Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая теория радиотехнических систем. Обнаружение и различение сигналов. Учебное пособие
.pdf
Продифференцировав полученное выражение по
p
z
и приравнивая ре-
0
зультат к нулю, будем иметь:
dP
ош
dz
pw z pw z
0
() ()0,
00 0 11 0
откуда получаем уравнение для отыскания оптимального порога:
()
wz p
10 0
wz p
()
00 1
l
. (2.52)
0
В частности, при
p
уравнение (2.52) преобразуется к виду
01
() ()wz wz ,
00 10
откуда следует, что оптимальный порог находится в точке пересечения кривых ПРВ
()wz, соответствующие выражениям (2.41) и (2.42) при ОСШ
и
0
qE Относительный оптимальный порог Котельникова
()/ 4.
z
//22,
при этом
z
га
zq
0
2
0
. Учитывая, что
z
мального порога Котельникова выражение
()wz и 1()wz (рис. 2.11). Здесь приведены ПРВ 1()wz
0
z
следовательно, абсолютное значение поро-
()/ ()/4,
EqE
z
0
получаем для опти-
()/2,zE
которое, есте-
ственно, совпадает с (2.51).
0.4
()wz
0
0.3
0.2
0.1
0
-4 -2 0 2 4 6
z
0 z
Рис. 2.11. К определению порога обнаружения
в приемнике Котельникова
()wz
1
z
z
q
41
Найдем выражение средней вероятности ошибок для случая
p
F
A
p
01
В силу симметрии гауссовских плотностей (рис. 2.11) в этом случае
справедливо равенство
,FD
поэтому из (2.49) находим
PpFpDF
ош 01
и с учетом (2.46) а также того, что оптимальный относительный порог
Котельникова имеет значение
/2,q
1(/2).Pq
ош
окончательно получаем
В заключение отметим, что за исключением последней иллюстрации, в которой рассмотрено обнаружение полностью известного сигнала на фоне белого гауссовского шума, остальные выводы настоящего
раздела имеют общий характер.
2.8. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
ПО КРИТЕРИЮ НЕЙМАНА
–ПИРСОНА
В технических системах, решающих локационные задачи, применя-
ется основанный на известной в математической статистике
мана–Пирсона
критерий, математическая формулировка которого вы-
лемме Ней-
ражена парой соотношений:
.
,
доп
(2.53)
max .
FF
D
Первое из них предъявляет требование допустимого уровня ложных
тревог, где
– значение допустимой вероятности ложного обнару-
доп
жения. Второе преследует цель обеспечить максимально возможное
значение вероятности правильного обнаружения. Оба требования, составляющих критерий (2.53), действуют во встречных направлениях.
Так, например, без учета второго требования легко обеспечить выполнение первого. Предельным может быть использование решающего
правила, которое независимо от входного сигнала принимает решение
– «сигнала нет». Очевидно, в этом случае вероятность ложной тре-
0
воги будет равна нулю и первое требование из (2.53) автоматически
надежно удовлетворяется. Однако очевидно, что вероятность правильного обнаружения также будет равна нулю, так как второе требование
42
в (2.53) проигнорировано. Поэтому именно оба требования в этом выра-
s
жении должны учитываться при разработке решающего правила.
Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий механизмы, которые необходимо учитывать при выработке алгоритма, отвечающего
критерию (2.53). Пусть входной сигнал обнаружителя состоит из единственного отсчета:
, ( ),
uA
u
s – известная величина, а случайная величина шu подчиняется гаус-
где
ш 1
, ( ),
uA
ш 0
(2.54)
совскому распределению с нулевым математическим ожиданием и из-
2
вестной дисперсией
ностей
()wu (гипотеза 0)A и 1()wu (гипотеза 1),A соответствую-
0
. Графики плотностей распределения вероят-
ш
щих (2.54), показаны на рис. 2.12. На рисунке выделены две области на
,
оси абсцисс
и
1
которые отвечают условиям:
1
() () ,
w u du w u du F
00
10
w u du w u du F
0
10
u
u
0
() () .
