Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания
.pdf
31
15. Для некоторого баскетболиста вероятность попадания в корзину при броске из
3
-1 5 x
0,2
0,5
100
10
,x,
,x,xc
xP
DMP,,MP, 210MP
случаепротивномв,
x
,x
c
xP
0
1
5
случаепротивномв,
x,
x
ec
xP
0
1
случаепротивномв,
,x,xcosc
xP
0
22
центра площадки равна 0,2. Он решил бросать мяч до первого попадания. Сколько в
среднем бросков потребуется этому спортсмену? Какова вероятность того, что
потребуется три броска? Не более трех? Указание: Используйте геометрическое
распределение.
16. Дана функция распределения дискретной случайной величины. Построить для неё
ряд распределения.
Рисунок 4
17. Вероятность передать без искажений фотоснимок по некоторой линии связи равна
0,7 . В случае искажения снимок передается заново, и так до тех пор, пока он не будет
передан без искажений. Какова вероятность того, что снимок потребуется передавать
более трех раз? Каково среднее число передач одного снимка?
б) Непрерывные случайные величины
1. Дана плотность непрерывной случайной величины (с.в.).
Надо:
а) используя свойства плотности распределения, определить неизвестный параметр с;
б) найти функцию распределения F(x) с.в. ;
в) построить графики функций Р(х), F(x);
г) вычислить математическое ожидание М и дисперсию D ,
д) найти вероятности
2. Сделать то же, что в первой задаче для плотности
3. То же, что в первой задаче для плотности
4. То же, что в задаче №1 для плотности
.
5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной
функцией распределения
.
.
32
41
40
4
00
x,
x,
x
x,
xF
31
30
00
3
x,
x,xc
x,
xF
6. Случайная величина задана функцией распределения
Найти с, плотность распределения, математическое ожидание.
7. Годовое потребление угля некоторым предприятием зависит от климатических
условий года и является с.в. Из многолетних наблюдений известно, что эта с.в.
подчиняется нормальному закону распределения со средним, равным 300 тонн, и
стандартным отклонением, равным 5 тонн. В плановом отделе этого предприятия
решили, что если запасать 310 тонн угля, то с вероятностью 0,99 этого запаса хватит на
год. Правильно ли вычислили вероятность? Если неправильно, то определите, сколько
угля надо запасать для того, чтобы с вероятностью 0,99 его хватило на год.
8. Рост юноши в некоторой стране подчиняется нормальному распределению со
средним 180 см стандартным отклонением 10 см. В этой стране призывника берут в
гвардию, если его рост не меньше 200 см. Какова доля призывников, попадающих в
гвардию? Как надо изменить призывную инструкцию для того, что в гвардию призывать
10% новобранцев?
9. Из многолетнего опыта известно, что стоимость списываемого в течение года
оборудования на некотором предприятии является случайной величиной,
подчиняющейся нормальному распределению со средним 1200 руб. и стандартным
отклонением 200 руб. (в том случае, когда при списывании оборудования не происходит
нарушений). В вышестоящей организации составлена инструкция, согласно которой на
предприятие посылается ревизор, если стоимость списанного оборудования больше
1500 рублей. Какова вероятность послать ревизора на предприятие, на котором при
списывании оборудования не происходит нарушений? Как надо составить инструкцию
для того, чтобы эта вероятность была равна 0,05?
10. Расход бензина исправного автобуса определенной марки (на 100 км пути) является
случайной величиной, подчиняющейся нормальному распределению со средним,
равным 15 кг, и стандартным отклонением, равным 2 кг. На некоторой автобазе
составлена инструкция, согласно которой автобус отправляется в ремонт, если при
испытании он расходует более 20 кг бензина на 100 км пути. Найти вероятность
отправки в ремонт исправного автобуса. Как надо составить инструкцию для того, чтобы
эта вероятность была равна 0,01?
33
11. Время между прибытием кораблей в порт - случайная величина, подчиняющаяся
экспоненциальному распределению, причем в среднем оно равно 10 часам. Сегодня в
8.00 пришел корабль. Какова вероятность того, что до 24.00 больше не будет кораблей?
12. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами а = 1,5 и
= 10. Для этой случайной величины необходимо:
1. Написать выражения для плотности и функции распределения и построить их
графики.
2. Найти математическое ожидание и дисперсию.
3. Найти квантиль порядка 0,96 и медиану.
