Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая теория радиотехнических систем. Обнаружение и различение сигналов. Учебное пособие
.pdf
20. Как определяется энергия радиоимпульсного сигнала? Как на ее
величину влияют замирания сигнала?
21. Как определяются вероятности ложной тревоги, правильного об-
наружения и порог принятия решения в обнаружителе радиосигнала со
случайной начальной фазой?
22. Поясните проблему определения пороговой функции в прием-
нике Неймана–Пирсона.
23. В чем состоит байесовская технология обнаружения сигналов,
имеющих
случайные параметры?
24. Поясните принцип работы корреляционного обнаружителя ра-
диосигнала со случайной начальной фазой.
25. Поясните принцип работы фильтровой схемы обнаружения ра-
диосигнала со случайной начальной фазой.
26. Дайте сравнительный анализ характеристик обнаружения из-
вестного сигнала и сигнала со случайной фазой.
61
3. РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ
M
A
A
A
A
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
3.1. РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ КАК ЗАДАЧА
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Различение сигналов в радиотехнических системах представляет собой одну из важных задач обработки информации. Как и обнаружение
сигналов, различение является автоматической процедурой, результат
которой состоит в принятии решения относительно содержащейся в них
информации. Информация в таких задачах имеет дискретный характер
и может быть обозначена при помощи алфавита (множества) состояний
, , ...,
AA A. Каждому состоянию , 0, 1
01 1
(, ), 0, 1
ветствие один из сигналов
st k M . Считаем, что сигналы
k
могут иметь параметры (один или несколько), обозначенные здесь символом
Таким образом, в системе используется M различных сигна-
.
лов, каждый из которых является переносчиком определенной информации. Простейшим примером является система цифровой связи, использующая двоичное кодирование, когда сообщение передается при
помощи логических символов 0 и 1. Алфавиту событий
ветствует ансамбль сигналов
(, )st и 1(, ).st Задачей проектирова-
0
ния системы связи является обеспечение минимальной вероятности
ошибок. Ошибки могут быть двух видов: при передаче символа 1 (со-
бытие
)A на приемной стороне регистрируется символ 0
1
или при передаче символа 0 (событие
стрируется символ 1
событие
обозначать события, происходящие в результате приема. Чем реже
Ak M, ставится в соот-
k
и
0
событие ,
)A на приемной стороне реги-
0
. Здесь и далее звездочкой будем
1
соот-
1
0
62
происходят эти нежелательные комбинации событий на передающей
M
M
,0,1
A k M, и приемной
k
, 0, 1
Ak M
k
, стороне (т. е. чем меньше
вероятности ошибок), тем выше качество радиотехнической системы.
Ошибки в системах различения сигналов принято называть ошибками
перепутывания.
Если в РТС используется различение
сигналов, то количество
различных видов перепутывания увеличивается, так как при передаче
любого из
роне равно
дов равно
сигналов число ошибочных решений на приемной сто-
1M
и, следовательно, общее число ошибок различных ви-
(1)MM
.
В современных РТС, где обработка сигналов осуществляется в цифровом виде, одной из важных составляющих общей задачи является
отыскание оптимального алгоритма обработки сигналов, при которых
минимизируются негативные последствия ошибок. Вторая задача состоит в определении вероятностей ошибок перепутывания, которыми
характеризуется применяемый алгоритм радиоприема. В задачах различения существует еще и
третья задача, состоящая в отыскании наилуч-
шего ансамбля применяемых сигналов. Интуитивно понятно, что сигналы
(, ), 0, 1
st k M , могут обладать свойствами, делающими их
k
минимально похожими друг на друга. В этом случае ошибки перепутывания имеют наименьшие вероятности. Очевидно, что качество РТС при
этом наиболее высокое. Использование сигналов, обладающих такими
свойствами, обычно составляет один из наиболее важных этапов проектирования РТС.
Описанные задачи должны быть сформулированы в математической
форме. Подход, основанный на минимизации байесовского риска, –
один из базовых.
