Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по основам механики недеформируемого твердого тела с решением типовых задач. Учебное пособие
.pdf
Указание 3. Определить объемы элементов, образующих разбитый
V
V
V
V
у
z
x
O
Рис.
67
С
IIIIII
1С2
3
Н
h
объем, координаты центров тяжести в глобальной системе координат
принятой для объема.
Указание 4. Определить координаты центра тяжести объема,
принимая для пустых полостей отрицательные объемы, показать
положение центра тяжести.
Пример V.1. Найти координаты центра тяжести однородного
твердого тела (рис. 67), состоящего из трех частей: полушара I радиусом
R, прямого круглого цилиндра II радиусом r= R/2, и высотой H=4R,
круглого конуса III с основанием радиуса R и высотой h=2R.
Решение. Проводим оси координат Oxyz так, что ось у совмещена
с осью симметрии тела. Тогда хC=0, zC=0.
С
С
Обозначим центры тяжести: полушара через С1, цилиндра – через
С2, конуса через С3. Для вычисления уC воспользуемся формулой
x
x
,
C
kk
y
,
C
y
kk
z
, которая в данном случае имеет
C
z
kk
вид:
yyy
y
C
332211
где у1, у2, y3 – координаты центров тяжести полушара, цилиндра и
конуса, υ1, υ 2, υ 3 – соответственно объемы этих тел, общий объем V= υ 1+
υ 2+ υ 3.
71
Находим: для полушара I 3/2
4
3
73/RV
14
z
х
у
Рис. 70
z
х
у
13
х
у
z
, 83
1
3
R
1
/Ry
; для цилиндра II
32
RHr
2
, R/Hy 22
2
; для конуса III 3/23/
3
1
R,hHy 54
3
C
,
R)/(y
2857
. Таким образом положение центра тяжести С данного
твердого тела (рис. 67) определяется координатами хC=0, R)/(y
. Подставив эти значения получим
C
zC=0. Положение центра тяжести, точки С, показано на рис. 67.
Задачи
5.1 Найти координаты центра тяжести объема (рис. 68).
20
О
10
10
10
32
RhR
,
2857
,
25
30
20
30
20
20
Рис. 68
5.2 Найти координаты центра тяжести объема (рис. 69).
О
15
10
5
15
30
10
20
О
15
50
15
25
15
80
35
10
Рис. 69
72
25
5.3 Найти координаты центра тяжести объема (рис.70).
4. ДИНАМИКА
Динамика материальной точки
При всем разнообразии задач динамики материальной точки
выделяют две их категории:
– первая задача динамики – задачи, в которых задан закон движения
материальной точки и требуется найти действующие на нее силы;
– вторая (основная) задача динамики – задачи, в которых заданы
действующие на материальную точку силы, требуется определить закон
движения точки.
Задачи I типа
Указание 1. Выбрать систему координат, начало которой, как
правило, совместить с известным по условиям задачи положением точки,
которое она занимала в какой-то момент времени (этот момент времени
обычно принимается за нулевой). Направление осей следует выбрать
наиболее удобным для дальнейшего проецирования на них векторов сил,
скоростей, ускорений.
Указание 2. Записать в выбранной системе координат и отсчета
времени начальные условия движения точки.
Указание 3. Изобразить движущуюся точку в произвольном
положении (как правило, в таком, чтобы ее координаты были
положительными, а скорость – направленной от начала движения).
Указание 4. Изобразить на рисунке все приложенные к точке
активные силы и реакции связей.
Указание 5. Составить дифференциальные уравнения движения
73
материальной точки.
Указание 6. В зависимости от исходных данных кинематических
параметров проинтегрировать дифференциальные уравнения движения. При
интегрировании с помощью неопределенных интегралов постоянные
интегрирования определить по начальным условиям задачи; при взятии
определенных интегралов в соответствующих пределах указать параметры
начальных условий.
Указание 7. Определить искомые величины проекций сил,
воспользовавшись полученным уравнениями.
Задачи
1.1 Поезд общей массой 400т движется по прямолинейному
горизонтальному участку пути, и имеет в начальный момент торможения
скорость υ0 = 54 км/ч. Определить силу торможения (считая ее
постоянной), если длина тормозного пути равна s = 100 м.
Задачи II типа
Указание 1. Выбрать систему координат, начало которой, как
правило, совместить с известным по условиям задачи положением точки,
которое она занимала в какой-то момент времени (этот момент времени
обычно принимается за нулевой). Направление осей следует выбрать
наиболее удобным для дальнейшего проецирования на них векторов сил,
скоростей, ускорений.
