Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания
.pdf
Федеральное агентство связи
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
(ГОУ ВПО «СибГУТИ»)
Б.Я.РЯБКО
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
ОСНОВАМ ТЕОРИИ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Рекомендовано УМО по образованию в области
телекоммуникаций в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки бакалавров и магистров
554000 Телекоммуникации
Новосибирск 2010
УДК 519.21
Д.т.н. проф. Рябко Б.Я. Сборник задач по теории вероятностей и основам
теории массового обслуживания. 2010, с. 77.
Программы технических и экономических предметов, изучаемых в СибГУТИ, и
научные исследования, проводимые на кафедрах, наложили определенный
отпечаток на преподавание теории вероятностей, теории случайных процессов
и теории массового обслуживания. Эти особенности нашли отражение в курсах,
читаемых в СибГУТИ и привели к необходимости создания сборника задач,
который соответствовал бы учебным программам.
Кафедра прикладной математики и кибернетики
Рисунков – 13, таблиц – 7.
Рецензенты: В.И.Дубинин, И.Л.Елисеенко
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве сборника
задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания.
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2010 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................................................................................... 4
1 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ . ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ И ОТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ .............................................................................................................................................. 5
2 КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ, НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТОВ В
МНОЖЕСТВАХ КОМБИНАТОРНЫМИ МЕТОДАМИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ .................... 10
3 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ
НАСТУПЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ .............................. 14
4 ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА .......................................................................................... 17
5 СХЕМА БЕРНУЛЛИ ............................................................................................................................................. 21
6 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ .................................................................................... 23
7 ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ..................................................................................................... 26
8 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН......................................................................................................................................... 35
9 ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА (ДИСКРЕТНОЕ ВРЕМЯ)......................................................................... 44
10 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ .............................................................................................................................. 47
11 ВАЖНЕЙШИЕ ПРОЦЕССЫ, МОДЕЛИРУЮЩИЕ ПОТОКИ СОБЫТИЙ .................................................... 52
12 ПРЕДЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ ...................................................................... 54
13 ВАЖНЕЙШИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ, МОДЕЛИРУЕМЫЕ МАРКОВСКИМИ
ПРОЦЕССАМИ .......................................................................................................................................................... 59
ОТВЕТЫ ................................................................................................ ................................................................ ...... 64
ПРИЛОЖЕНИЕ .......................................................................................................................................................... 75
3
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория вероятностей и тесно связанные с ней математическая статистика
и теория случайных процессов находят самое широкое применение в
телекоммуникациях, информатике и экономике. Поэтому теория вероятностей
изучается практически на всех факультетах СибГУТИ, хотя, естественно,
читаемые разным специальностям курсы отличаются своим содержанием.
Сборник задач охватывает темы, изучаемые во всех курсах теории
вероятностей, читаемых в СибГУТИ и поэтому может использоваться на всех
факультетах.
Данный сборник формировался автором в течение многих лет и
базируется на ранее опубликованных изданиях:
1. Рябко Б.Я. Методические указания «Марковские процессы», НЭИС, 1988.
2. Рябко Б.Я., Суздальницкий И.Д. Методические указания и задачи к
практическим занятиям по теории вероятностей. НЭИС, 1991.
3. Рябко Б.Я., Суздальницкий И.Д. Методические указания и задачи к
практическим занятиям по теории вероятностей; Часть 2: Случайные
процессы, НЭИС, 1994.
При этом из двух последних работ в данный сборник включены только
разделы, написанные лично автором данного пособия.
В заключении я хотел бы выразить благодарность профессору И.Д.
Суздальницкому, много лет назад инициировавшему написание данного
сборника, и доценту О.А.Ахметову, потратившему много времени и сил на
редактирование данного издания.
Рябко Б.Я.
5
,,
21
n
i
i
A
n
AAA
1
21
n
i
i
A
n
AAA
1
21
niA
i
,,1,
n
AA ,,
1
A
n
AA ,,
1
n
AA ,,
1
n
AAA
21
1 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ . ОПЕРАЦИИ
НАД СОБЫТИЯМИ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ
В теории вероятностей исследуются случайные события, которые могут
происходить в результате проведения некоторых экспериментов (опытов) или
испытаний. Под множеством элементарных исходов, связанным с данными
экспериментом, понимается множество взаимоисключающих друг друга
исходов. Множество элементарных исходов обозначают , а его элементы
События, которые могут произойти в результате эксперимента представляют
в виде подмножеств и обычно обозначают большими латинскими буквами.
Говорят, что некоторое событие А произошло (наступило) при проведении
эксперимента, если результат эксперимента – элементарный исход ,
принадлежащий подмножеству, соответствующему А.
Среди всех событий выделяют достоверное и невозможное, обозначаемое
через и , соответственно. Достоверное событие происходит всегда при
проведении эксперимента, а невозможное – никогда не происходит.
Достоверному событию соответствует все , невозможному – пустое
множество.
