Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая теория радиотехнических систем. Обнаружение и различение сигналов. Учебное пособие
.pdf
сная характеристика фильтра. С этим же связано и уменьшение числа
A
A
функций синхронизатора.
u(t)
СФ
Синхронизатор
()Cz U
t = T
z
Cz
0
0
1
0
Рис. 2.7. Фильтровой обнаружитель полностью известного сигнала
Функциональная эквивалентность двух схем обнаружителя при проектировании РТС предоставляет возможность выбора того или иного
варианта построения. Отметим в заключение настоящего раздела, что
наличие такой возможности широко используется в реальных проектах,
когда выбор схемы обнаружителя определяется учетом специфических
особенностей создаваемых изделий и условий их функционирования.
2.6. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБНАРУЖЕНИЯ
ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
Использование оптимальной схемы обнаружителей сигналов дает
гарантию предельного качества радиоприема. Используя оптимальный
обнаружитель, разработчик радиотехнической системы наилучшим образом распоряжается ресурсами устройств, которые входят в состав
РТС: радиопередающих, радиоприемных, антенных и других.
Радиотехнические системы, в работе которых применяется автоматическое обнаружение сигналов, проектируются с использованием ха-
рактеристик обнаружения сигнала. Это дает
возможность сбалансиро-
вать основные технические параметры всех устройств, составляющих
РТС. Сам анализ характеристик обнаружения – это отдельная задача,
которая входит как составная часть в общую задачу разработки обнаружителя сигнала.
Под характеристиками обнаружения понимают зависимости, связывающие вероятности правильного обнаружения D, ложной тревоги F
2
q
и отношение сигнал/шум
. Далеко не всегда указанные зависимости
31
удается определить аналитически, тогда приходится применять иные
F
методы, например, часто используется метод статистического моделирования. Обнаружение полностью известного сигнала на фоне белого
гауссовского шума относится к числу задач, когда удается найти аналитическое решение, хотя и в этом относительно простом случае расчетные соотношения содержат функцию интеграла вероятностей, которая
относится к
Пусть
числу специальных функций.
()wz и 1()wz – плотности распределения вероятностей
0
напряжения z на выходе коррелятора (или согласованного фильтра)
при отсутствии полезного сигнала на входе и при его наличии соответственно. Поскольку решение о наличии сигнала принимается, когда
zz , искомые вероятности определяются равенствами:
0
z
0
wzdz
z
0
() ;
1
() .
0
(2.30)
(2.31)
Dwzdz
Преобразование (2.29), которому подвергается гауссовский белый шум
в оптимальном приемнике, является линейным, поэтому обе ПРВ
()wz – гауссовские. Это означает, что они полностью определяются
и
1
0
()wz
своими математическими ожиданиями и дисперсиями. Найдем сначала
параметры плотности
()wz, соответствующей ситуации 1A . Это озна-
1
чает, что входной сигнал имеет вид
() (, ) ()ut st u t . (2.32)
ш
При этом сигнал на выходе коррелятора:
TT
[(, ) ()](, ) ( ) ()(, )
zst utstdtE utstdt
00
шш
(2.33)
представляет собой сумму эффектов, вызванных действием полезного
сигнала и шума на входе, причем полезная составляющая выходного
32
напряжения – величина детерминированная, численно равная энергии
()E
полезного сигнала на входе
zutstdt
шш
. Второе слагаемое в (2.33)
T
0
() (, )
(2.34)
представляет результат воздействия шума и является величиной случайной, подчиняющейся гауссовскому закону распределения. Найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, выполнив необходимые усреднения по ансамблю реализаций. Математическое ожидание находим, усредняя левую и правую часть (2.34):
TT
z utstdtutstdt
шш ш
() (, ) () (, ) 0.
00
(2.35)
Здесь черта сверху означает операцию вычисления математического
ожидания, которая, как известно, представляет собой вычисление интеграла вида
() .zzwzdz
шшшш
Поэтому в правой части черта над корреляционным интегралом соответствует наличию второго, внешнего, интеграла. Меняя местами оба
интеграла, приводим задачу к вычислению математического ожидания
белого шума
Для вычисления дисперсии
()ut, равного нулю.
ш
2
случайной величины (2.34) возведем
z
обе части этого выражения в квадрат:
TT
2
zutstdtutstdt
шш11 1ш 22 2
()(, ) ( )( , )
00
TT
() ( )(, )( , )
ututst st dtdt
ш 1 ш 21 2 12
00
33
и снова применим операцию вычисления математического ожидания:
B
B
Здесь
22
z
()()()
t t utut по определению является корреляцион-
ш 21 ш 1 ш 2
ной функцией случайного процесса
вид
-функции:
Из математического анализа известно фильтрующее свойство
TT
zututststdtdt
шш1 ш 21 2 12
() ( ) (, ) ( , )
00
()ut, которая у белого шума имеет
ш
N
() ()
tt tt
ш 21 21
0
2
. (2.37)
. (2.36)
-функ-
ции:
T
()(, ) (, )
справедливое, если
ttst dtst
21 2 2 1
0
t
является внутренней точкой интервала
1
,
[0, ]T
Подставляя (2.37) в (2.36) и используя это свойство, получаем
T
NNE
22
00
(, )
z
st dt
11
22
0
()
. (2.38)
С учетом (2.35) математическое ожидание выходного напряжения
коррелятора (2.33) в ситуации
A , когда на входе коррелятора действует
1
сумма полезного сигнала и шума, определяется энергией входного сигнала
.
