Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая теория радиотехнических систем. Обнаружение и различение сигналов. Учебное пособие
.pdf
Следовательно, соотношение (2.11) является критерием принадлеж-
A
A
A
f
f
U
ности принятого сигнала
ство определяет принадлежность области
области 1 , а противоположное неравен-
. Таким образом, в целом
0
байесовское правило принятия решения может быть представлено в следующем виде:
*
, если () ;
Г ()
U
Б
10
*
, если () .
00
ll
U
(2.12)
ll
U
Важнейшую роль в байесовском обнаружителе сигнала играет вычисление величины
()l U
, определяемой левой частью (2.11) и называе-
мой отношением правдоподобия. В целом приемник обнаружения состоит из двух блоков (рис. 2.2). В первом вычисляется отношение правдоподобия
путем сравнения результата вычисления с константой
()l U
, а во втором реализуется процедура принятия решения
l
, называемой
0
порогом.
()ut
Вычислитель
Рис. 2.2. Структурная схема обнаружителя сигнала
l U
0
l
0
l
1
A
0
Вычислитель в первом блоке обнаружителя преобразует временную
функцию
(), 0ut t TU= в одномерную (скалярную) величину
()l U
,
т. е. осуществляет сжатие данных. Напомним, что в математическом
анализе преобразователь, выполняющий такую операцию, называется
функционалом.
Отметим одно важное свойство всех процедур обработки сигналов,
которые содержат операции сравнения. Пусть
ll
возрастающая функция, т. е. если
, то
21
видно, что результаты сравнения величин
изменятся, если их заменить величинами
21
()fl
– любая монотонно
() ()
fl f fl
2211
()l U
и 0l в обнаружителе не
(( ))flU
и
()
l . Отмеченное
0
. Оче-
свойство – инвариантность к монотонным преобразованиям – широко
N
применяется при проектировании обнаружителей сигналов и других
устройств оптимальной обработки сигналов, так как за счет удачного
()fl
выбора функции
часто удается существенно упростить вычисли-
тельные операции, которые выполняются приемником.
2.4. ОБНАРУЖЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
НА ФОНЕ БЕЛОГО ГАУССОВСКОГО ШУМА
Рассмотрим пример применения общих теоретических результатов,
полученных в предыдущих разделах. Наблюдаемое колебание имеет
вид
A
st u t
(, ) ();
ut t T
() 0 ,
ut
();
ш
ш
()
1
A
()
0
(2.13)
причем сигнал
ванный сигнал), а помеха
(, )st
считается полностью известным (детерминиро-
()ut является случайным процессом типа
ш
белого шума, имеющим гауссовское распределение вероятностей. Белым шумом, как известно [4–7], называют случайный процесс, у кото-
()Nf
рого спектральная плотность мощности (СПМ)
всех частотах 0f равна
(рис. 2.3). Пунктиром на рис. 2.3 показан
0
равномерна и на
двусторонний спектр, интенсивность которого вдвое меньше.