3.2. БАЙЕСОВСКИЙ ПРИНЦИП
РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
Рассматривается радиотехническая система, функционирующая по
принципу различения сигналов с рабочим ансамблем (, ),
0, 1kM
. Обычно сигналы этого множества основываются на приме-
st
k
нении определенных семейств функций, которые управляют модуляцией или кодированием параметров высокочастотных сигналов-переносчиков в радиотехнических каналах. Поэтому при различии сигналов
63
между собой в них имеются и общие черты: вид модуляции и кодирова-
N
p
ния, энергия (часто – одинаковая у всех сигналов), длительность и др.
Полагаем, что длительности всех сигналов одинаковы и равны Т.
Обычно работа РТС состоит из последовательности временных интервалов Т, которые далее будем именовать тактами работы РТС. В каждом
из тактов на вход приемного устройства поступает один из сигналов
рабочего ансамбля. Состав ансамбля приемнику известен, неизвестно,
какой именно из сигналов этого ансамбля поступил на вход приемника
в данном такте работы РТС.
При прохождении сигнала в радиоканале он подвергается воздействию помех. Представим сигнал на входе приемника различения сигналов (
ПРС) на участке одного рабочего такта в следующем виде:
Здесь
()ut – помеха, аддитивно воздействующая на сигнал. Подчерк-
ш
нем, что присутствие полезного сигнала в
() (, ) (), [0, ]
ut s t u t t T
k
ш
()ut
для приемника различе-
. (3.1)
ния – известный факт; неизвестным является, какой именно сигнал присутствует на его входе в данном такте работы. Как отмечалось выше,
в пособии рассматриваются помехи типа белого гауссовского шума, который, как известно [4–7], представляет собой случайный процесс с рав-
номерной спектральной плотностью мощности
на всех частотах
При байесовском подходе события
0f
(см. рис. 2.3).
, 0, 1
Ak M, рассматрива-
k
()Nf
, равной
0
ются как случайные, каждое из которых характеризуется вероятностью
появления, так что существует распределение вероятностей ,
0, 1kM
, называемое априорным. Априорное распределение харак-
k
теризует частоту появления на входе приемника различных сигналов
, 0, 1
(частоту появления различных событий
Ak M). Естественно,
k
как и любое распределение вероятностей, оно является нормированным:
1
M
0
k
. (3.2)
1
p
k
Нормировка (3.2) означает, что в любом такте работы ПРС на его входе
присутствует какой-либо из сигналов рабочего ансамбля.
64
, 0, 1, 0, 1
A
A
p
A
A
p
A
p
p
Далее вводятся стоимости ошибок
личина
решения
при
r представляет собой штраф, налагаемый на ПРС за принятие
,ik
при истинной ситуации
k
ik
, т. е. при совершении приемником ошибки. Обычно при
(в отсутствие ошибки) полагают
riM k M
,
ik
. Штраф налагается, конечно,
i
r .
,0ii
; ве-
ik
Качество работы ПРС характеризуется условными вероятностями
, 0, 1, 0, 1
решений
шения
ствует сигнал
ности вида
При различных индексах
piM kM
,
ik
при условии, что в действительности на входе ПРС присут-
k
(, )
st
i
, 0, 1
piM
,
ii
, т. е. имеет место событие
– это вероятности правильных решений.
ik
ности перепутывания сигналов. Приемник выплачивает штраф
:
– условная вероятность ре-
,ik
ik
. При
i
– это вероятности ошибок, вероят-
,ik
вероят-
r при
,ik
выполнении двух условий:
на входе должно состояться событие
выходным является событие
k
A ;
i
.
Оба этих события являются случайными с описанными выше распределениями вероятностей. Поэтому случайна величина штрафа
ее вероятность равна произведению
p . Очевидно, средняя вели-
,iik
r :
чина штрафа (средняя стоимость ошибок) определяется выражением
,ik
11
MM
R
00
ik
pr
iikik
. (3.3)
,,
Величину R называют средним или байесовским риском. Для приемников различения, работающих по различным правилам, величина R принимает разные значения: чем меньше это значение, тем лучше приемник.