Указание 2. Записать в выбранной системе координат и отсчета
времени начальные условия движения точки.
Указание 3. Изобразить движущуюся точку в произвольном
положении (как правило, в таком, чтобы ее координаты были
положительными, а скорость – направленной от начала движения).
Указание 4. Изобразить на рисунке все приложенные к точке
74
активные силы и реакции связей.
Указание 5. Составить дифференциальные уравнения движения
материальной точки (при этом все переменные силы выразить через
величины, от которых эти силы зависят).
Указание 6. Проинтегрировать дифференциальные уравнения
движения. При решении с помощью неопределенных интегралов
постоянные интегрирования определить по начальным условиям задачи.
Удобнее решение выполнить путем взятия определенных интегралов в
соответствующих пределах (в которых участвуют параметры начальных
условий).
Указание 7. Определить искомые величины, воспользовавшись
полученным уравнением движения точки.
Пример II.1. Материальной тело массой m=2кг
падает на поверхность земли с высоты H=200м (рис.
71). Пренебрегая размерами тела определить скорость
и высоту через две секунды после начала движения.
ìÍ 200
Решение. Пренебрегая размерами тела, будем
считать его материальной точкой.
Выбираем систему координат, начало которой
Рис. 71
совмещаем с первоначальным положением тела. Ось y направим
вертикально вниз, ось x-вправо (рис. 72). В выбранной системе отсчета
начальные условия движения точки примут следующие значения с учетом
начальной скорости равной нулю
ct 0
, мy 0)0(
, мх 0)0(
, сму
у
/0)0()0(
, смх
х
/0)0()0(
.
Изображаем движущуюся точку в произвольном положении и
показываем активные силы и реакции связей, действующие на точку, в
частности показываем силу тяжести G(рис. 72).
Составляем дифференциальные уравнения движения материальной
точки
75
2
dt
dt
2
2
2
x
y
т
m
dt
dt
xd
2
2
yd
2
Разделяем переменные и интегрируем дважды с учетом х
dу
у
у
, получим
n
Fxm
xi
i
1
n
Fym
i
1
yi
2
т
m
dt
dt
xd
xm
2
2
yd
2
0
mgGym
2
xd
x
2
dt
2
yd
2
dt
0
.
gy
dх
х
,
dx
d
dt
dy
d
dt
dx
dt
dy
dt
x
y
x
y
C
1
dtCdx
1
2
dtd
0
gdtd
Cgt
2
dtCgtdy
dx
d
dt
dy
d
dt
2
t
gy
x
y
dtCdx
1
dtCgtdy
2
DtCx
11
2
Постоянные С1, С2, D1, D2 определяем по
начальным условиям, в частности при t=0с
)0(
x
y
C
1
0)0(
Cg
2
0CgC
1
00
C
1
C
2
2
DtC
0
22
.
0
dtd
0
gdtd
и
0
G
мН 200
Рис. 72
0)0(
)0(
DCx
11
2
0
0
DCgy
2
22
)0(
Тогда уравнения движения примут вид gt
0)0(
DCx
11
2
0
00
Dgy
2
ó
2
,
D
D
1
0
2
gy .
0
.
2
t
Скорость и высота тела через две секунды после начала движения
22
смgt
у
/20210)2(
, .180
)2()2(
t
gHyHh
2
10200
м
Задачи
2.1 Тело массой т=3 кг движется по горизонтальной гладкой
поверхности вдоль оси х под действием силы, проекция которой зависит от
76
времени, и равна F
=6πcos(2t). В начальный момент х0 = 0 и проекция
X
скорости υx0 = 2 м/с. Определить значение координаты х тела и скорости в
момент t = 0,5π с.
2.2 Материальная точка массой т = 2 кг движется из состояния
покоя по горизонтальной гладкой поверхности вдоль оси х под действием
силы, проекция которой равна FX = 3(1–0,5t). Определить скорость и
координату точки в тот момент времени, когда сила станет равной нулю.
Начальную координату точки считать нулевой.
2.3 Материальная точка массой т = 2 кг движется из состояния
покоя по горизонтальной гладкой поверхности вдоль оси х под действием
силы, проекция которой равна FX = 3(1–0,5t). Определить максимальное
значение координаты х тела и путь, пройденный точкой за время t = 6 с.
Начальную координату точки считать нулевой.
2.4 По шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол а =
30° с горизонтом, опускается без начальной скорости тело. Определить, в
течение какого времени тело опустится на высоту h = 10 м по вертикали,
если коэффициент трения скольжения f = 0,1.
