Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая теория радиотехнических систем. Обнаружение и различение сигналов. Учебное пособие
.pdf
вероятность ошибочных решений
P
M
M
s
Z
циента корреляции
от M в случае равноудаленных сигналов не иг-
. При этом зависимость коэффи-
ош
рает ощутимой роли, так как при больших размерах ансамбля сигналов
этот параметр стремится к нулю и его влияние стабилизируется.
3.12. РАЗЛИЧЕНИЕ РАДИОСИГНАЛОВ
СО СЛУЧАЙНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ФАЗАМИ
В радиотехнических приложениях часто рабочие сигналы радиотехнической системы представляют собой высокочастотные модулированные колебания, начальные фазы которых при радиоприеме неизвестны.
Представим для этих случаев сигналы в виде:
( , ) ( )cos[ ( ) ], 0, , 0, 1
st St t t t T i M
iii i i
0
. (3.73)
В выражении (3.73)
(), ()
St t
ii
– начальные фазы, которые далее рассматриваются как случайные
i
– амплитудная и угловая модуляция i-го сигнала ансамбля;
величины с равномерным распределением на интервале
– высокая (несущая) частота колебания;
0
(, ]
. Как и
обычно, при анализе проблемы различения сигналов необходимо построить алгоритм или структуру приемника, найти наилучшую систему
сигналов, найти вероятности ошибок.
3.12.1. СТРУКТУРА ПРИЕМНИКА РАЗЛИЧЕНИЯ
РАДИОСИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАЗАМИ
Рассмотрим различение сигналов равных энергий, априорных вероятностей и штрафов за совершаемые ошибки различения. При этих
условиях оптимальное правило базируется на применении метода максимального правдоподобия (МП). Структурная схема алгоритма состоит из
мера правдоподобия принятого сигнала
лов
i
зовать значение квадратурного корреляционного интеграла
параллельных каналов, в каждом из которых вычисляется
()ut
одному из рабочих сигна-
()
t
(3.73). В [9] показано, что в качестве этой меры можно исполь-
()
zU
i
, вы-
числяемого по следующим выражениям:
() () ()
UzUzU; (3.74)
icisi
22
101
TT
s
s
s
Z
АД
АД
АД
Z
A
Z
( ) () () , ( ) () () ;
ci i i si i i
z U ut s tdt z U uts tdt
ci ci si si
() ()cos[ ()], () ()sin[ ()]
tSU t t stSU t t
00.
00
(3.75)
. (3.76)
В основе преодоления случайного характера фазы лежит использование
двух корреляционных интегралов
()
ных применяются сигналы
t
ci
zU
ci
и
si
(),
(),
zU
и
t
которые фактически пред-
где в качестве опор-
si
()
ставляют собой два образца рабочего колебания, смещенных по фазе
/2.
на
Величины
ного сигнала, содержащегося во входном колебании
()
U
на
от фазы не зависит [9]. Поэтому случайная фаза перестает вли-
i
()
zU
ci
и
()
zU
si
зависят от значения фазы
(),ut
но величи-
полез-
i
ять на результаты приема.
Согласно (3.74) – (3.76) в каждом канале ПРС формируются два корреляционных интеграла вида (3.75) с опорными сигналами вида (3.76),
которые затем объединяются в выходной эффект канала вида (3.74).
Согласно принципу максимального правдоподобия в выходном
блоке алгоритма из величин
ZU i M
i
выбирается максималь-
(), 0, 1,
ная и выносится решение в пользу соответствующего сигнала.
Корреляционному алгоритму эквивалентен фильтровый [9], его
структурная схема показана на рис. 3.12. Каждый из М каналов
СФ
0
СФ
1
)(tu
0
1
Выбор
max
k
1MСФ
Рис. 3.12. Фильтровая схема ПРС со случайными фазами
102
1MZ
содержит фильтр, согласованный с соответствующим сигналом, и ам-
j
R
, , ...,
плитудный детектор. Выходные эффекты
zz z
01
M
совпадают [9]
1
с (3.74), поэтому корреляционный и фильтровый алгоритмы эквивалентны.
3.12.2. СИГНАЛЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
В УСИЛЕННОМ СМЫСЛЕ
Важным является вопрос о выборе сигналов рабочего ансамбля. Ор-
тогональных в обычном смысле ансамблей при неконтролируемых зна-
чениях фаз
чить устойчивое значение разности фаз, равное
не существует, поскольку при этом невозможно обеспе-
i
/2.
Это же относится
и к невозможности обеспечить симплексный характер сигналов.
Однако можно использовать ансамбли сигналов, ортогональные
в усиленном смысле. Существуют условия, при которых ортогональность
T
Rststdt
ik i i k k
любых модулированных сигналов
чивается при любых значениях фаз
обычной ортогональности комплексных огибающих
()
jt
и
() ()
St Ste
kk
k
этих сигналов:
(, ) (, ) 0
0
(, )
st
ii
и
i
(3.77)
(, )
st ()ik
и
kk
. Для этого достаточно
k
() ()
St Ste
ii
обеспе-
()
jt
i
Здесь
T
ik i k
0
– мнимая единица, а символ обозначает комплексную сопря-
() () 0, .
