Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по основам механики недеформируемого твердого тела с решением типовых задач. Учебное пособие
.pdf
О
Задачи
Рис. 6
+
а
п
α=45o
а
а
п
R=8см
M
τ
3.1 Точка движется по окружности, радиус окружности R=15см,
согласно уравнению )2(5
2
tts
, где s выражена в сантиметрах, t – в
секундах. Определить и показать положение точки на траектории для
момента времени t=1с, а также скорость и ускорение для указанного
момента времени.
3.2 Точка движется по дуге окружности, радиус окружности
R=20см, согласно уравнению )3(5
2
ts
, где s выражена в сантиметрах, t
– в секундах. Определить и показать положение точки на траектории для
момента времени t=2с, а также скорость и ускорение для указанного
момента времени.
3.3 Точка движется в прямолинейном желобе согласно уравнению
2
10 ts , где s выражена в сантиметрах, t – в секундах. Определить и
показать положение точки на траектории для момента времени t=1с, а
также скорость и ускорение для указанного момента времени.
3.4 Точка движется в желобе прямолинейного стержня согласно
уравнению 82
21
23
tts , где s выражена в сантиметрах, t – в секундах.
Определить и показать положение точки на траектории для момента
dt
dt
времени t=2с, а также скорость и ускорение для указанного момента
времени.
Задачи III типа
Указание 1. Для перехода от координатного способа задания
движения точки к естественному с целью определения касательного,
нормального ускорений движущейся точки и радиуса кривизны
траектории в точке, соответствующей положению точки на траектории для
указанного момента времени, необходимо:
– Определить проекцию касательного ускорения на касательную,
как первую производную от алгебраической величины скорости точки по
d
времени
а , если точка движется в плоскости Oxy проекция
касательного ускорения на касательную определяется выражением
d
а
аа
уухх
.
– Определить по проекции вектора касательного ускорения на
касательную проекцию вектора нормального ускорения на нормаль и
радиус кривизны.
Пример III.1. Точка движется в плоскости Oxy согласно
уравнениям
,
tх 2
2
5,1 ty , где х, у выражены в метрах, t – в секундах.
Определить уравнение траектории точки и положение точки на
траектории для момента времени t=1с, показать положение точки на
траектории, а также определить скорость, ускорение точки в указанный
момент времени, радиуса кривизны траектории в точке, соответствующей
положению точки на траектории для указанного момента времени.
22
Решение. Для получения уравнений движения точки в
2
координатной форме необходимо исключить параметр t из уравнений
движения точки
2
x
t ,
x
5,1 x
y
.
2
3
2
8
Следовательно, траектория точки парабола, координаты вершины
(0,0), ветви направлены вверх.
Определяем положение точки на траектории для указанного
момента времени в условии t=1с
Траектория точки и положение точки на траектории (точка М)
показаны на рис. 7.
мtх 2122)1(
, мty 5,115,15,1)1(
22
М
.
Рис. 7
При координатном способе задания движения точки скорость точки
определяем проекциями компонент вектора скорости по осям x, y
декартовой системы координат, на соответствующие оси поскольку точка
движется в плоскости ху
х
23
2 х
, ttу
у
325,1
.
Для указанного момента времени t=1с, проекции примут значения
смх/2)1(
, смt
у
/3133)1(
,
тогда модуль скорости точки для указанного момента времени t=1с
2222
смух/1332)1()1()1(
.
Вектор скорости для указанного момента времени показан на рис. 8, с
учетом полученных положительных значений проекций компонент
вектора скорости на оси х и у.
у
М
х
Рис. 8
При координатном способе задания движения точки ускорение
точки определяем проекциями компонент вектора ускорения по осям x, y
декартовой системы координат, на соответствующие оси поскольку точка
движется в плоскости ху
а
0
, 3
хх
а
.
уу
Для указанного момента времени t=1с, проекции примут значения
,
х
2
/0)1( сма
,
у
2
/3)1( сма
тогда модуль ускорения точки для указанного момента времени t=1с
22222
/330)1()1()1( смааа
ух
24
.
Вектор ускорения точки для указанного момента времени показан на рис.
dt
9, с учетом полученного положительного значения проекции компонента
вектора ускорения на ось у.
аа
у
М
Рис. 9
Для определения радиуса кривизны траектории движущейся точки
в указанный момент времени необходимо перейти от координатного
способа задания движения точки к естественному. Проекция касательного
ускорения на касательную
d
а
аа
уухх
.
Для указанного момента времени t=1с, проекция примет значение
)1()1()1()1(
аа
)1( см
а
)1(
уухх
13
3302
2
/5,2
.
Проекция вектора касательного ускорения на касательную
положительна, следовательно, вектор касательного ускорения сонаправлен
с вектором скорости (направлен по направлению движения), рис. 10.
25
Нормальное ускорение находим как разность «полного» ускорения
а
и касательного ускорения движущейся точки
проекция нормального ускорения на нормаль
aaа
n
.
Для указанного момента времени t=1с, проекция примет значение
n
, рис. 10, при этом
ааа
n
22
а
п
22222
аа
у
/66,15,23)1()1()1( смaaа
.