Оптимальным называют приемник, у которого величина среднего риска
является минимальной среди всех возможных вариантов ПРС. Таким образом, критерий оптимальности при различении
min
RU
. (3.4)
()
65
сигналов имеет вид
Поясним смысл выражения (3.4). Символ U обозначает компактную за-
p
p
A
M
пись входного сигнала
()ut
, определяемого выражением (3.1). Обычно
в исходном виде это аналоговый сигнал, длительность которого Т.
При использовании в РТС цифровой обработки осуществляется аналого-цифровое преобразование с некоторым временным шагом
в результате которого образуется множество
U
ные данные
приобретают вид n-мерного вектора
~/nT t
отсчетов. Вход-
( , , ..., )
uu uU
12
t
,
Т
,
n
где верхний индекс Т обозначает транспонирование. Обработка вход-
U
ного сигнала
цией (решающим правилом)
вания сигнала
из решений
в ПРС математически описывается решающей функ-
() U
, в которую включены все преобразо-
U, последним шагом в которых является принятие одного
,0,1
A k M
k
. Символом
() U
обозначено множество
всевозможных решающих функций. Критерий (3.4) требует такого выбора из всего множества решающих функций, при котором средний
риск от принятия ошибочных решений будет наименьшим.
Что происходит с величиной
функции
Стоимости ошибок
() U
мы используем другую решающую функцию
1
r
и априорные вероятности
,ik
R
, когда вместо одной решающей
2
от этого выбора
i
() U
?
не зависят и остаются неизменными. Изменяются условные вероятности решений
либо одного решения
, если решающее правило смещается в пользу какого-
,ik
, то снижаются шансы на принятие других ре-
k
шений.
() U
При отыскании решающей функции
сигнал
U как точку в n-мерном пространстве, каждому принятому сиг-
полезно рассматривать
налу соответствует единственная точка и каждой точке соответствует
единственный сигнал. Любой решающей функции
определенное разбиение этого пространства на
, 0, 1
областей
kM
k
из сигналов ансамбля
. Каждая область «закрепляется» за одним
(, ), 0, 1
st k M
k
. Приемник различения опре-
() U
соответствует
непересекающихся
деляет, в какую из этих областей попадает точка, отображающая принятый сигнал U, и в соответствии с этим выносит решение по правилу:
66
. (3.5)
следует решение
при A
U
kk
Случайный характер помехи
M
p
R
R
A
U.
тора
()ut
приводит к случайности век-
ш
Плотность распределения зависит от того, какой именно полезный
сигнал присутствует в наблюдении U. Поэтому необходимо рассматривать
ства входного сигнала
условных плотностей распределения вероятностей (ПРВ)
ii
U
, каждая из которых характеризует свой-
при наличии в нем определенного полезного
сигнала. При помощи этих ПРВ вероятности решений, принимаемых алгоритмом (3.5), можно выразить формулой
ik i
wUdU
k
() .
(3.6)
С учетом (3.6) байесовский критерий (3.3), (3.4) представим в виде:
11
MM
ik
11
MM
00
ki
rp wUdU
,
00
k
ik i i
rpwUdU
,
ik i i
()
k
() min.
k
(3.7)
Здесь минимизация осуществляется по разбиению пространства наблю-
даемых сигналов
в (3.4) на множестве
на области
()U
решающих функций, поскольку все решаю-
щие функции отличаются друг от друга именно способом разбиения
на области
. Интеграл
k
kikii
k
1
M
rpwUdU
k
,
0
i
, что эквивалентно оптимизации
()
в (3.7) имеет смысл среднего риска, связанного с принятием решения
. Поэтому величины
k
, 0, 1
Rk M
k
67
, могут быть названы
условными рисками. Принимая решение
A
R
R
R
A
R
R
R
R
M
A
штрафу
. Средний (безусловный) риск согласно (3.7)
k
10M
(3.8)
R
k
k
, ПРС, подвергается
k
определяется суммой условных рисков. Если приемник различения минимизирует каждый из условных рисков, то минимальной будет
и сумма (3.8). Поэтому вместо критерия (3.7) можно рассматривать эквивалентный ему критерий оптимальности:
min
Rk
k
k
.