()Nf
()Nf
2N
0
0
Рис. 2.3. Спектральная плотность мощности белого шума
f
Предположим временно, что спектр помехи ограничен некоторой
частотой F, как показано на рис. 2.4. По теореме Котельникова можно
процесс
1/ 2 .tF Вычислим корреляционную функцию
заменить последовательностью отсчетов, взятых с шагом
()ut
ш
()B
непрерывного
22
процесса с ограниченной по полосе частот СПМ. Согласно теореме Ви-
F
нера–Хинчина имеем
F
() ( )
BNfedfNF
F
jf
2
sin 2
0
2
. (2.14)
F
()Nf
N
0
2N
0
F
Рис. 2.4. СПМ шума с ограниченной полосой
0
F
f
Из (2.14) дисперсия процесса с ограниченным спектром определяется
выражением
2
NF N t
00
F
/(2 )
, (2.15)
что можно также подтвердить вычислением в спектральной области,
учитывая вид СПМ (рис. 2.4). Из (2.14) видно также, что значения корреляционной функции в точках
нулю, т. е. все отсчеты, взятые с шагом
/ 2 , 1, 2, ...kF ktk равны
t
, являются некоррелированными случайными величинами. Кроме того, поскольку эти отсчеты под-
чиняются гауссовскому распределению вероятностей, они взаимно независимы. Это означает, что совместная плотность распределения веро-
ятностей (ПРВ) всех
тор входных данных
отсчетов
, , ..., ,
uu uU
12
, , ...,
uu u, образующих век-
12
T
определяется произведением
I
I
/IT t
одномерных плотностей распределения вероятностей:
I
() ()
wwu
1(0) 1(0)
U
i
1
. (2.16)
i
Индексы 0 и 1 в выражении (2.16) отражают тот факт, что отсутствие
или наличие полезного сигнала на входе обнаружителя определенным
образом влияет на распределение вероятностей. Полезный сигнал
23
(, )st
s
A
A
x
на входе обнаружителя согласно математической модели (2.13)
определяет математическое ожидание ПРВ, которое равняется нулю
при отсутствии сигнала и ( , ), 1, 2, ..., ,
tit – моменты взятия отсчетов. Поэтому одномерные плотности,
i
ti I при его наличии. Здесь
i
входящие в правую часть выражения (2.16), имеют вид:
2
wu e
() ;
1
i
1
2
F
(, ) 2
ust
ii F
2
(2.17)
wu e
() .
0
i
1
2
22
u
iF
F
2
(2.18)
Используя выражения (2.15) – (2.18), представим решающую процедуру (2.12) в виде
II
ust s t
(, ) (, )
ii i
ii
11
l
() exp
U
II
21
exp ( , ) ( , )
ust t s t t
N
ii i
ii
11
0
N
0
Согласно (2.19) превышение величиной
шению
, а противоположное неравенство – к решению
1
1
2
2
2
F
2
()l U
порога 0l приводит к ре-
lA
01
lA
00
,
(2.19)
.
. Приме-
0
ним к обеим частям этого неравенства монотонное преобразование
ln( )
, а также выполним предельный переход
0t
. В результате
процедура принятия решения примет следующий вид:
() ln(()) LlUU
TT
21
u t s t dt s t dt
() (, ) (, )
N
00
0
2
N
0
24
ln( ) ,
lA
01
lA
ln( ) ,
00
(2.20)
где теперь с преобразованным порогом сравнивается логарифм отно-
E
()L U
шения правдоподобия
0t
эквивалентен переходу
. Выполненный предельный переход
F
и, следовательно, означает возвращение к модели белого шума. Второй интеграл в выражении (2.20)
представляет собой энергию полезного сигнала
T
() (, ) ,
2
st dt
0
(2.21)
которая может зависеть от параметра сигнала
.
В этом случае пара-
метр называют энергетическим параметром сигнала. Поскольку энергия (2.21) полностью известного сигнала также известна и может быть
заранее вычислена, в левой части (2.20) отсутствует необходимость проводить его вычисление при функционировании обнаружителя. Перенесем второе слагаемое в левую часть (2.20), а также умножим обе части
на величину
/2.N В результате алгоритм принятия решения примет
0
следующий окончательный вид:
,
(2.22)
.
Величина порога
T
() ()(, )
zutstdt
U
0
z в процедуре (2.22) определяется, как легко видеть,
0
zA
01
zA
00
выражением
zl
00
в котором, напомним, параметр
22
l определяется формулой (2.8). Струк-
0
0
, (2.23)
ln( )
N
()
E
турная схема устройства, реализующего решающее правило (2.22)
и называемого корреляционным обнаружителем сигнала или приемни-
ком Котельникова, показана на рис. 2.5. Величина
()z U
, вычисляемая в
левой части (2.22), представляет собой значение взимно корреляционной
функции напряжений
()ut
и
(, )st
, поэтому интеграл в (2.22) называ-
ется корреляционным интегралом, а устройство, состоящее из перемножителя сигналов и интегратора, называется коррелятором. В состав
25
обнаружителя, кроме основных блоков, осуществляющих вычисления
s
A
A
в соответствии с алгоритмом (2.22), входят генератор опорного сигнала
(ГОС) и синхронизатор. ГОС предназначен для формирования образца
полезного сигнала
(, )st
, используемого в корреляторе в качестве од-
ного из перемножаемых сигналов. Синхронизатор выполняет несколько
функций. Во-первых, он формирует управляющий сигнал для ГОС, осуществляющий его запуск. Во-вторых, синхронизатор управляет считы-
tT
ванием выходного напряжения коррелятора в момент
входного сигнала. В процессе работы коррелятора, пока
t
t
0
() (, ) .