0
u
Рис. 2.12. Критерий Неймана–Пирсона
43
Эти условия и рис. 2.12 иллюстрируют тот факт, что существует бес-
A
A
конечное множество областей
, вероятности попадания в которые
1
случайной величины u одинаковы и равны F. На рис. 2.12 в качестве
примера показаны две такие области
1
и
,
заштрихованные
1
участки над которыми имеют площади, равные F. С точки зрения критерия (2.53) это означает, что существует сколько угодно вариантов вы-
бора области
, для которых будет выполняться верхнее из требова-
1
ний данного критерия. Оптимизация по критерию Неймана–Пирсона
тогда заключается в том, чтобы из всех возможных вариантов выбрать
такой, при котором будет максимизирована вероятность правильного
обнаружения D, т. е. окажется выполненной вторая часть критерия.
Если сравнивать, например, две области
видно, предпочтение следует отдать области
и
1
(рис. 2.12), то, оче-
1
, так как имеет место
0
очевидное неравенство
() () .wudu D wudu D
11
1
Последнее означает, что, приняв
1
в качестве области для решения
1
1
мы явно выиграем в величине вероятности правильного обнаружения
по сравнению с вариантом, когда в качестве такой области была бы при-
нята область
Возникает вопрос: какие различия областей
.
1
и
1
заставляют от-
1
дать предпочтение первой из них как более эффективной для принятия
?
решения
ждает, что область
Лемма Неймана–Пирсона, отвечая на этот вопрос, утвер-
1
должна состоять из тех точек, для которых имеет
1
место неравенство
()
wu
1
()
wu
0
uF
0
()
, (2.55)
или, что эквивалентно,
() ( ) ()wu u Fw u
100
44
. (2.56)
,
Здесь 0()uF – константа, зависящая от требуемого уровня вероятности
D
D
A
ложной тревоги F. В самом деле, если область
состоит из всех точек,
1
удовлетворяющих условию (2.56), то для всех точек любой другой об-
ласти
имеет место противоположное неравенство
1
Вычисляя интегралы от (2.56) по области
() ( ) ()wu u Fw u . (2.57)
100
и от (2.57) по области
1
1
находим соответствующие им значения вероятности правильного обнаружения:
100
11
() ( ) ()
wudu u F w udu
100
11
Из сравнения этих выражений следует, что
при выборе области
в которой выносится решение
1
;
.
.DD
Этим доказано, что
1
в соответ-
() ( ) ()
wudu u F w udu
ствии с условием (2.55) обеспечивается получение максимальной величины вероятности правильного обнаружения.
Практически все рассуждения останутся в силе, если вместо простейшего одноточечного наблюдения (2.54) перейти к наблюдению сиг-
()ut
нала
, имеющего конечную длительность, описываемого общим вы-
ражением (2.1). В этом случае сигнал также можно рассматривать как
элемент пространства сигналов, как это выше было принято при отыскании байесовского приемника обнаружения. Приемнику Неймана–
Пирсона соответствует в этом пространстве такая граница, разбивающая его на области
мальности (2.53). Очевидно, что область
точек (т. е. из таких принятых сигналов
и 0 , которой соответствует критерий опти-
1
должна состоять из таких
1
{ ( ), 0 }),ut t TU
для кото-
рых выполняется неравенство
,
()
w
U
llF
() ()
U
1
w
0
()
U
45
0
. (2.58)
Согласно (2.58) оптимальный приемник, работающий по критерию Ней-
A
A
A
A
F
мана–Пирсона, так же как и байесовский приемник, должен, используя
полученный входной сигнал
ние правдоподобия
()l U
и затем сравнивать его с порогом 0()lF, зави-
{(), 0 }ut t TU
, вычислять отноше-
сящим от заданного значения вероятности ложного обнаружения.
Условие (2.58) определяет правило отнесения полученного сигнала
к области
. Общее же правило Неймана–Пирсона
1
Г ()
НП
U
можно
записать в виде, аналогичном (2.12):
, если ( ) ( );
НП
U
()
10
, если ( ) ( ).