М
Рис. 10
Тогда радиус кривизны траектории в точке, соответствующей положению
точки на траектории для указанного момента времени t=1с
2
;
а
п
2
)1(
)1(
)1(
а
п
13
66,1
2
.83,7
м
Задачи
3.1 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям 1
68 tу , где х, у выражены в сантиметрах, t – в секундах. Определить
8
tх ,
уравнение траектории точки и положение точки на траектории для
момента времени t=1с, показать положение точки на траектории, а также
определить скорость, ускорение точки в указанный момент времени,
26
радиус кривизны траектории в точке, соответствующей положению точки
1
t
на траектории для указанного момента времени.
3.2 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям 3
2
tу , где х, у выражены в сантиметрах, t – в секундах. Определить
2
tх ,
уравнение траектории точки и положение точки на траектории для
момента времени t=1с, показать положение точки на траектории, а также
определить скорость, ускорение точки в указанный момент времени,
радиус кривизны траектории в точке, соответствующей положению точки
на траектории для указанного момента времени.
3.3 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
)cos(4 tх
, )sin(4 tу
, где х, у выражены в сантиметрах, t – в секундах.
Определить уравнение траектории точки и положение точки на
траектории для момента времени t=
с, показать положение точки на
3
траектории, а также определить скорость, ускорение точки в указанный
момент времени, радиус кривизны траектории в точке, соответствующей
положению точки на траектории для указанного момента времени.
3.4 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
,
у , где х, у выражены в сантиметрах, t – в секундах.
55
tх
5
Определить уравнение траектории точки и положение точки на
траектории для момента времени t=0с, показать положение точки на
траектории, а также определить скорость, ускорение точки в указанный
момент времени, радиус кривизны траектории в точке, соответствующей
положению точки на траектории для указанного момента времени.
Кинематика твердого тела
Задачи по кинематике твердого тела отличаются большим
разнообразием. Они могут включать в себя в комплексе или в виде
отдельных вопросов:
27
– составление уравнений движения твердого тела в зависимости от
вида движения;
– определение по заданным уравнениям движения твердого тела его
кинематических параметров движения;
– определение скоростей и ускорений точек твердых тел
совершающих различные виды движения.
В соответствии с этим все задачи кинематики твердого тела делят
на следующие группы:
1. Задачи, в которых требуется определить скорость, ускорение,
твердого тела, совершающего поступательное движение, в указанный
момент времени по заданным уравнениям движения точки данного
твердого тела в декартовых координатах.
2. Задачи, в которых требуется определить угловое перемещение,
угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, совершающего
вращательное движение, для указанного момента времени, если задан
закон вращательного движения.
3. Задачи, в которых требуется определить скорость и ускорение
точки твердого тела, совершающего вращательное движение, для
указанного момента времени, если задан закон вращательного движения;
4. Задачи, относящиеся к передаче вращательного движения от
одного тела к другому.
5. Задачи, в которых требуется определить скорость и ускорение
точки твердого тела, совершающего плоское движение, для указанного
момента времени.
Задачи I типа
Указание. При поступательном движении твердого тела все точки
данного тела описывают одинаковые (совпадающие при наложении)
траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные
28
скорости и ускорения. Общие для всех точек твердого тела, движущегося
поступательно, в данный момент времени, скорость и ускорение называют
скоростью и ускорением поступательного движения твердого тела. Данное
свойство поступательного движения позволяет свести изучение
поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной
точки этого тела, т.е. к задаче кинематики точки, решение которой мы
рассмотрели выше.
Пример I.1. Тело движется поступательно вдоль оси х так, что
координата его точки А меняется по закону
2
2tхА , где х выражена в
сантиметрах, t – в секундах, определить скорость и ускорение тела, а также
скорость и ускорение точки В, принадлежащей данному телу в момент
времени t=2с.
Решение. Так как тело движется поступательно, то скорость и
ускорение твердого тела определяются скоростью и ускорением любой его
точки. Зная закон движения точки А можно определить скорость и
ускорение точки, следовательно, скорость и ускорение твердого тела.
Поскольку при поступательном движении все точки данного тела
описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и в
каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и
ускорения, то скорость и ускорение точек А и В будут равны. Определим
скорость и ускорение точки А.
При координатном способе задания движения точки скорость точки
определяем проекцией компоненты вектора скорости по оси x декартовой
системы координат, на соответствующую ось поскольку точка движется
вдоль оси х.
tх
4
ААх
.
Для указанного момента времени t=2с, проекция примет значение
ссм
Ах
/824)2(
,
тогда модуль скорости точки для указанного момента времени t=2с с
учетом того что тело движется вдоль оси х
29
ссм
АхА
/8)2()2(
.
Следовательно, скорость твердого тела и скорость точки В
ссмАВ/8)2()2()2(
.
Вектор скорости для указанного момента времени показан на рис.
11, с учетом полученного положительного значения проекции компоненты
вектора скорости на ось х.
При координатном способе задания движения точки ускорение
точки определяем проекцией компоненты вектора ускорения по оси x
декартовой системы координат, на соответствующую ось поскольку точка
движется вдоль оси х.
4
ха
.
ААхАх
Для указанного момента времени t=2с, проекция примет значение
Ах
,
2
/44)2( ссма
тогда модуль ускорения точки для указанного момента времени t=2с с
учетом того, что тело движется вдоль оси х
2
АхА
.
/4)2()2( ссмаа
Следовательно, ускорение твердого тела и ускорение точки В
2
АВ
.
/4)2()2()2( ссмааа
Вектор ускоения для указанного момента времени показан на рис. 11, с
учетом полученного положительного значения проекции компоненты
вектора ускорения на ось х.
а
В
В
В
а
А
А
А
х
Рис. 11
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]