zz U наступает
t
tT
напряжение определяется выражением
zutstdt
этого напряжения корреляционному интегралу
при
.tT
Поэтому в устройстве обнаружителя имеется нормально разо-
мкнутый ключ, замыкаемый на короткое время при
окончания
,tT выходное
Равенство
()
для считыва-
ния значения корреляционного интеграла и передачи его на вход порогового устройства, после чего ключ размыкается.
u(t)
Коррелятор
×
(, )
t
ГОС
...Tdt
0
Синхронизатор
()z U
t = T
z
z
0
0
1
0
Рис. 2.5. Корреляционный обнаружитель полностью известного сигнала
Третья функция синхронизатора связана с тем, что во всех типах РТС
обнаружение сигнала является многократной процедурой. Входные дан-
ные обычно содержат в себе информацию о потоке событий, каждое из
которых имеет длительность одного такта Т. Так, например, в цифровой
связи в течение одного такта передается один двоичный символ (одного
бита) – единицы
или нуля. Задача обнаружителя при этом заключается
в автоматическом принятии решения для каждого такта о типе (нуль
или единица) присутствующего в этом такте двоичного символа. В связи
с периодическим характером работы обнаружителя требуется в начале
26
каждого такта привести интегратор в нулевое состояние. Управление
N
K
процессом обнуления интегратора осуществляет синхронизатор, что
и является его третьей функцией.
2.5. ФИЛЬТРОВАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОБНАРУЖИТЕЛЯ
ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
Рассмотрим другой способ построения обнаружителя полностью известного сигнала на фоне белого шума, основанный на использовании
согласованного фильтра (СФ). Напомним основные сведения о согласованной фильтрации сигналов [4–7].
Наблюдаемое колебание представляют собой сумму полезного сигнала
()st
и белого шума
ш
()ut
:
() () ()ut st u t .
ш
Комплексный спектр сигнала (его преобразование Фурье)
() () ()
Sj ste dt S e
характеризуется своими модулем
jt j
()S
и аргументом
()
(),
называе-
мыми амплитудным и фазовым спектром соответственно. Односторонняя СПМ белого шума равна
. Таковы исходные данные задачи.
0
Согласованным называют линейный стационарный фильтр, на выходе которого в некоторый (определенный) момент отношение мощно-
2
стей сигнала и шума
q
будет иметь наибольшее значение среди любых
возможных линейных фильтров:
(вых)
()
Pt
2
В выражении (2.24)
вых
()Pt
с 0
– мощность полезного сигнала на выходе фильтра в неко-
с 0
q
P
(вых)
P
ш
вых
– мощность шума на выходе фильтра;
ш
{( )}
(2.24)
max .
j
27
K
Kj
K
K
K
K
j
K
()
торый момент
циент передачи фильтра;
t , когда эта мощность максимальна;
0
{( )}
– множество всех линейных филь-
тров, характеризуемых коэффициентами передачи
{( )}
(2.24) среди всех фильтров
j
требуется найти такой
j
()
j
– коэффи-
. Согласно
()
j
, при
c
использовании которого отношение сигнал/шум максимально.
Как известно [1, 5], эта задача имеет аналитическое решение, которое сводится к следующим основным положениям. Комплексная ча-
()
j
стотная характеристика согласованного фильтра
определяется
c
выражением
()
tjjt
() () ()
K j CS j e CS e
c
00
, (2.25)
в котором C – любая константа, имеющая смысл коэффициента усиления (или ослабления). Согласно (2.25) фильтр полностью определяется
характеристиками
()S
рого он синтезируется. Амплитудно-частотная (АЧХ)
стотная (ФЧХ)
() характеристики СФ выражаются, как видно
c
и
()
полезного сигнала, для обработки кото-
()K и фазоча-
c
из (2.25), соотношениями:
jt
,
.