StS tdt i k
(3.78)
женность. Покажем, что ортогональность (3.77) сигналов достигается
при ортогональности (3.78) комплексных огибающих, т. е. что при вы-
полнении условия
ik
обеспечивается равенство
R
ik
0.
Подставим
0
в (3.77) выражение модулированных сигналов (3.73):
T
()cos[ () ] ()cos[ () ]
St t t S t t t dt
ik i i i k k k
0
00
103
T
p
A
1
() ()cos[ () () ]
StS t t t dt
ik i k ik
2
0
eStStdte
22
11
jj
() ()
Re () () Re
T
ki ki
0
ik ik
. (3.79)
Из выражения (3.79) видно, что, при ортогональности комплексных оги-
(0)
бающих
R
ik
ik
0.
Это свойство сохраняется при любых значениях фаз
Из (3.79) вместе с тем видно, что ортогональность сигналов
коэффициент корреляции модулированных сигналов
и
i
k
0
R
мо-
ik
жет быть достигнута и при определенном значении разности фаз
, даже если
ki
огибающих – вещественная величина
и в случае
ki
Использовать этот случай невозможно из-за случайности значений
и
. Поэтому фактическое значение имеет лишь вариант, когда орто-
k
0.
Например, если коэффициент корреляции
ik
ik ik
Re
/2
ik
ik
2
получаем
()
j
Re{ }
R
ik
, то из (3.79) имеем
ki
,
0
при любом значении
ik
гональность обеспечивается свойствами комплексных огибающих (3.78).
3.12.3. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБОК РАЗЛИЧЕНИЯ
СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАЗАМИ
.
.
i
Рассмотрим различение двух сигналов
()st
0
и
()st
, ортогональных
1
в усиленном смысле. Структура ПРС, показанная на рис. 3.12, содержит
в этом случае два канала и устройство сравнения выходных эффек-
z
тов
тическом присутствии сигнала
сигнала
ная точка на плоскости
работки в каналах
z
и
0
. Определим условную вероятность
1
()st
ПРС вынесет решение
1
()st
. Каждой паре значений
0
(, 0, )zz
01
z
z
и
0
1
не могут иметь отрицательных значений,
z
и
0
(рис. 3.13). Поскольку продукты об-
104
z
соответствует определен-
1
того, что при фак-
10
в пользу
0
все точки находятся лишь в первом квад-
p
ранте этой плоскости. Диагональ разделяет
z
1
квадрант на две части, всем точкам заштрихованной части характерно неравенст-
во
чек
zz
. Обозначим множество этих то-
01
. В геометрическом смысле
0
10
–
0
это вероятность того, что точка, определя-
z
z
емая парой величин
ласть
при условии, что эти величины
0
z
и
0
, попадет в об-
1
образованы в ПРС при сигнале на входе
().st
Обозначим
1
(, )wz z
01
– двумерную
0
Рис. 3.13. Геометрическая
трактовка ошибочных
решений
0
плотность вероятности случайных вели-
z
чин
z
и
0
. Тогда искомая вероятность будет определяться выраже-
1
нием
10 0 1 1 0
0
(, )p w z z dz dz
. (3.80)
Анализируя процессы, происходящие в алгоритме ПРС при прохож-
дении сигнала
()st
с шумом, учитывая ортогональность сигналов
1
и наличие согласованных фильтров в алгоритме, можно показать неза-
z
висимость случайных величин
z
и
0
. Отсюда двумерное распределе-
1
ние факторизуется в виде
Случайная величина
(, ) ()()wz z w z w z
01 011
z
является продуктом прохождения сигнала
0
0
и шума через фильтр, согласованный с
. (3.81)
()st
1
()st
. В силу ортогональности
0
реакция фильтра на сигнал равна нулю. Поэтому выходной эффект ка-
z
нала
содержит только шумовую составляющую, распределение ко-
0
торой является рэлеевским:
2
z
0
с параметром
z
( ) , 0,
wz e z
00 0
2
2/EN
0
0
[9].
2
105
2
2
(3.82)
Случайная величина
p
M
()st
ла
через фильтр, согласованный с этим сигналом. После амплитуд-
1
z
– продукт прохождения шума и сигна-
1
ного детектора ПРВ описывается распределением Райса:
22
zE
1
zzE
11
( ) , 0.
wz e I z
11 0 1
2
22
2
(3.83)
Подставив (3.81) в (3.80), получим
pwzwzdzdz
10 1 1 0 0 0 1
0
() ( )
z
1
.
Учитывая далее в этом выражении конкретный вид ПРВ (3.82), (3.83),
выполняя интегрирование, находим
2
1
/4
q
pe
10
Очевидно, условная вероятность
нием
().pp
01 10
Поэтому средняя вероятность ошибок
Ppppp e
ош 110 0 01
Оценку вероятности ошибок при различении ансамблей
.
2
определяется этим же выраже-
01
2
1
/4
q
.