00
llF
U
(2.59)
U
llF
Таким образом, применение критерия Неймана–Пирсона сохраняет
структуру приемника обнаружения, соответствующую байесовскому
критерию, а его отличие от байесовского приемника состоит в принципиальном изменении подхода к определению порога принятия решения.
Разумеется, остаются в силе соображения по применению монотонных преобразований решающей статистики
()l U
и порога
()lF, с уче-
0
том чего решающее правило (2.59) можно представить в виде
, если z( ) ( );
()
НП
U
10
, если z( ) ( ).
00
zF
U
(2.60)
zF
U
В (2.60)
() (()), () (()),zflzFflFUU где
00
()fx
– любая монотонно
возрастающая функция.
При разработке приемника Неймана–Пирсона самостоятельное и
важное значение имеет задача определения
пороговой функции
()zF
0
,
использование которой гарантирует получение заданной вероятности
ложной тревоги. Естественный способ ее нахождения заключается
в следующем. Величина
()z U
, формируемая в устройстве обработки
приемника, случайна и подчиняется при отсутствии полезного сигнала
на входе (ситуация
)A
распределению 0()wz. Вероятность ложной
0
тревоги при этом выражается соотношением
()
wzdz
0
z
0
46
, (2.61)
которое, по существу, является уравнением относительно порога
s
шая его, можно выразить
z через заданное значение F. Трудности
0
z . Ре-
0
отыскания пороговой функции обычно связаны с нахождением распределения
()wz
, так как для этого требуется выполнить анализ прохож-
0
дения помехи через приемный тракт РТС. Это может оказаться довольно сложной задачей. Вторая трудность заключается в сложности
вычисления интеграла в (2.61) и отыскания корня получаемого при этом
уравнения.
2.9. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ,
ИМЕЮЩИХ СЛУЧАЙНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Наличие у сигналов параметров, значения которых в приемнике не
известны, существенным образом усложняет задачу, делает неприемлемым использование тех устройств обнаружения, которые являются оптимальными при приеме сигналов, известных полностью. Для иллюстрации этого рассмотрим простой пример обнаружения радиоимпульсного сигнала
( , ) cos ( ), 0 ,
у которого амплитуда
фаза
– случайная величина. Это означает, что если в некотором такте
работы обнаружителя (длительности
лезный сигнал (т. е. имеет место событие
мает в этом такте случайное значение в соответствии с ее ПРВ
tS t tT (2.62)
S
и несущая частота
0
известны, а начальная
0
Т) на его входе присутствует по-
),A то начальная фаза прини-
1
()w
.
Пренебрегая этой особенностью полезного сигнала, рассмотрим
возможность использования корреляционного обнаружителя, имеющего схему, показанную на рис. 2.5. Генератор опорного сигнала в этой
схеме вырабатывает сигнал
которого
мы вынуждены принять произвольной из-за незнания ее
0
(, ) cos( ),st S t начальную фазу
000
истинного значения в поступающем колебании. Определим отклик коррелятора на полезный входной сигнал (2.62), т. е. найдем математическое ожидание выходного эффекта коррелятора:
T
() (, )(, )
zststdt
U
0
0
-
47
T
E
2
S
[cos ( ) cos(2 )]
2
0
2
ST
2
000
cos ( ) cos ( ).
00
tdt
E
(2.63)
Здесь учтено, что интеграл от высокочастотного колебания частоты
2 равен нулю (поскольку 022T, т. е. за время интегрирова-
0
ния колебание совершает большое число полных циклов), а также что
2
величина
(, )st
ла
тора зависит от разности фаз
Рассмотрим три частных случая: а)
в)
0
/2ST
представляет собой энергию Е полезного сигна-
. Из выражения (2.63) видно, что выходной эффект корреля-
входного и опорного сигналов.