Условный риск
принимая решение
характеризует средние потери, которые несет ПРС,
k
, усредненные по всем возможным значениям
k
принятого сигнала U. Величиной
() ()
UrpwU
kikii
()
U
0
()
U
()ut
Рис. 3.1. Структурная схема байесовского ПРС
1
()
U
1
1
M
, (3.9)
Выбор
min
k
i
,
0
68
вычисляемой без усреднения по U, определяются потери приемника от
A
A
R
A
A
принятия решения
при поступлении на его вход конкретного (фак-
k
тического) сигнала U. Оптимальный приемник различения сигналов мо-
жет быть основан на вычислении величин (3.9) для всех значений k,
и выборе наименьшей из них. Таким образом, алгоритм байесовского
различения сигналов можно представить в виде (M – 1)-канального вычислителя, показанного на рис. 3.1. В каждом
канале выполняются вы-
числения по формуле (3.9) с различными значениями номера сигнала
0, 1, ..., 1kM
. В выходном блоке полученные значения сравнива-
ются, из них выбирается минимальное и, в соответствии со значением
номера выбранного канала k выносится решение
.
k
3.3. РАЗЛИЧЕНИЕ ДВУХ СИГНАЛОВ (
M
=2)
Рассмотрим пример, когда рабочий ансамбль состоит из двух сигналов (M = 2)
(, )st
0
сигналов, когда один из сигналов равен нулю, например
и
(, )st
1
. Частным случаем является обнаружение
(, ) 0.st
0
Второй важный частный случай – это цифровая передача информации,
при которой в результате кодирования сообщение представляется
в виде последовательности двоичных символов 0 и 1. При передаче осуществляется модуляция, в результате которой эти символы заменяются
сигналами
0
(, )st
и
(, ).st
1
Байесовский приемник вычисляет величины:
1
() ()
RU rpwU
00
1
() () () () ().
U rpwUrpwUrpwUrpwU
1 ,1 010 0 1111 0100
i
0
00 0 0 10 1 1 10 1 1
iii
() () ();r pwU rpwU rpwU
0
i
iii
(3.10)
(3.11)
Решение принимается по правилу:
RU
()
0
RU
()
1
1,
1
1.
0
69
Подставляя в это выражение (3.10) и (3.11), приводим решающее пра-
A
A
вило к виду проверки неравенства:
rp
01 0
()
wU
1
()
wU
0
rp
10 1
rp
01 0
rp
10 1
,
1
(3.12)
.
1
В левой части представлены операции, которые необходимо выполнять
в приемнике при обработке полученного сигнала U. Они сводятся к вычислению отношения правдоподобия
()
wU
()
lu
wU
1
. (3.13)
()
0
Величина в правой части неравенства (3.12) является порогом принятия
решения
rp
01 0
l
0
. (3.14)
rp
10 1
Таким образом, объединяя выражения (3.12), (3.13), (3.14), приводим алгоритм принятия решения к виду
lA
()
lU
lA
01
00
,
(3.15)
.
Выражение (3.15), конечно, совпадает с алгоритмом работы байесовского обнаружителя сигналов [9].
3.4. РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ
ПО ПРИНЦИПУ МАКСИМАЛЬНОЙ АПОСТЕРИОРНОЙ
ВЕРОЯТНОСТИ (МАВ‐РАЗЛИЧЕНИЕ)
Для многих практических задач характерна одинаковость потерь
при любых вариантах перепутывания сигналов. Это означает, что
при ,
r i k
r
ik
0 при .
ik
70
(3.16)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]