствах действуют такие же закономерности,
как и в обычной трехмерной геометрии. Это дает возможность вычислять углы между векторами, проекции векторов на различные направления, пользоваться понятием ортогональности векторов и т. п. Вместе
с тем многие из этих вычислений
зований сигналов. Поэтому возникает возможность на основе геометрических трактовок решать разнообразные проблемы обработки
игналов.
Очевидно, каждому сигналу соответствует определенный вектор
в пространстве сигналов и каждому вектору – вполне определенный
сигнал, т. е. существует взаимно однозначное соответствие между сигналами и векторами сигнального пространства. Поскольку
исходят из начала системы координат, различаются они лишь положением концов этих векторов (которые и определяются значениями коор-
динат
значном соответствии
лов
геометрических аналогий? Приемник обнаружения должен по окончании анализа принятого сигнала
вет «есть полезный сигнал»
Это означает, что пространство сигналов должно быть разбито на
две области
водить к принятию решения
а в совокупности они должны образовывать полное множество точек
сигнального пространства. Любой приемник обнаружения отличается
от другого тем,
разбиение пространства сигналов на области
речь идет о том, как устроена граница, которая разделяет пространст-
во на области
приемника можно рассматривать как отыскание границы, при ис-
пользовании которой обеспечивается выполнение байесовского критерия оптимальности (2.5). Очевидно, решающую функцию любого
u , 2u , …, ).nu Следовательно, можно говорить о взаимно одно-
1
точек пространства сигналов и различных сигна-
().ut
Обозначим множество всех точек пространства сигналов .
Что же представляет собой задача обнаружения сигнала с позиций
и 0 . Попадание вектора U в область 1 будет при-
1
*
. Очевидно, что области 1 и 0 не должны иметь общих точек,
0
как именно его решающая функция
и 0 . В этом смысле отыскание оптимального
1
имеют смысл тех или иных преобра-
все векторы
(), 0ut t TU= дать бинарный от-
*
или «нет полезного сигнала»
1
*
, а попадание в область
1
– решения
Г()U
осуществляет
и
1
0
0
. Фактически
*
.
0
18
приемника обнаружения можно формально выразить следующим со-
A
A
F
D
A
отношением:
*
, если ;
Г()
U
A
11
*
, если .
A
00
U
U
Байесовский критерий предполагает знание всех вероятностных характеристик, описывающих случайные события и случайные процессы.
Напомним, что такая информированность обнаружителя дает ему преимущества и обеспечивает максимальные показатели эффективности
решения задачи, однако существенно ограничивает его применимость,
поскольку очень часто в реальных условиях те или иные вероятностные
характеристики неизвестны.
Известными при байесовском
сти распределения вероятностей (ПРВ)
wA U , характеризующие вероятностные свойства вектора U при
0
обоих входных состояниях
подходе бывают, в частности, плотно-
или
1
()wwAUU и 0()w U
11
соответственно. Используя их,
0
можно определить условные вероятности F и D очевидными соотношениями:
=w d
=w d
где n-мерные интегралы вычисляются в пределах области
соответствует решению о наличии полезного сигнала
() ;
UU (2.6)
0
1
() ,
UU (2.7)
1
1
, которая
1
*
. Учитывая да-
1
лее соотношение нормировки (2.2), представим выражение байесовского критерия (2.3), (2.5) в виде
rp
RrpFrpDrp F D
01 0 10 1 10 1
rp
11()min,
rp D F rp DlF
10 1 10 1 0
01 0
rp
10 1
01 0
rp
10 1
19
(1 )
U
Г()
где
rp
01 0
l
0
(2.8)
rp
10 1
– безразмерный коэффициент.
При всех изменениях решающего правила в выражении критерия изменяются лишь условные вероятности F и D. Поэтому минимум в левой
части достигается при условии
maxDlFU, (2.9)
0
Г
которое формально уже не является критерием минимума среднего
риска, но полностью ему эквивалентно и поэтому по-прежнему может
рассматриваться как байесовский критерий оптимальности. Поскольку
критерий (2.9) представляет собой линейную комбинацию условных вероятностей, его иногда называют весовым. Подставляя далее (2.6) и (2.7)
в (2.9), получаем
()
U
w
D= w l w d w l d
() () () max.
UUUU U=
11
100 0 0
1
()
U
w
0
Г()
U
(2.10)
Соотношение (2.10) дает возможность определить конфигурацию
области
U, в силу известных свойств ПРВ, имеет место
() () () 0.lwwUUU Кроме того, как видно из определения (2.8),
0.l В тех точках пространства , где 0()llU , выражение в квад-
0
, при которой достигается максимум. Для любых значений
1
0(1)
10
() 0,w U
ратных скобках в (2.10) отрицательно. Включение этих точек в область
интегрирования
приводило бы к уменьшению результата интегри-
1
рования и, следовательно, противоречило максимизации критерия. Отсюда вытекает, что в состав области
такие значения
U, для которых выражение в квадратных скобках неот-
должны быть включены лишь
1
рицательно, т. е. выполняется условие
()
w
U
()
ll
U
1
U
()
w
0
20
. (2.11)
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]