4. Провести интерпретацию квантиля и медианы на графиках плотности и функции
распределения.
13. Случайная величина имеет равномерное распределение на промежутке [-2;4]. Для
этой случайной величины необходимо:
1. Написать выражения для плотности и функции распределения и построить их
графики.
2. Найти математическое ожидание и дисперсию.
3. Найти квантиль порядка 0,98 и медиану.
4. Провести интерпретацию квантиля и медианы на графиках плотности и
функции распределения.
14. Диаметр вала является случайной величиной, имеющей равномерное распределение
на промежутке 98 -- 102 см. Диаметр отверстия равен 101 см. Найти математическое
ожидание и среднее квадратичное отклонение зазора между валом и отверстием, а также
вероятность того, что вал войдет в отверстие.
15. Шарики для подшипников считаются годными, если проходят через отверстие
диаметром 10, 1 мм и не проходят через отверстие диаметром 9,9 мм. Технология
изготовления шариков такова, что диаметр шарика можно считать случайной
величиной, имеющей нормальное распределение со средним значением 10 мм и
стандартным отклонением 0,1. Найти вероятность браковки наугад взятого шарика.
Каким должно быть стандартное отклонение, чтобы вероятность браковки шарика
была равна 0,005?
16. Известно, что вес деталей подчиняется нормальному закону распределения со
средним 10 кг и стандартным отклонением 250 г. Найти вероятность того, что вес
случайно отобранной детали будет
а) превышать среднее значение детали не более чем на 500 г;
б) отклоняться от среднего значения не более, чем на 500 г.
17. Завод выпускает детали, номинальная длина которых равна 20 см. Полагая величину
ошибки размера деталей случайной, подчиняющейся нормальному закону
распределения с нулевым средним, определить, каким должно быть среднее
квадратичное отклонение этой ошибки, чтобы длина наугад взятой детали с
вероятностью 0,95 была не менее 19,98 см , но не более 20,02.
18. Грузоподъемность самолета составляет (не считая веса пилота) 360 кг. Допустим, что
вес пассажира -- случайная величина, распределенная по нормальному закону со
34
средним весом 75 кг и стандартным отклонением 15 кг. Определить вероятность того,
31
311
10
2
x,
x,xa
x,
xF
01
0
a,ax,
axa,
a
x
arcsinBA
ax,
xF
22
a,a
x,
x
a
xP
2
1
xF
1xP
что самолет будет перегружен, если он берет на борт четырех пассажиров.
19. Известно, что время службы телевизора до первой поломки подчиняется
экспоненциальному (показательному) распределению, причем, в среднем оно составляет
0,5 года. Гарантийный срок работы телевизора 1 год. Какова вероятность того, что в
течение гарантийного срока поломок не будет? Какой гарантийный срок надо
установить для того, чтобы доля телевизоров, поступающих в гарантийный ремонт,
была бы 20%?
20. Известно, что время работы прибора (до замены) подчиняется экспоненциальному
распределению со средним 2 года. Найти вероятность того, что прибор проработает до
замены не менее 1,5 года.
21. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением
Найти коэффициент «а», вероятность попадания случайной величины в интервал (1,2) и
плотность распределения вероятностей. Построить графики функций.
22. Интегральная функция распределения случайной величины имеет вид
Известно, что для рассматриваемой случайной величины функция распределения
непрерывна. Надо найти значения А и В. Чему равна вероятность попадания случайной
величины в интервал
? Найти плотность распределения вероятностей этой
случайной величины.
23. Плотность распределения случайной величины имеет вид
24. Плотность распределения случайной величины имеет график
. Найти коэффициент а, функцию
и вероятность
.
35
0
-1
1
xF
2
3
1
x
xF
0xF
3x
31
30
00
3
xпри,
,xпри,xc
xпри,
xF
D
n
,,
1
nnn
x,,xPx,,xF
111
n
,,
1
22
1
211
1
1
nn
x,,xx,x,,xx
i
nn
ii
x,,xPxP
11
Рисунок 5
Написать аналитические выражения плотности и интегральной функции. Найти
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
25. Интегральная функция
при x > 3,
случайной величины имеет вид
при
. Найти плотность распределения
случайной величины и вероятность попадания ее в интервал (5,10).
26.
Найти: а) с; б) квантиль порядка 0.8 и медиану; в)
и
.