2
сигна-
лов со случайными фазами можно получить по аналогии с ансамблями
известных сигналов (см. раздел 3.11). Нетрудно получить выражение
1
M
2
1
При
Pe
ош
1q
из (3.84), применяя формулу бинома Ньютона и ограничива-
11
q
/4
. (3.84)
2
ясь первыми двумя членами, находим оценочное выражение
2
1
M
Pe
ош
2
/4
q
. (3.85)
Увеличение размера ансамбля, как видно из (3.84), (3.85), приводит
к росту средней вероятности ошибок.
106
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем заключается задача различения сигналов в РТС? Дайте ее
математическую формулировку.
2. Дайте характеристику структуры ошибок перепутывания при раз-
личении сигналов.
3. Опишите основные характеристики белого гауссовского шума.
4. Сформулируйте байесовский критерий оптимальности примени-
тельно к задаче различения сигналов.
5. Поясните сущность применения геометрических представлений
в задаче различения сигналов.
6. При каких
условиях байесовское различение сигналов реализуется в виде алгоритма максимальной апостериорной вероятности
(МАВ-алгоритма)?
7. Для чего применяется метод ограничения полосы частот белого
шума при определении структуры оптимального приемника различения
сигналов?
8. Дайте характеристику структуры приемника различения сигналов
в присутствии аддитивного белого гауссовского шума.
9. Приведите структурные схемы алгоритма различения двух
имеющих различные энергии;
имеющих равные энергии.
сигналов:
10. Поясните механизм влияния коэффициента корреляции сигналов
на вероятность ошибок различения при
2M
.
11. Прокомментируйте представление сигналов как элементов гео-
метрического пространства.
12. Какие сигналы называют оптимальными с точки зрения их раз-
личимости? Каковы критерии оптимальности?
13. Сравните помехоустойчивость простых видов цифровой модуля-
ции (АМ, ЧМ, ФМ).
14. Что собой представляет эффект перескока фаз и как он сказыва-
ется на работе системы связи с ФМ?
15. Поясните сущность передачи информации с относительной фа-
зовой модуляцией.
16. Как определяется вероятность ошибок различения ансамблей
сигналов произвольного размера?
17. Каким образом в приемнике различения радиосигналов со слу-
чайными начальными фазами обеспечивается независимость результатов от значений фаз?
107
18. В чем заключается принцип ортогональности сигналов в усилен-
p
ном смысле?
19. Возможно ли в схеме рис. 3.6 в качестве опорного использовать
сигнал
(, ) (, )st st
01
вместо сигнала
(, ) (, )st s t
10
?
20. Поясните механизм перепутывания символов при приеме ФМ-
сигналов.
21. Изобразите структурную схему корреляционного алгоритма раз-
личения радиосигналов со случайными начальными фазами. Поясните
принцип ее работы.
22. Изобразите структурную схему приемника различения радиосигналов со случайными фазами на основе согласованной фильтрации.
Объясните принцип ее работы.
23. Воспользовавшись выражениями (3.80), (3.81), (3.82), получите
формулу для условной
вероятности ошибок
10
.
24. Дайте характеристику вероятностей ошибок перепутывания радиосигналов со случайными начальными фазами.
108
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Ограниченные размеры учебного пособия позволили включить в его
состав лишь два основных раздела, в которых дано изложение теоретических основ обнаружения и различения сигналов с некоторыми важными примерами. В основном материал ограничен рассмотрением случаев, когда вероятностные модели сигналов и помех известны и возможно применение байесовского принципа. Более сложные
шения задач обнаружения и различения остались за рамками пособия.
За пределами пособия остались также другие важные разделы теории оптимальной обработки сигналов: оценка параметров сигналов,
фильтрация, статистическая теория разрешения, которые могут стать
предметом последующих изданий.
случаи ре-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Радиотехнические системы передачи информации : учеб. пособие для вузов / В. А. Борисов, В. В. Калмыков, Я. М. Ковальчук и др. ; под ред. В. В. Калмыкова. – Москва : Радио и связь, 1990. – 304 c.
2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение : пер. с англ. / Б. Скляр. – Москва :
3. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем / А. И. Перов. – Москва : Радиотехника, 2003. – 400 с.
4. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы : учебник / С. И. Баскаков. – Москва : Высшая школа, 1983. – 536 с.
5. Васюков В. Н. Общая теория связи : учебник / В. Н. Васюков. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2017. –580 с. (Серия «Учебники
6. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы : учебник для вузов /
И. С. Гоноровский. – Москва : Радио и связь, 1986. – 512 с.
7. Теория электрической связи : учебник для вузов. / А. Г. Зюко, Д. Д. Кловский, В. И. Коржик, М. В. Назаров ; под ред. Д. Д. Кловского. – Москва : Радио
и связь, 1999. – 432 с.
Радиотехнические системы : учебник для вузов / Ю. П. Гришин,
8.
В. П. Ипатов, Ю. М. Казаринов и др. ; под ред. Ю. М. Казаринова. – Москва :
Высшая школа, 1990. – 496 с.
9. Спектор А. А. Статистическая теория радиотехнических систем : учеб.
пособие / А. А. Спектор. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2013. – 82 с.
Вильямс, 2003. – 1104 с.
НГТУ»).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]