()mE. (2.39)
1
Таким образом, выражения (2.38), (2.39), являющиеся параметрами
гауссовской плотности
Определение параметров плотности
()wz, полностью ее описывают.
1
()wz выполняется аналогич-
0
ным образом. Отличие состоит в том, что входное напряжение коррелятора, в отличие от (2.32), содержит только его второе (шумовое) слагаемое. Следовательно, корреляционный интеграл, в отличие от (2.33),
также содержит лишь второе слагаемое этого выражения. Легко видеть,
34
что математическое ожидание выходного напряжения коррелятора в ситуации
A
(на входе обнаружителя только шум)
0
0m , (2.40)
0
а дисперсия случайной составляющей вычисляется по тому же выражению (2.33), что и в ситуации
A .
1
Таким образом, найдены обе ПРВ
и
()
wz e
1
()
wz e
0
1
2
z
1
2
z
22
()2
zm
22
z
z
1
2
z
, (2.42)
(2.41)
необходимые для определения вероятностей правильного обнаружения
и ложной тревоги. Подставляя далее (2.41) в (2.30), получаем
Здесь
Dedz
1
2
y
()
1
yedx
2
1
2
()
zm
01
2
x
z
z
0
x
edx
z
2
– интеграл вероятности (функция
2
2
22
()2
zm
z
1
1
zm
01
z
. (2.43)
Лапласа), для которого имеются подробные таблицы; график функции
представлен на рис. 2.8.
Рис. 2.8. График интеграла вероятности
35
Подставляя далее (2.33) в (2.31), находим выражение для вероятности ложной тревоги
z
1
F
0
, (2.44)
z
которое, как нетрудно видеть из сопоставления (2.32) и (2.42), может
быть получено из (2.43) простым приравниванием
m к нулю. Подста-
1
вив далее в (2.43) и (2.44) выражения дисперсии и математического ожидания (2.38) и (2.39), получаем окончательные соотношения для условных вероятностей:
zz
1()1 ()
Dq q
00
z
zz
11
F
00
z
NE
0
()/2
; (2.45)
NE
0
()/2
. (2.46)
Безразмерная величина
222
() 2()/
qm EN
z
10
(2.47)
представляет собой отношение сигнал/шум (ОСШ) на выходе корреля-
тора, в общем случае зависящее от параметра
полезного сигнала, ко-
торый, напомним, в этом случае называется энергетическим. Поскольку
напряжения на выходе коррелятора и согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадают, ОСШ и на выходе СФ
2
()q
также определяется формулой (2.47). Иногда величину
называют
отношением сигнал/шум по мощности, подчеркивая, что согласно
(2.47) она представляет собой отношение мощностей детерминирован-
ной и случайной составляющих выходного эффекта. Соответственно величину
() 2()/qEN
называют отношением сигнал/шум по
0
напряжению. Заметим, что при логарифмическом пересчете ОСШ численные значения, выражаемые в децибелах (дБ), оказываются одинако-
выми, так как
10lg ( ) 20lg ( )qq
, что очень удобно при расчетах
2
энергетического потенциала РТС, выполняемых при проектировании.
36
Из полученных выражений (2.45) и (2.46) видно, что условные вероятности решений F и D определяются относительным порогом
2
и ОСШ
висит только от величины относительного порога
()q
. Согласно (2.46) вероятность ложного обнаружения за-
z и является его
0/z
z
0/z
монотонно убывающей функцией. Относительный порог можно определить выражением
в котором
из (2.48) значение порога
1
/(1)
zF
0
1
()
– функция, обратная интегралу вероятности. Находя
z , далее при помощи формулы (2.45)
0/z
z
, (2.48)
можно рассчитать значение вероятности правильного обнаружения для
любого значения ОСШ q.
Для практического использования удобно графическое представление характеристик обнаружения (рис. 2.9). Характеристики имеют вид
зависимостей вероятности правильного обнаружения D от отношения
сигнал/шум q при фиксированной вероятности ложного обнаружения F.
Из рис. 2.9 видно, что
при уменьшении вероятности ложного обнаружения F характеристика обнаружения смещается вправо. Это означает, что при фиксированном значении ОСШ q вероятность правильного обнаружения становится меньше.