8 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ
ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Для n-мерной случайной величины
определяется равенством
Дискретная n-мерная случайная величина
В случае двумерной величины эти вероятности удобно представлять в виде таблицы
, n>1 функция распределения
(8.1)
, принимающая значения
может быть задана набором вероятностей
. (8.2)
36
1 /
2
Y1 Y2 …
Y
k
X1 P
11 P12
…
P
1k X2 P21 P22
…
P
2k
… …
Xm P
m1 Pm2
…
P
mk
Непрерывная n-мерная случайная величина может быть задана плотностью
n
n
n
n
xx
x,,xF
x,,xP
1
1
1 2
111
F
x x
x
nnn
n
dtdtt,,tPx,,x
21
,
1
n
x,,x
1
2
k
y,,y
1
11 k,m
k,,j;m,,i,y,xPP
jiji
11
21
,
k
j
ji
P
i
xP
i
P
1
1
m
i
jijj
PyPP
1
2
1
2
j
ji
j
ji
ji
P
P
yP
y,xP
y/xP
2
21
21
21
,
1
2
dxy,xPyP,dyy,xPxP
21
1
y
2
02yP
yP
y,xP
y
x
P
2
1
n
,,
21
n
x,,x,x
21
n
x
n
FxFxF
n
x,,x
n
,,
F
2
2
1
1
1
1
распределения
(8.3)
Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
(8.4)
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область D равна
интегралу от плотности по D.
Пусть
,
– значения
– двумерная случайная величина, причем
,
и пусть
принимает значения
Тогда для одномерных законов распределения справедливы формулы
Условный закон распределения случайной величины
при условии, что
(8.5)
равно
некоторому Yj , определяется равенством.
(8.6)
Для двумерной непрерывной случайной величины
случайных величин
и
Условная плотность распределения
определяется равенством
Случайные величины
выполняется равенство
Для дискретных случайных величин это равенство эквивалентно выполнению
соотношения
может быть найдена по формулам
при условии, что
(8.8)
независимы, если для всех
плотность вероятности
(8.7)
(и
),
(8.9)
37
n
x
n
PxPx
n
,,xP
1111
n
x
n
PxP
n
xx
n
P
1
1
,...,
1
,,
1
n
x,,x
1
n
,
1
22112121
cov
,K,
21
21
21
,K
,r
D
21
,K
21
,
21
1 1
21
min
j
jiji
Pyx,K
m,,i,x 11
k,,j,y;
j
11
2
21
,
2121
dxy,xxyP,K
n
,,
1
nmnn
n
n
kkk
kkk
kkk
K
21
22221
11211
nmnn
n
n
rrr
rrr
rrr
R
21
22221
11211
2121
,,,
RrKK
jiji
yx
i
xPyP
1
i
y
1
yxi
для непрерывных
(8.10)
(8.11)
при всех
.
Для двумерной случайной величины
равенством
а коэффициент корреляции равенством
где
Вычислить
- стандартное отклонение .
для дискретных случайных величин
где
Для непрерывных
- значения
справедлива формула
ковариация определяется
(8.12)
, (8.13)
можно по формулам
, (8.14)
- значения
.
(8.15)
Ковариационная матрица К для n случайных величин
определяется
соотношением
,
а корреляционная
Здесь
Пусть и – случайные величины, связанные соотношением
. Обе эти матрицы симметричны.
, где -
неслучайная функция. Если – дискретная случайная величина, то закон распределения
может быть найден из соотношения
, (8.16)
где
- множество значений xi , случайной величины таких, что
.
38
Если - непрерывная случайная величина, а - монотонная функция, то плотность и
y
dxxPyF,
dy
yd
yPyP
1
1
1
1
y
21
,
21
,
zy,x
ji
ji
PzF
zy,x
dydxy,xPzF
21
,
21
1
2
m
i
ikk
xz,xPzP
1
2i1
r,,k,z
k
1
dxxz,xPzP
,
21
1
2
2
2
2
21
2
1
2
2
2
21
2
12
1
12
1
bybyax
r
ax
r
exp
r
y,xP
r,,,b,a
21
r,r,D,D,b,a
21
2
22
2
1121
n
,,
1
n
,,
21
n
,,
1
nnn
ccca
222111
n
c,,c,a
1
функция распределения случайной величины
могут быть найдены по формулам
где
- функция, обратная . В общем область определения
участки монотонности и использовать аналогичные формулы.