Суммой событий А и В, обозначаемой A+B, называют событие, которое
наступает тогда, когда происходит или событие А, или В , или оба вместе). На
языке теории множеств сумме событий соответствует объединение
подмножеств. Аналогично определяется сумма нескольких событий:
происходит тогда, когда наступает хотя бы одно из Аi.
Произведением событий А и В называется событие, обозначаемое АВ,
происходящее тогда, когда наступают А и В. Событию АВ соответствует
подмножество , состоящее из элементарных исходов, принадлежащих
подмножествам и А и В. Аналогично, событие
тогда, когда наступают все
. Произведению событий
происходит
соответствует пересечение подмножеств.
Противоположное событие к событию А, обозначаемое A, наступает тогда,
когда А не происходит. Событие A состоит из элементов , не входящих в А.
называют также отрицанием А или дополнением А.
События А и В несовместимы, если не могут произойти вместе при одном
испытании. Подмножества, соответствующие А и В, не имеют общих
элементарных исходов.
События
попарно несовместны, если любые два из них
несовместны.
Попарно несовместные события
если
.
образуют полную группу событий,
6
ЗАДАЧИ
ji,,,j;,,i,j,i 301301
CBF;АСЕ,АД
CAF;BAЕ;CBД
BA,CA,BA
1. Монета подбрасывается два раза. Описать пространство элементарных
исходов и события: А – первый раз выпал герб, В – один раз выпал герб, С –
выпал хотя бы один раз герб. Будут ли совместны А и В? В и С?
2. Студент выучил к экзамену первые 20 вопросов из 30. На экзамене задают
два случайно выбранных вопроса. Надо записать события : А – студенту
попались два выученных вопроса, В – студенту попался один выученный
вопрос, С – попадается хотя бы один выученный вопрос. Выразите С через А и
В. Указание:
.
3. Игральная кость подбрасывается два раза. Надо выписать пространство
элементарных исходов и события А={первый раз выпало четное число очков},
В – {произведение выпавших очков нечетно}, C –{сумма больше 10},
.
4. Монета подбрасывается до первого выпадения герба. Выписать пространство
элементарных исходов и события А={герб выпал при втором подбрасывании},
В={потребовалось не более трех подбрасываний}, С={потребовалось четное
число подбрасываний},
5. Образуют ли полную группу следующие группы событий:
а) Опыт – бросание монеты; события:
А1 – появление герба,
А2 – появление цифры.
б) Опыт – бросание двух монет; события:
В1 – появление двух гербов,
В2 – появление двух цифр.
в) Опыт – два выстрела по мишени, события:
С1 – ни одного попадания,
С2 – два попадания.
г) Опыт – два выстрела по мишени, события:
Д1 – хотя бы одно попадание,
Д2 – хотя бы один промах.
6. Для социологического исследования случайно выбирается одна семья с тремя
детьми. Рассматриваются события : А={первый ребенок мальчик}, D={первый
– мальчик, третий – девочка}, C={есть мальчик и девочка}. Надо выписать
пространство элементарных исходов и события А,В,С. Проверить, будут ли
совместны А и В, A и В. Описать словестно и в виде подмножеств события
7. В комнате общежития живут четыре студента. Они решили по жребию
разыграть два билета в театр. Для этого они приготовили четыре листочка
бумаги, два с буквой «Т», два с «Н» и поочередно случайно взяли по одной
бумажке. Надо выписать пространство элементарных исходов и события
А={билет достался первому и последнему студенту} B={билет достался
.
7
студенту, который берет листочек третьим}, C={билеты достанутся двум
BA,CA
1
3
2
2
4
3
1
2
4
3
1
3
4
2
1
последовательно берущим листочки студентам}. Найдите
Совместны ли А и В? А и С?.
8. Участок электрической цепи имеет вид, изображенный на рисунке. Разрыв
цепи, событие А, может произойти вследствие выхода из строя элементов 1,2,3
(соответственно, событий А1, А2, А3). Выразить событие А через А1, А2, А3.
Рисунок 1
9. Обозначим через Аi события (i=1,2,3,4) быть исправным для
соответствующего элемента электрической цепи. Выразить через Аi событие А,
состоящее в том, что по цепи идет ток.
а)
.
б)
в)
8
г)
2
4
3
1
BA.;BA.;BA.;BA.;BA 5432
BC;CA;BA
BA
CB;CA
AC,BA,BA
Рисунок 2
10. Проверяются три прибора. Пусть событие А заключается в том, что хотя бы
один из проверяемых приборов бракованный, событие В – все приборы
доброкачественные. Что означают события:
1.
?
11. Измеряются две величины. Ошибка измерения первой величины может
принимать значения из промежутка [0;5], а второй из промежутка [0;10].
Рассматриваются следующие события: A={ошибка измерения первой величина
не превышает 3}; В= {обе ошибки измерений превышают 2}; С= {разница
ошибок измерений не превышает 1}. Изобразить графически , А, В, С,
.
12. На отрезке длины 6 наудачу взяты две точки. Рассматриваются следующие
события: А={первая точка дальше середины отрезка}; В={обе точки
расположены дальше середины отрезка}; С= {расстояние между точками не
превышает 2}. Изобразить графически , А, В,
. Совместны ли А и В ?
13. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление
каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени Т=20 мин.
Рассматриваются следующие события:
А= {второй сигнал поступил до момента Т/2};
В={оба сигнала поступили после момента Т/4};
С= {моменты прихода сигналов отличаются не более, чем на 5 мин.}.
Изобразить графически А, В, С,
. Будут ли совместны А и В? A и В? В и С?
14. На круглом экране радиолокатора радиуса 20 см имеется точечное изображение
объекта, занимающее положение в пределах экрана. Рассматриваются следующие
события:
А ={расстояние от центра до изображения не превышает 10 см};
В = {изображение удалено от центра не менее, чем на 5 см}
С = {расстояние от центра до изображения не меньше 5 см, но не больше 15 см};
Изобразите , А, В, С,
.
15. Проверяется возраст супругов. Предполагая, что возраст супругов может быть от
16 до 150 лет, описать пространство элементарных событий и следующие события:
9
А - мужу больше 20 лет;
CBACBBA,CBA,CBA
BC
BA
CBCA
В - жене больше 20 лет;
С - муж старше жены;
Д - возраст супругов совпадает;
Е - возраст супругов отличается не более, чем на 2 года. Изобразить на плоскости
пространство и события А, В, С, Д, Е.
16. Что означают следующие события:
1. А +
2. А +
3. А + А
4. А
5. А
6. А А
17. А, В, С - произвольные события. Найти выражения для следующих событий:
а) произошло только А,
б) произошли А и В, но не произошло С,
в) произошли все три события,
г) произошло по крайней мере одно из них,
д) произошло по крайней мере два события,
е) произошло одного и только одно событие,
ж) произошли два и только два события,
з) не произошло ни одного события,
и) произошло не более двух событий.
18. Среди студентов, собравшихся на лекцию, наугад выбирают одного. Пусть
событие А состоит в том, что выбранный окажется юношей, событие В –
выбранный не курит и событие С – выбранный проживает в общежитии.
1. Описать события:
.
2. При каком условии будет иметь место равенство АВС= В ?
3. Когда будут справедливо соотношение
?
19. Равны ли события А и В, если:
1.
2. А+С=В+С
3.
20. Производится наблюдение за четырьмя однородными объектами. Каждый из них за
время наблюдения может быть обнаружен или нет. Рассматриваются события:
А - обнаружен ровно один объект из 4-х,
В - обнаружен хотя бы один объект,
С - обнаружено не менее двух объектов,
Д - обнаружены два объекта,
J - обнаружено равно три объекта,
F - обнаружены все четыре объекта.
Указать, в чем состоят события: а) А+В, б) А В, в) В+С, г) ВС, д) Д+F+E, е) B F.
10
2 КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ, НАХОЖДЕНИЕ
/AAP
A
/АAP
k
nnnN
21
k
n
A
1kn1nn
k
n
A
k
n
C
)!!,mm!m(
!kn!k
!n
k
n
C 110121здесь
ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТОВ В МНОЖЕСТВАХ КОМБИНАТОРНЫМИ
МЕТОДАМИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть множество элементарных исходов конечно и наступление всех исходов
при испытании равновозможно (или равновероятно). Тогда вероятность наступления
любого события может быть найдена по формуле
, (2.1)
где Р(А) - вероятность А,
X - число элементов во множестве X (или мощность X).
Равенство (2.1) часто называется «классическим» определением вероятности.
Рассмотрим другой случай – множество может быть представлено в виде
некоторой области в n-мерном пространстве (Rn), а
элементарные исходы – в виде точек Rn. Пусть – мера в Rn (длина в
случае, когда часть прямой R1, площадь, когда часть плоскости R2 и
т.д.).
Пусть при проведении испытания вероятность того, что наступит элементарный
исход из множества А, зависит только от меры
, но не зависит от местоположения
А в . Тогда вероятность каждого события А может быть найдена по формуле
(2.2)
Для вычисления вероятности по классическому определению (2.1) не обязательно
непосредственно выписывать и А, а достаточно только определить число элементов в
этих подмножествах. Для этого часто используются методы комбинаторики. Один
из них – метод или принцип умножения.
Пусть имеется k групп элементов, причем в первой содержится n1 различных
элементов, во второй – n2,..., в k-ой nk. Из каждой группы извлекают по одному
элементу и получают некоторую последовательность. Общее число различных
последовательностей N дается равенством
(2.3)
Рассмотрим теперь некоторое множество Z, состоящее из n
элементов. Выборка без возвращения объема k из множества Z
образуется следующим образом: сначала извлекается некоторый элемент
Z1 из Z, затем из оставшихся - некоторый Z2 и т.д., до Zn. Общее число
различных выборок (Z1 , Z2, ...,Zn) обозначается
и дается формулой
Подчеркнем, что две выборки, считаются различными, если они отличаются
составом или порядком элементов.
Число всевозможных выборок объема k из множества, состоящего из n элементов
и отличающихся только составом, обозначается через
(2.4)
и дается равенством
(2.5)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]