Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая теория радиотехнических систем. Обнаружение и различение сигналов. Учебное пособие
.pdf
Подставив эти значения в (3.3) и разделив обе части на r, найдем:
P
R
p
R
p
p
11
MM
R
Ppp
ош ,
r
ik ik
00;
, (3.17)
iik
где при суммировании отсутствуют слагаемые с равными
0
дексами, так как согласно (3.16)
r
для всех значений i. В результате
ii
()ik
ин-
при выборе функции штрафов вида (3.16) средний риск приобретает
смысл средней вероятности ошибок
перепутывания. Байесовский
ош
критерий оптимальности (3.4) становится критерием минимума средней
вероятности ошибок, будучи частным случаем общего критерия (3.4).
Алгоритм вычислений (3.9) и структурная схема (рис. 3.1) остаются
r
неизменными, в (3.9) лишь исчезают величины
и при вычислениях
,ik
в суммах пропадают слагаемые с индексом, равным номеру канала. Таким образом, в каналах различителя сигналов вычисляются величины:
1
M
() ().
UpwU
kii
i
0
ik
Прибавим к правой части и вычтем «недостающее» слагаемое
():
wU
kk
В этом выражении учтено, что полная сумма
ставляет собой безусловное распределение
1
M
() () () () ().
UpwUpwUwUpwU
kiikk kk
i
0
1
M
() ()
wU wU
ii
i
0
()wU
входного сигнала.
(3.18)
пред-
Из (3.18) видно, что вычисления, производимые в каждом канале схемы
(рис. 3.1), содержат одно и то же слагаемое
()wU
, которое, таким обра-
зом, не влияет на выбор минимального значения и принятие решения.
На решение влияет только второе слагаемое
wU
kk
в (3.18), входя-
()
щее в алгоритм со знаком «–». Поэтому процедура обработки сигналов
в каждом канале может быть упрощена и сведена только к вычислению
71
этих вторых слагаемых. Исключив из обработки знак «–», заменим в вы-
p
P
M
ходном блоке процедуру выбора минимальной величины на выбор максимальной. Алгоритм выбора решения можно представить в виде
max ( )
wU A
kk k
k
. (3.19)
Для определения смысла получаемых величин в каждом канале
схемы обработки разделим их на одну и ту же величину
окажет влияния на соотношение выходных значений, так как
()wU
, что не
() 0wU
Получаемые значения
(/) ()/()
AU pwU wU
kkk
(3.20)
являются апостериорными вероятностями, и (2.20) принимает вид
.
max ( / )
PA U A
k
kk
(3.21)
алгоритма максимума апостериорной вероятности (МАВ-алгоритма).
Структурная схема ПРС, построенного по МАВ-принципу, показана
на рис. 3.2.
() PA U
0
()PA U
1
)(tu
()
PA U
1
Выбор
max
A
k
Рис. 3.2. Структурная схема МАВ ПРС
Таким образом, принятие стоимостей ошибок равными друг другу (3.16) приводит к критерию максимальной апостериорной вероятности (3.21). Смысл апостериорных вероятностей (3.20) состоит
в оценке «похожести» принятого сигнала U на различные сигналы
72
(, ), 0, 1,
p
st k M
k
ции правдоподобия
того или иного сигнала
В случае ансамбля двух сигналов
рабочего ансамбля (эту задачу выполняют функ-
())
wU
и учете априорных вероятностей появления
k
, 0, 1
pk M
k
.
2M
соотношения (3.13), (3.14),
(3.15) остаются в силе, а величина порога вычисляется по формуле
/lpp
001
.
Рассмотрим частный случай МАВ различения при равномерном
1/ , 0, .
априорном распределении, т. е. когда
pMiM
i
Алго-
ритм принятия решения (3.19) при этом принимает вид
max ( )
wU A
kk
k
(3.22)
и становится алгоритмом максимального правдоподобия (МП-алгоритм). Таким образом, МП-алгоритм различения будет оптимальным
при равенстве значений всех стоимостей ошибок и равномерном виде
априорного распределения.
3.5. РАЗЛИЧЕНИЕ ИЗВЕСТНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ ДЕЙСТВИИ
АДДИТИВНОГО БЕЛОГО ГАУССОВСКОГО ШУМА
Рассмотрим важный для практики пример, когда помеха
ш
()ut
в (3.1) является белым гауссовским шумом с равномерной СПМ, показанной на рис. 2.1. Полагаем, что выполняются условия, при которых
оптимален МП-алгоритм (3.22). Для его определения необходимо в яв-
ном виде записать выражение функции правдоподобия
wU
.
