Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по основам механики недеформируемого твердого тела с решением типовых задач. Учебное пособие
.pdf
2.3 Твердое тело, вращавшееся с угловой скоростью ω0 = 8 рад/с,
начинает тормозиться силами сопротивления, моменты которых М1 и М2.
Момент М1 от трения в подшипниках постоянен М1 = 150 Н.м. Тормозящий
момент М2 пропорционален угловой скорости М2=25ω. Момент инерции
тела относительно оси вращения равен J=140кг.м2. Определить, через
какой промежуток времени тело остановится.
2.4 Платформа, вращавшаяся с угловой скоростью ω0=3рад/с,
начинает тормозиться силами сопротивления, момент которых равен
М=10ω(ω+ 3). Момент инерции платформы относительно оси вращения
равен J=435кг.м2. Определить число оборотов платформы с момента
начала торможения и до ее остановки.
Задачи II типа
Указание 1. Записать уравнение, выражающее теорему об
изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
Указание 2. Записать зависимость для определения кинетической
энергии механической системы как сумму кинетических энергий тел
входящих в механическую систему. Расписать слагаемые суммы, выразив
кинематические параметры в полученном выражении через кинематический
параметр движения тела механической системы, связанный
дифференциальной зависимостью с искомой кинематической величиной
данного тела.
Указание 3. Выполнить процедуру дифференцирования,
предусмотренную левой частью уравнения, выражающего теорему об
изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
Указание 4. Изобразить на рисунке все приложенные к механической
системе внешние силы (активные силы и реакции связей) и записать сумму
мощностей всех внешних сил действующих на механическую систему.
Выразить кинематические параметры всех тел, входящих в систему через
81
кинематический параметр движения тела механической системы, связанный
М
дифференциальной зависимостью с искомой кинематической величиной
данного тела.
Указание 5. Приравнять левые и правые части уравнения,
выражающее теорему об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме.
Указание 6. Определить искомую величину, воспользовавшись
полученным уравнением движения.
Пример II.1. Грузоподъемная установка (рис. 74) состоит из
барабана 1 с осевым моментом
инерции относительно оси
r
вращения J = 4 кг.м2 и радиусом
т
2
О
r = 20 см, невесомого и
f
нерастяжимого троса и груза 2
массой т2 = 1000 кг,
Рис. 74
перемещающегося по наклонной
плоскости, составляющей угол а = 30° с горизонтом, с коэффициентом
трения f = 0,2. Определить величину углового ускорения барабана ε1,
если приложенный вращающий момент к барабану составляет вращающего момента
1550
.
мНМ
Решение. Поскольку рассматривается мгновенное состояние
системы, то для определения углового ускорения барабана следует
применить теорему об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме
dТ
dt
n
1j
m
e
j
i
NN
.
k
1k
1
При условии, что трос нерастяжим и отсутствует проскальзывание
троса относительно барабана, система является неизменяемой
82
(внутренние силы не работают), тогда уравнение выражающее теорему
dt
212
2
2
dt
dt
М
примет вид
dT
e
N
.
k
Кинетическая энергия системы определяется кинетической
энергией поступательно движущегося груза и кинетической энергией
вращающегося барабана
1
2
22
2
JmT .
1
Для определения углового ускорения выразим угловую скорость
барабана через угловую скорость груза используя кинематическую
связь между скоростью груза и угловой скоростью барабана при
условии нерастяжимости троса и отсутствия проскальзывания троса
относительно барабана: r
. Тогда
12
Выполняем операцию, предусмотренную левой частью уравнения
выражающего теорему,
dT
Рассмотрим действующие на систему внешние силы и запишем
их мощности (рис. 75).
Сила тяжести барабана
G
1
и составляющие реакции
от шарнирнонеподвижной опоры
барабана
"
и
R
1
'
будут
R
1
иметь нулевую мощность
(так как равна нулю
1
1
2
Jmr
R
2
F
тр
G
2
2
2
d
1
JrmT
1
2
2
.
1
2
)(2)(
Jmr
.
11
R
О
"
1
G
r
1
'
R
1
1
Рис. 75
скорость точки их приложения – точки О). Также равна нулю мощность
83
реакции, действующей на груз,
1 2
Рис. 76
рости груза.