В том случае, когда
, где
- двумерная величина, справедливы
равенства
соответственно, для дискретных и непрерывных
В важном частном случае
для дискретных случайных величин
(8.18)
(8.19)
.
справедливо соотношение
где
значения ; xi; i=1,…,m – значения . Для непрерывных случайных
, (8.20)
величин
, (8.17)
надо разбивать на
и
Плотность вероятности для системы двух нормальных случайных величин
(8.21)
и
(двумерного нормального распределения) задается равенством
где
- параметры, причем
, (8.22)
Задача о наилучшем линейном прогнозе
Пусть даны случайные величины
, , определенные на пространстве
элементарных исходов . Рассмотрим следующую задачу. Даны конкретные значения
случайных величин
, полученные в результате опыта, и требуется
предсказать значение случайной величины . При этом предсказанное значение, которое
обозначим через
, должно быть линейной функцией
, т.е.
можно
представить в виде
где
- постоянные величины.
, (8.23)
39
Оценка
n
c,,c,a
1
n
,,
1
n
i
niin
n
i
i
,Kc,K
,Kc,K
1
1
11
a
n
,,
1
,r
,
/
0
1
-1
0,10
0,15
0
0,15
0,25
1
0,20
0,15
xi 0
10
15
yi 7
14
25
Pi 2/5
1/5
2/5
Pi 1/2
1/6
1/3
21
,
1
2
также является случайной величиной, и коэффициенты
,
минимизирующие дисперсию
(при любых значениях
как решение системы уравнений
Причем
прогноз по части величины
(если система уравнений не имеет решения, то можно построить
). В случае n=1, т.е. прогноза по решение
системы уравнений выписывается явно и
1. Случайная точка
на плоскости распределена по следующему закону:
) могут быть найдены
может быть представлено в виде
(8.24)
ЗАДАЧИ
Найти: а) Законы распределения каждой компоненты и .
б) Числовые характеристики для (, ).
2. Случайные величины и являются дискретными и независимыми. Законы их
распределения даны в виде таблиц:
Составить закон их совместного распределения и найти его числовые характеристики.
3. По цели производится три независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при
каждом выстреле Р=0,7. Случайная величина есть число попаданий в цель, случайная
величина - число промахов. Составить таблицу распределения системы случайных
величин и вычислить числовые характеристики.
4. Рассматривается двумерная случайная величина
экзамене по математике в первом семестре,
известно, что в СибГУТИ ряд распределения таков:
, где
- оценка на
- во втором. Из многолетнего опыта
40
1 / 2
2 3 4
5
3
0,01
0,3
0,05
0,02
4
0,05
0,05
0,2
0,04
5
0,02
0,02
0,04
0,2
1. Построить ряд распределения
2121
,,
21
,r
),(
21
21
,r
81832
1
,,
3
1
3
2
2 / 1
0
50
75
0
0,1
0,05
0,025
50
0,05
0,4
0,05
75
0,025
0,05
0,25
436916
212121
,,,cov,D,D
21
32
21
,r
3642
42100
K
.
2. Найти
.
3. Известно, что оценка в первую сессию 5. Предскажите оценку во вторую сессию.
5. Игральную кость подбрасывают два раза. Рассматривают две случайных величины: 1
– число выпадений «единицы», 2 – число выпадений «шестерки». Построить ряд
распределения двумерной с.в.
6. Составить закон распределения суммы
принимает значения 0, 1, 3 с вероятностями
вероятностями
и
.
и найти
и определить ее среднее значение, если
.
и принимает значения 0,1 с
7. Из многолетнего опыта известно, что величина стипендии в некотором вузе в первом
семестре (1) и втором (2) – двумерная величина случайная, задаваемая совместным
рядом распределения.
Надо: 1. Определить средний размер стипендии, получаемой студентом на первом курсе.
2. Найти коэффициент корреляции.
8. Даны две случайные величины
и 2, такие, что
1
. Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины
и
.
9. Известно, что в некоторой стране рост и вес студента – случайная величина,
подчиняющаяся двумерному нормальному распределению, причем средний рост 175
см, средний вес – 70 кг. Матрица ковариации этих двух случайных величин такова:
.
Надо: 1. Найти коэффициент между ростом 1 и весом 2.
2. Написать выражение для плотности совместного распределения 1 и 2.
3. Известно, что рост студента 190 см. Предскажите его вес.
10. Доказать, что
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]