k
()
Предположим временно, что спектр помехи ограничен некоторой
частотой F, как показано на рис. 2.4. По теореме Котельникова можно
процесс
1/ 2 .tF
заменить последовательностью отсчетов, взятых с шагом
()ut
ш
Вычислим корреляционную функцию
()B
непрерывного
процесса с ограниченной по полосе частот СПМ. Согласно теореме Винера–Хинчина имеем
F
() ( )
BNfedfNF
F
jf
2
73
sin 2
F
0
2
. (3.23)
F
Из (3.23) дисперсия процесса с ограниченным спектром определяется
выражением
2
NF N t
F
00
/(2 )
, (3.24)
что можно также подтвердить вычислением в спектральной области,
учитывая вид СПМ (см. рис. 2.4). Из (3.23) видно также, что значения
корреляционной функции в точках
равны нулю, т. е. все отсчеты Котельникова (взятые с шагом
/ 2 , 1, 2, ...kF ktk
)t
явля-
ются некоррелированными случайными величинами. Кроме того, поскольку эти отсчеты подчиняются гауссовскому распределению вероятностей, они взаимно независимы. Это означает, что совместное распре-
деление всех
входных данных
/nT t
отсчетов
, , ..., ,
uu uU
12
, , ...,
uu u
12
Т
определяется произведением од-
n
, образующих вектор
n
номерных законов распределения:
n
() ()
wU wu
kki
i
1
. (3.25)
Индекс k в выражении (3.25) отражает тот факт, что полезный сигнал на
входе приемника определенным образом влияет на распределение вероятностей. Согласно математической модели (3.1) полезный сиг-
нал
st
k
на входе приемника представляет собой математическое
(, )
ожидание ПРВ. При дискретном наблюдении математические ожида-
(, ),
ния определяются дискретными значениями сигнала
1, 2, ..., .in
Здесь
tit
i
– моменты взятия отсчетов. Поэтому одно-
st
ki
мерные распределения, входящие в правую часть выражения (3.25),
имеют вид
2
()
wu e
ki
1
2
F
(,) 2
ust
iki F
2
. (3.26)
Подставив (3.26) в (3.25), найдем многомерное распределение
n
1
n
()
wU e
k
1
2
2
F
74
ust
iki
2
1
F
2
(,)
. (3.27)
Вычисления в ПРС могут выполняться на основе выражения (3.27),
где от номера канала зависит лишь сигнал
житель
12
n
, одинаковый во всех М-каналах, не влияет на ре-
F
st
ki
. Заметим, что мно-
(, )
зультат сравнения при выборе максимальной величины в выходном
блоке структурной схемы (рис. 3.2). Поэтому в рабочих каналах ПРС
для упрощения этот множитель исключается и вычисления производятся по формуле
n
t
()
fU e
k
ust
iki
N
0
i
1
(,)
2
, (3.28)
в которой учтено выражение (3.24).
Для возвращения к математической модели белого шума выполним
предельный переход
F
, при этом
1/ 2 0tF
, и суммирование
в (3.28) преобразуется в интегрирование:
T
1
[() (,)]
ut s t dt
N
0
()
fU e
k
0
2
k
. (3.29)
Максимизации по параметру k (номер канала в схеме ПРС) соответствует минимизация по этому параметру интеграла в выражении (3.29),
так что алгоритм работы приемника можно представить в виде
T
min [ ( ) ( , )]
ut s t dt A
k
0
kk
Согласно (3.30) решение принимается в пользу того сигнала
среднее квадратичное отличие которого от принятого колебания
2*
. (3.30)
(, )
st
k
()ut
минимально.
Дальнейшие простые преобразования этого выражения приводят
к еще одной модификации алгоритма. Возводя выражение под интегралом в квадрат, запишем:
TT T
min ( ) 2 ( ) ( , ) ( )
22*
u t dt u t s t dt s t dt A
k
00 0
kkk
75
.
,
T
M
s
A
E
0
()st
0
T
0
()st
1
T
0
t
1()M
/2E
0
/2E
1
/2
E
1
Выбор
max
*
k
u(t)
Рис. 3.3. Структурная схема корреляционного ПРС
Первый из трех интегралов определяет энергию принятого сигна-
(),ut
ла
его величина одинакова во всех каналах, следовательно, на ре-
зультаты выбора максимума не влияет и из вычислений может быть исключена. Умножая остальные слагаемые на –1/2, приводим правило
принятия решения к следующему виду:
T
где
T
2
()
stdt
kk
0
max ( ) ( , )
uts t dt A
k
0
kk
– энергия k-го сигнала.
E
k
*
, (3.31)
2
В структурной схеме ПРС, реализующей алгоритм (3.31) (рис. 3.3),
основным является вычисление корреляций
T
() () (, )
zU utst dt
kk
0
76
(3.32)
принятого сигнала
E
E
0, 1kM
. Перед сравнением и принятием решения выполняется вы-
читание величин
вые энергии
/2 /2
EE
k
01 1
не имеет смысла, так как это не влияет на результаты срав-
()ut
с каждым из рабочих сигналов
/2.
E
EEE
Часто используемые сигналы имеют одинако-
k
... .