0
0
0 ; б)
/2 ;
0
. В таблице приведены значения математических ожида-
ний выходного эффекта и его распределения для этих случаев. Для варианта «а» начальная фаза ГОС совпадает с фазой входного сигнала, поэтому он соответствует полностью известному сигналу. Распределение
решающей статистики имеет математическое ожидание
() .zEU
Условная вероятность правильного обнаружения, определяемая заштрихованной площадью, максимальна.
В случае б) математическое ожидание выходного эффекта равно
нулю. Это означает, что наличие полезного сигнала на входе приемника
никак не проявляется в выходном эффекте коррелятора, распределение
которого
()wz совпадает с распределением 0()wz, характерным для
1
случая отсутствия полезного сигнала. Очевидно, значение вероятности
правильного обнаружения совпадает при этом со значением вероятности ложной тревоги.
В случае в) входной и опорный сигналы находятся в противофазе,
математическое ожидание выходного эффекта коррелятора равно ,
.DF
а вероятность правильного обнаружения
Масштабы рисунков
в таблице, имеющих качественный характер, не позволяют в случаях б)
и в) отобразить штриховкой участки, соответствующие вероятности
правильного обнаружения.
48
Харак-
теристика
()z U
()wz
1
0
а)
Е 0 –Е
0
б)
/2
0
в)
0
Алгоритмы обнаружения, у которых вероятность правильного обнаружения меньше вероятности ложной тревоги, называются
. Смещение, по понятным причинам, для обнаружения сигналов
ными
смещен-
абсолютно неприемлемо.
Таким образом, рассмотренный пример показывает, что попытка пренебречь случайностью начальной фазы и воспользоваться решением, пригодным для полностью известного сигнала, является безуспешной.
Рассмотрим байесовский подход к преодолению проблемы обнаружения сигналов при наличии у них случайных параметров. Общий
принцип байесовского
подхода остается в силе, т. е. оптимальный байесовский обнаружитель согласно (2.12) для принятия решения сравнивает с порогом величину отношения правдоподобия
()
w
U
()
U
lw
Плотность распределения вероятности
1
. (2.64)
()
U
0
()w U не связана со свойствами
0
полезного сигнала, в частности, на ее вид не влияет наличие или отсутствие случайных параметров у полезного сигнала. Иное дело ПРВ
()w U , которая характеризует вероятностные свойства входного сиг-
1
нала при наличии в нем полезного сигнала, имеющего случайные параметры. При отыскании этой ПРВ теперь необходимо рассмотреть сов-
U
местное распределение величин
и :
(, ) ()( )www UU,
1
49
откуда получим
() (,) ()( )wwdwwd
UU U.
11
Здесь
начальная фаза радиосигнала, то
– множество значений, которые может принимать параметр
в соответствии с его физическим смыслом. Так, например, если –
– все числа интервала
[0, 2 )
.
Подставляя полученное выражение в числитель (2.64), находим
()( )
ww d
lwd
() ()
U
U
()
U
w
() ()
ww
UU
00
1
.
Вводя обозначение
1
w
, (2.65)
()
U
0
()
l
U
()
w
U
окончательно получаем
() ()( )lwld
Величина
()l U , определяемая выражением (2.65), представляет собой
UU. (2.66)
условное отношение правдоподобия, которое вычисляется при фикси-
.
рованном значении параметра
Согласно (2.66) далее условное отно-
шение правдоподобия усредняется по всем значениям параметра, в результате чего образуется безусловное отношение правдоподобия
()l U
.
Если рассматривать (2.66) как технологию обработки сигнала в приемном устройстве, то для ее реализации необходимо по полученному сиг-
U
налу
вычислять множество значений условного отношения правдо-
подобия, а затем выполнять объединение всех результатов путем усреднения с весом
()w
. Этот прямой путь чрезвычайно сложен для техни-
ческого воплощения. Поэтому обычно стремятся операцию усреднения
выполнить на этапе исследований и разработок радиоаппаратуры.
Как будет видно из следующего раздела, такой подход может оказаться
весьма плодотворным, приводя к довольно простым алгоритмам обработки сигналов.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]