, поскольку она перпендикулярна ско-
R
2
Ненулевую мощность будут иметь только сила тяжести груза
( gmG
), сила трения
22
Тогда (с учетом кинематической связи r
F и вращающий момент М:
тр
G
F
тр
тр
тр
o
o
gтGGN
) сумма мощностей
;sin)90cos(
222222
Mтр
12
.;180cos
MNFFFN
1222
G
2
запишется в виде
e
k
òð
.)sin(
rFgmMN
12
Приравнивая правую и левую части теоремы, получаем
2
2
)sin()(
тр
rFgmMJrm
1211
,
отсюда после сокращения находим выражение для определения углового
ускорения, учитывая, что
1
òð
grmfM
)cos(sin
2
coscos
gfmfGfRF
222
2
2
.
Jrm
Подставив значения, получим значение углового ускорения для
момента приложения вращающего момента
)cos(sin
1
2
/22,5
срад
grmfM
2
2
2
Jrm
Задачи
2.1 Для приведенной на схеме
механической системы (рис. 76), используя
теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме,
определить линейное ускорение тела 1.
2,081,91000)30cos2,030(sin1550
2
)42,01000(
3
3;2
mmmm
1312
15,0
f
Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые
обозначения: m – массы тел, f – коэффициент трения скольжения.
84
2.2 Для приведенной на схеме механической системы (рис. 77),
2
1
1
2
1 2 R
используя теорему об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме, определить линейное ускорение тела 1. Нити
невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: m – массы тел, R и r –
радиусы, ρ – радиус инерции.
2.3 Для приведенной на схеме
механической системы (рис. 78), используя
теорему об изменении кинетической энергии
в дифференциальной форме, определить
линейное ускорение тела 1. Нити невесомы
и нерастяжимы. Принятые обозначения: m –
C
3
массы тел, R и r – радиусы, ρ –
радиус инерции.
смrттmm
;30;7;3
схеме механической системы
(рис. 79), используя теорему об
40;50
33
Рис. 78
31312
смсмR
изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме, определить
3
смrсмR
22
см
40
2
Рис. 77
2.4 Для приведенной на
mmmm
;2;5,0
1312
;25;55
линейное ускорение тела 1. Нити невесомы
и нерастяжимы. Принятые обозначения: m –
массы тел, R – радиус, f
– коэффициент
к
C
трения качения. Тело 2 считать однородным
цилиндром.
2.5 Для приведенной на схеме
механической системы (рис. 80), используя
к
Rmm
12
смf
2,0
Рис. 79
см30;4
теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме,
85
определить угловое ускорение тела 1. Нити невесомы и нерастяжимы.
1
2
R М
М
1 2
М
;
40
мНМ
1 2
Принятые обозначения: m – массы тел, R – радиус, f – коэффициент
трения скольжения. Тело 1 считать однородным цилиндром.
2.6 Для приведенной на схеме механической системы (рис. 81),
используя теорему об изменении кинетической энергии в
3
;24;70
кгтмНM
1
32
fсмR
;20;40
кгmкгm
30;12,0;25
Рис. 80
схеме механической системы (рис.
82), используя теорему об
дифференциальной форме,
определить угловое ускорение
тела 1. Нити невесомы и
нерастяжимы. Принятые
обозначения: m – массы тел, R –
радиус. Тела считать
однородными цилиндрами.
2.7 Для приведенной на
изменении кинетической энергии
С
Рис. 82
45
;15
кгm
;35
кгm
;20
смR
1
2
1
в дифференциальной форме,
определить угловое ускорение
тела 1. Нити невесомы и
нерастяжимы. Принятые
обозначения: m – массы тел, R
– радиус. Тела считать однородными цилиндрами.
Rсмт
13
Рис. 81
3
21
.см30;40
;10;20;60
кгmкгmмНМ
86
2.8 Для приведенной на схеме механической системы (рис. 83),
2
М
1
М
;
120
мНМ
1 2
используя теорему об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме, определить угловое ускорение тела 1. Нити
невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: m – массы тел, R и r –
радиусы, ρ – радиус инерции. Тело 1 считать однородным цилиндром.
2.9 Для приведенной на схеме механической системы (рис. 84),
используя теорему об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме, определить угловое ускорение тела 1. Нити
невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: m – массы тел, R –
радиус, ρ – радиус инерции Тела считать однородными цилиндрами.
15
;15
кгm
;32
кгm
;20
смR
см;r
22
смR
Рис. 83
С
.60;20см;40
13
3
кгmкгmмНМ
21
смRкгт
20;50
;20;10;90
Рис. 84
1
2
1
2
Задачи III типа
Указание 1. Записать уравнение, выражающее теорему об
изменении кинетической энергии в интегральной форме.