Момент
() ( ) ()KKjCS
cc
() arg( ( )) [() ]
cc 0
t , когда достигается требуемый максимум, задается в струк-
0
туре фильтра устройством задержки, так как ФЧХ содержит линейную
функцию частоты
налов на время
Можно заметить, что выбор обеих констант C и
t , что, как известно, соответствует задержке сиг-
0
t
.
0
t не влияет на от-
0
ношение сигнал/шум. Поэтому обычно руководствуются соображениями удобства практического построения согласованного фильтра.
Кроме того, выбор задержки
t
обычно определяется требованием фи-
0
зической реализуемости фильтра.
28
Импульсная характеристика с()ht определяется преобразованием
s
Фурье от коэффициента передачи:
1
ht K j e d
() ( )
cc
2
jt
и при подстановке в него формулы (2.25) выражается соотношением
() ( )ht Cst t. (2.26)
c0
Согласно (2.26) импульсная характеристика СФ имеет вид функции,
()
зеркально симметричной сигналу
t
относительно точки
/2,t что
0
в качестве примера показано на рис. 2.6.
На этом рисунке величина
t выбрана
0
равной длительности импульса сигна-
()st
ла
стика
, поэтому импульсная характери-
()ht
начинается в момент
с
0.t
Этот же принцип может быть реализован
при любых других значениях
t , превы-
0
шающих длительность импульсного сигнала. Фактически речь идет о принципе
()ht
c
c
()ht
()st
/2t
0
0
Рис. 2.6. Пример импульсной
характеристики СФ
t
0
t
физической реализуемости, согласно которому реакция любой устойчивой физической системы на какое-либо
воздействие не может возникать до его начала.
Существуют различные методы вычисления выходного сигнала линейного фильтра, из которых воспользуемся методом интеграла
Дюамеля. Пусть на вход линейного
стикой
щий выходной сигнал
()ht
воздействует сигнал
вых
ut uhtd
вых
()ut, имеет вид
() ( ) ( )
фильтра с импульсной характери-
()ut
. Интеграл Дюамеля, определяю-
t
.
29
Если фильтр согласован с сигналом
s
()st
, то его импульсная характери-
стика определяется выражением (2.26), подстановка которого в последнюю формулу приводит к следующему выражению:
t
() ()( )
utCusttd
вых 0
tt
0
. (2.27)
Пределы интегрирования определяются в этом выражении областью, в
()
которой сигнальная функция
значение выходного сигнала СФ в момент
t
отлична от нуля. Из (2.27) определим
t , когда заканчивается воз-
0
действие полезного сигнала на входе:
t
0
( ) ()()
uttCusd
вых 0
0
. (2.28)
Сопоставим полученное выражение с выражением корреляционного
интеграла в (2.22), имеющего вид
T
() ()().
zutstdt
U
0
(2.29)
Если принять время задержки в СФ равным длительности сигнала
,tT
то (2.28) будет отличаться от (2.29) лишь масштабным коэф-
0
фициентом C. Очевидно, это позволяет вместо коррелятора в структурной
схеме обнаружителя (см. рис. 2.5) использовать согласованный фильтр,
при этом лишь вместо порога
z следует использовать порог 0Cz .
0
Таким образом, возможна другая, отличная от корреляционной,
структурная схема обнаружителя, основанная на использовании согласованного фильтра. При этом обе схемы обнаружителей эквивалентны,
поскольку с математической точки зрения преобразования входного
сигнала, которые в них выполняются, абсолютно одинаковы. Фильтровая схема обнаружителя известного сигнала показана на рис. 2.7.
Ее главное отличие от
корреляционной схемы (см. рис. 2.5) состоит
в замене коррелятора согласованным фильтром. С этим связано и исключение из схемы генератора опорного сигнала, поскольку при использовании СФ роль опорного сигнала фактически выполняет импуль-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]