M
В этих случаях вычитание величин
нения и выбор максимальной величины
(, ),
st
k
zzUzUzU
max[ ( ), ( ), ..., ( )]
max 0 1 1
M
и, следовательно, на принимаемое решение. Таким образом, при равных
энергиях сигналов обработка в каналах сводится к вычислению только
корреляций (3.32). В структурной схеме (рис. 3.3) соответственно исче-
/2.
E
зают блоки вычитания величин
k
3.6. РАЗЛИЧЕНИЕ ДВУХ СИГНАЛОВ РАВНЫХ ЭНЕРГИЙ
Различение двух сигналов (М = 2), как уже говорилось выше, является важным для радиотехнических систем частным случаем. В случае,
когда сигналы
()st
0
и
()st
имеют одинаковые энергии
1
EE
01
,
ал-
горитм принятия решения состоит в вычислении двух корреляционных
интегралов:
T
zzU utst dt
() ()(, );
00 0
zzU utst dt
11 1
0
T
() ()(, )
0
и выборе большей из полученных величин. Общая структурная схема
(рис. 3.3) содержит соответственно два канала и блок выбора макси-
мального значения. Вместо такой обработки можно воспользоваться одноканальной структурой, если для принятия решения использовать раз-
ность величин
z
0
и
:z
1
()Uzz
.
10
77
Очевидно, что решающее правило, эквивалентное правилу (3.31), может
A
A
A
A
A
s
иметь вид
*
0
0.
,
1
(3.33)
*
0
Структурная схема, реализующая алгоритм (3.33), показана на рис. 3.4.
Ее особенность – наличие процедуры сравнения с порогом, которой нет
в предыдущих схемах. Здесь сравнение с нулевым порогом фактически
z
z
и
играет ту же роль, что и сравнение двух величин
друг с другом.
0
1
Схеме рис. 3.4 эквивалентна одноканальная схема, показанная на
рис. 3.5. Ее особенность – использование в качестве опорного сигнала
разности
(, ) (, )st s t
10
. Очевидно, что по выходному эффекту эта
схема не отличается от схемы рис. 3.4.
T
0
T
0
z
0
z
1
0
0
*
1
*
0
u(t)
()st
0
()st
1
Рис. 3.4. Структурная схема приемника различения двух сигналов
*
1
0
0
*
A
0
u(t)
() ()
tst
10
T
0
Рис. 3.5. Одноканальная структурная схема приемника
различения двух сигналов
78
3.7. ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОК ПРИ РАЗЛИЧЕНИИ
A
s
s
ДВУХ СИГНАЛОВ
Различение сигналов, выполняемое в присутствии шума, сопровождается ошибками перепутывания. В радиотехнической системе необходимо контролировать и обеспечивать требуемый уровень их вероятностей. При проектировании РТС определяют энергетические характеристики системы, совокупность которых гарантирует заданный уровень
вероятностей перепутывания сигналов.
Применяются различные методы определения вероятностей ошибок. Наименее затратен аналитический метод, основанный
на выполнении вероятностного анализа процессов, происходящих в РТС, и получении на этой основе выражений, позволяющих рассчитать искомые вероятностные характеристики. Другой подход основан на применении методов математического моделирования работы РТС, опирающихся
на проведение статистического эксперимента. Наиболее затратны экспериментальные методы, когда определение характеристик РТС проводится на
опытном образце.
В задаче различения двух сигналов довольно просто определяются
вероятности ошибок перепутывания путем анализа. Выходной эффект
в схемах рис. 3.4 и 3.5 представим в виде
T
() ()[(, ) (, )] .
Uutst stdt
0
10
(3.34)
Предположим, что фактически на входе приемника присутствует сигнал
(, )st
1
(событие
)
, т. е. входной сигнал имеет вид:
1
() (, ) ().ut s t u t
1 ш
Выходной эффект (3.34) при этом
T
[ ( , ) ( )][ ( , ) ( , )]
11 ш 10
TT
( , )[ ( , ) ( , )] ( )[ ( , ) ( , )]
tst stdtutst stdt
11 0 ш 10
00
tutststdt
0
79
состоит из детерминированного
s
A
A
p
p
x
T
(, )[ (, ) (, )]
д11 1 0
tst stdt
0
и случайного
T
( )[ ( , ) ( , )]
utst st dt
шш10
0
слагаемого:
. (3.37)
1 д1 ш
(3.35)
(3.36)
Ошибочным при истинном событии
изойдет в случае выполнения неравенства
можно найти, интегрируя плотность распределения вероятностей
10
():w
1
0
ПРВ случайной составляющей
we
()
10 1 1 1
1
2
будет решение
1
0
1
()
wd
имеет гауссовский характер:
ш
1
. (3.38)
m
11
2
2
2
,
()
*
, которое про-
0
. Вероятность этого
так как эта случайная величина образована путем линейного преобразо-
()ut
вания (3.36) из белого гауссовского шума
. С учетом этого, веро-
ш
ятность ошибки (3.38) выразим соотношением
m
где
()
1
2
2
y
x
2
edy
1
p
10
– интеграл вероятности.
1
, (3.39)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]