Указание 2. Записать зависимость для определения кинетической
энергии механической системы как сумму кинетических энергий тел
входящих в механическую систему. Расписать слагаемые суммы для
87
начального момента времени и указанного момента времени, выразив
2
кинематические параметры в полученном выражении через искомый
кинематический параметр движения тела механической системы.
Указание 3. Изобразить на рисунке все приложенные к механической
системе внешние силы (активные силы и реакции связей) и записать сумму
работ всех внешних сил, действующих на механическую систему. Выразить
перемещения всех тел, входящих в систему, через перемещение тела
механической системы (чаще всего заданно в условии задачи), связанное
интегральной зависимостью с искомой кинематической величиной данного
тела.
Указание 4. Приравнять левые и правые части уравнения,
выражающее теорему об изменении кинетической энергии в
интегральной форме.
Указание 5. Определить искомую величину, воспользовавшись
полученным уравнением движения.
Пример III.1. Рассматривается грузоподъемная установка из
предыдущего примера II.1. К барабану приложен постоянный вращающий момент М = 3 кН.м. Определить угловую скорость барабана после
того, как он повернется на угол φ1 = 10 рад, если движение началось из
состояния покоя.
Решение. В постановке данной задачи идет речь о конечном
перемещении системы, поэтому следует применить теорему об
изменении кинетической энергии в интегральной форме:
n
1j
m
e
j01
i
ААТТ
.
k
1k
Кинетическая энергия системы получена в предыдущей задаче
1
2
2
2
JrmT .
1
Начальная кинетическая энергия системы Т0 =0, так как движение
началось из состояния покоя. Конечная кинетическая энергия системы
88
2
1
М
2
21
2
JrmT .
1
Перейдем к вычислению величин работ. Внутренние силы в
данной системе не работают:
m
i
0
А
k
1k
так как механическая система неизменяемая, поэтому изменение
кинетической энергии будет определяться только работами внешних сил.
Внешние силы и
"
R
1
соответствующие
перемещения показаны на
рис. 85 (перемещение
груза
и перемещение
s
2
барабана φ1).
R
2
s
2
F
тр
G
2
О
r
'
R
1
1
Сила тяжести
G
1
барабана
составляющие реакции от шарнирно-неподвижной опоры барабана
'
работы не совершают (так как нет перемещения у точки их
R
1
G и
1
Рис. 85
"
и
R
1
приложения – точки О). Также равна нулю работа реакции, действующей
на груз,
, поскольку она перпендикулярна перемещению груза.
R
2
трения
Ненулевая работа будет только у силы тяжести груза
F и вращающего момента М. Величину этих работ вычисляем
тр
, силы
G
2
по формулам, соответствующим постоянным силам и моментам:
G
тр
2
MAM
1
.
gsmsGsGA
222222
тртртрF
;sin90cos
;180cos
sFsFsFA
22
Выражаем линейное перемещение груза через угол поворота
барабана, для этого устанавливаем соответствие между линейным
перемещением груза и углом поворота для барабана, интегрируя левую и
правую часть по времени уравнения кинематической связи r
89
12
2
2
1 2
Рис.
86
rdtdt
12
dtrdt
12
rs
.
12
Тогда суммарная работа внешних сил запишется в виде
e
j
Приравнивая правую и левую части теоремы, учитывая, что
coscos
òð
, получаем
gfmfGfRF
222
1
1
2
Jrm
2
2
2
2
Jrm
1
откуда искомая угловая скорость
2
2
2
22
2
Jrm
.sin
2
1
)cossin(
rgfmgmМ
2
42,01000
sin
1
rFgmМА
12
тр
тр
rFgmМ
cossin
,
12
rgfmgmМ
2,0)30cos81,910002,030sin81,91000(3000
122
./р6,2710
сад
Задачи
3.1 Для приведенной на схеме
3
механической системы (рис. 86),
используя теорему об изменении
кинетической энергии в интегральной
форме, определить линейную скорость
3;2
mmmm
тела 1 после его заданного перемещения s1
15,0
f
1312
= 2 м. Нити невесомы и нерастяжимы.
Принятые обозначения: m – массы тел, f –
коэффициент трения скольжения.
3.2 Для приведенной на схеме механической системы (рис. 87),
используя теорему об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме, определить линейное ускорение тела 1 после
его заданного перемещения s1 = 2 м. Нити невесомы и нерастяжимы.
Принятые обозначения: m – массы тел, R и r – радиусы, ρ – радиус
инерции.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]