2.5 На тело массой т, движущееся по горизонтальной гладкой
поверхности вдоль оси х, действует сила, проекция которой равна Fx =
0,2mх. В начальный момент тело находилось в покое в точке х0 = 1 м.
Определить скорость тела в момент, когда координата станет равной х =
5м.
2.6 Сила тяги винтов вертолета массой т при его вертикальном
подъеме из состояния покоя в 1,5 раза превышает его вес. Сопротивление
воздуха пропорционально скорости
mR 7,0 . Определить скорость
подъема в момент t = 5 с, а также максимальную скорость вертолета.
77
Динамика механической системы (твердого тела)
При всем разнообразии задач динамики материальной
механической системы (твердого тела) выделяют две их категории:
– первая задача динамики – задачи, в которых требуется найти
действующие на механическую систему силы по заданным
кинематическим параметрам;
– вторая (основная) задача динамики – задачи, в которых, зная
действующие на механическую систему (твердое тело) силы, требуется
определить кинематические параметры движения.
Задачи I типа
Указание 1. Выбрать систему отсчета, оси системы координат и
нулевой момент отсчета времени, который как правило, совместить с
известным по условиям задачи положением твердого тела (механической
системы), для которого известны кинематические характеристики
движения. Направление осей следует выбрать наиболее удобным для
дальнейшей проецирования на них векторов сил и моментов.
Указание 2. Записать в выбранной системе отсчета начальные условия
движения твердого тела (механической системы).
Указание 3. Изобразить твердое тело (механическую систему) в
произвольном положении.
Указание 4. Изобразить на рисунке все приложенные к точке
активные силы и реакции связей, моменты сил.
Указание 5. Составить дифференциальные уравнения движения
твердого тела (механической системы).
Указание 6. Проинтегрировать дифференциальные уравнения
движения. При решении с помощью неопределенных интегралов
постоянные интегрирования определить по начальным условиям задачи.
78
Удобнее решение выполнить путем взятия определенных интегралов в
dt
соответствующих пределах (в которых участвуют параметры начальных
условий).
Указание 7. Определить искомые величины, воспользовавшись
полученным уравнением движения тела (механической системы).
Пример I.1. Маховик с моментом инерции относительно оси
вращения
скоростью срад /20
40 мкгJ
l
0
сопротивления, момент которых мНМ
2
, вращавшийся с угловой
, начинает тормозится силами
С
20 .
Определить угловую скорость и угол поворота
маховика через четыре секунды после приложения
момента. (рис. 73).
Решение. Для определения параметров движения
применим теорему моментов для механической
системы, т.к. маховик – твердое тело (механическая
система), совершающее вращательное движение вокруг
оси z. Уравнение, выражающее теорему с учетом вида
движения, примет вид
z
0
Ì
Ñ
Рис. 73
0
e
MК
zz
С учетом исходных данных дифференциальное уравнение
вращательного движения
d
J
M
Cz
(знак минус перед МС учитывает противоположное направление момента
направлению вращения), тогда
d
dt
M
C
J
z
Разделяем переменные и интегрируем, получим в общем виде
зависимость изменения угловой скорости с течением времени
79
M
dt
C
d
dt
d
J
z
M
C
dt
J
z
M
C
Ct
J
z
.
Представив
d
, разделив переменные и проинтегрировав,
получим закон движения шкива в общем виде
d
dt
M
C
J
z
M
C
J
z
2
DCtt
Ct
.
M
C
d
J
z
dtCt
d
M
C
J
z
dtCt
Постоянные С, D определяем по начальным условиям (момент
времени приложения момента сопротивления МС), в частности при t=0с
, 00
0
, тогда
С , 00D .
0
Уравнения движения маховика примут вид
M
C
t
, tt
J
z
0
M
2
C
.
J
z
0
Угловая скорость и угол поворота через четыре секунды после
приложения момента сопротивления
M
M
C
J
C
J
z
z
2
)4(
)4(
20
0
40
4
20
0
40
2
2
срадt
/18204
,
.76420
радtt
Задачи
2.1 К валу, находившемуся в покое, прикладывается вращающий
момент М1 = 0,8Н.м. При этом возникают силы, момент которых
М2=5cos(πt). Момент инерции вала относительно оси вращения равен J =
0,1 кг.м2. Определить угловую скорость вала через 2,5с после начала
движения.
2.2 Платформа, находившаяся в покое, приводится во вращение
постоянным моментом М1=1800Н.м. При этом возникает момент сил
сопротивления М2 = 120ω. Радиус инерции платформы относительно оси
вращения равен ρ=1,5м, ее масса т = 500 кг. Определить угловую скорость платформы через 5с после начала движения
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]