Качественно формирование характеристик обнаружения поясняется
рис. 2.10, на котором показаны гауссовские плотности распределения
()wz
(рис. 2.10, а) и
0
тора для
рога
A и 1A соответственно. На рисунках показана величина по-
0
z , а штриховкой отмечены площади под кривыми ПРВ, которые
0
()wz
(рис. 2.10, б) выходного эффекта корреля-
1
согласно (2.30) и (2.31) соответствуют вероятностям превышения порога выходным напряжением коррелятора, т. е. определяют значения
вероятностей F и D. На рис. 2.10, б показаны две кривые, соответствую-
щие различным значениям ОСШ: с ростом этого отношения увеличивается смещение ПРВ вправо. Очевидно, что при
этом заштрихованная
площадь на рисунке становится больше, следовательно, увеличение
ОСШ приводит к росту вероятности правильного обнаружения.
Уменьшение вероятности ложного обнаружения F достигается уве-
личением порога
z (рис. 2.10, а). Но при этом, как видно из рис. 2.10, б,
0
уменьшается вероятность правильного обнаружения.
37
D
*
0.8
0.6
0.4
0.2
2
10
F
4
10
10
6
D
0
0 1 2 3 4 5 6
q
2
q
4
q
q
6
Рис. 2.9. Характеристики обнаружения
известного сигнала
а б
Рис. 2.10. ПРВ решающей статистики z:
а – при отсутствии сигнала на входе (А
); б – при его наличии (А1)
0
Таким образом, все свойства характеристик обнаружения (рис. 2.9)
имеют довольно простое качественное объяснение.
Характеристики обнаружения используются в расчетах энергетики
при проектировании радиотехнических систем. Обычно считаются заданными значения вероятностей решений F и D, которые должны быть
гарантированы в процессе функционирования РТС. На рис. 2.9 в качестве примера отмечена точка, соответствующая требуемому
значению
38
вероятности правильного обнаружения D (обычно близкому к еди-
s
A
A
нице). Стрелками показаны значения ОСШ, обеспечивающие такое значение D
при различных требуемых значениях вероятности ложного
обнаружения. Видно, что при ужесточении требований к этой вероятности (т. е. при ее уменьшении) требуемое значение ОСШ увеличивается:
qqq. Поскольку отношение сигнал/шум определяется энергией
642
полезного сигнала и спектральной плотностью мощности шума, добиться его необходимого значения можно, изменяя одну из этих характеристик или обе.
2.7. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
ПО КРИТЕРИЮ КОТЕЛЬНИКОВА
Наряду с байесовским критерием оптимальности в радиотехнических системах находят применение и другие критерии. Одним из них
является критерий оптимальности В.А. Котельникова, используемый
при проектировании систем связи.
В цифровой связи передаваемая информация имеет вид последовательности (потока) двоичных символов – единиц и нулей. В канале
связи эти символы передаются при помощи
ных сигналов
()st
1
тудной модуляцией
()st
и
соответственно, причем в системах с ампли-
0
() 0st передача нулевого символа осуществля-
0
высокочастотных импульс-
ется выключением радиопередающего устройства. При приеме основную радиоприемную функцию выполняет демодулятор сигнала. На его
вход поступает сигнал, имеющий вид
() (), ( )
tut A
()
ut
1 ш 1
( ), ( )
ut A
ш 0
при 0 ,tT
и задача демодулятора заключается в принятии решения в пользу одной
из гипотез
или
1
, т. е. является задачей обнаружения сигнала.
0
Информационная роль, которую играют двоичные (их еще называют бинарными) символы, одинакова, поэтому байесовские потери
r также одинаковы, и они перестают иметь значение при байесовской
и
10
39
r
01
оптимизации (2.5). Разделив в (2.3) обе части на величину
p
p
plp
p
чим модифицированный критерий:
rr , полу-
01 10
ош 01
minPpFpD
, (2.49)
()
U
называемый критерием Котельникова. Входящая в него взвешенная
сумма вероятностей ошибок F и
являются априорными вероятностями
роятность ошибок
P . Поэтому данный критерий есть фактически
ош
D
, в которой весовые коэффициенты
и
0
, определяет среднюю ве-
1
критерий минимума средней вероятности ошибок.
Очевидно, что этот критерий представляет собой частный случай
байесовского критерия. Поэтому все результаты, рассмотренные ранее
для байесовского критерия, остаются в силе и в рассматриваемом случае. В частности, схема обнаружителя сохраняет вид рис. 2.2, а процедура приема описывается соотношением
лишь в том, что величина порога
l , с которым сравнивается отношение
0
(2.12). Отличие заключается
правдоподобия при принятии решения, вычисляется теперь в соответствии с выражением
0
. (2.50)
0
1
В корреляционном обнаружителе, реализующем процедуру (2.22), порог принятия решения
теперь величина
орные вероятности
z определяется выражением (2.23), в котором
0
l находится из (2.50). В цифровой связи часто апри-
0
p (в среднем число единиц и нулей в канале
01
связи одинаково). В этом случае из (2.23) получаем
()/2,zE (2.51)
0
т. е. порог принятия решения в указанных условиях численно равняется
половине энергии полезного сигнала.
Величину порога можно определить, выполняя минимизацию средней вероятности ошибок в (2.49). Подставим в формулу (2.49) для
P
ош
выражения для условных вероятностей решений из (2.30) и (2.31):
Ppwzdzp wzdz
ош 00 1 1
() 1 () min.
zz
00
40
z
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]