Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания
.pdf
51
По этому графу определить, какова интенсивность перехода лифта с первого этажа на
3324
,
,,itP
i
10
0
1
0
2
1
0,3
0,2
0,4
3
0,4
0,1
0,3
0,5
0
1
0
2
1
0,2
3
0,3
tt,t
tt 0
050,
tt,t
tt)( 02
0t
tt,t
tt 0
020,
tt,t
tt 0
10,
3-й? с 4-го на 3-й? Какова интенсивность выхода из 3-го состояния? Чему равно
?
3. Для систем, заданных графами на рисунке, надо составить систему
дифференциальных уравнений вида (1.7) для вероятностей
При этом
считать, что в начальный момент (t=0) система находится в нулевом состоянии.
а) б)
в) г)
Рисунок 9
4. Решить задачу 1.1 при условии, что даны не два запасных предохранителя, а один.
5. Прибор содержит две идентичных блока. Вероятность выхода блока из строя в
промежуток времени
равна
с
час-1. В комплекте поставки
содержится один запасной блок. Какова вероятность того, что прибор не выйдет из строя
в течение 20 часов работы, если перегоревший блок немедленно заменяется на
резервный?
Указание. Вероятность того, что один из двух блоков выйдет из строя в течение
времени
равна
при
.
6. В читальном зале имеются две используемые ртутные лампы и еще одна запасная.
Если одна из двух ламп перегорает, то она заменяется на запасную. В случае, если в зале
перегорают обе лампы (и нет запасной), зал закрывают. Какова вероятность того, что
читальный зал не закроют в течение 100 часов работы, если вероятность того, что
работающая лампа перегорит в интервале времени
равна
при
?
7. Для того чтобы перевезти 120 студентов на практику, заказали три 60-ти местных
автобуса. Известно, что на весь путь потребуется 5 часов и вероятность того, что автобус
выйдет из строя в интервале времени
равна
с
час-1. Какова
вероятность того, что все студенты будут привезены без задержек? (все автобусы едут в
52
колонне и в случае необходимости студенты могут пересаживаться из автобуса в
tt,t
tt 0
10,
tt,t
tt 0
tt,t
tt 0
ks,txP
tP
k
,,,k,e
!k
t
tP
t
k
k
210
txD,tx
tt
другие).
8. Некто собрался в поездку на легковой машине. Продолжительность пути - 10 часов.
Известно, что вероятность прокола в дороге колеса за время
равна
с
час-1 . Какова вероятность того, что во время поездки не придется заклеивать
камеру колеса, если в машине есть одно запасное колесо?
9. Пусть имеется система, состоящая из одного основного элемента и n тождественных
ему элементов, находящихся в резерве. Основной элемент находится под нагрузкой и в
промежутке времени
может выйти из строя с вероятностью
. В этом
случае основной элемент сразу заменяется на один из резервных. Система отказывает
тогда, когда выходят из строя все элементы - основной и n резервных. Найти
вероятность того, что система проработает время t.
10. Ливень космических частиц вызван попаданием в начальный момент времени в
атмосферу одной частицы. Определить вероятность того, что спустя время t будет n
частиц, если каждая частица в промежутке времени
с вероятностью
может вызвать возникновение новой частицы, имеющей практически ту же самую
вероятность «размножения».
11 ВАЖНЕЙШИЕ ПРОЦЕССЫ, МОДЕЛИРУЮЩИЕ ПОТОКИ
СОБЫТИЙ
Марковские процессы являются удобным аппаратом для описания так называемых
потоков событий, когда с течением времени происходят некоторые случайные события,
продолжительность наступления которых можно считать нулевой. Например,
последовательность вызовов, поступающих на телефонную станцию,
последовательность прихода студентов в столовую и т.п.
Обозначим через х(t,s) число наступлений события в интервале (t, s). Поток называется
стационарным, если вероятность
при всех k= 0,1,2,..., зависит только от
разности s-t. Для стационарных потоков обозначим через хt число наступлений события
х, за время t, а через
то поток называется простейшим, или пуассоновским, с параметром ; также
называют интенсивностью потока.
Для этого потока математическое ожидание и дисперсия для числа наступлений хt
даются равенствами
Рассмотрим теперь время между наступлением соседних событий в
простейшем потоке с параметром . Это время является случайной
величиной, которую обозначим через у. Для функции распределения
этой величины и плотности справедливы равенства
вероятность того, что хt =k. Если
(11.1)
(11.2)
53
001
x,exP
x
x
2
11
yD;y
ххх
ххх
х
0
01
1
1
0
tприe
!k
t
tP
tпри
!s
t
tF
t
k
k
s
s
2
k
zD,
k
z
(11.3)
(другими словами, она подчиняется экспоненциальному, или показательному
распределению с параметром ). Заметим, что для математического ожидания и
дисперсии справедливы формулы
(11.4)
Поток, образованный объединением двух простейших независимых потоков с
параметрами 1 и 2 также является простейшим с параметром 1 + 2 .
Важную роль при моделировании систем массового обслуживания играет поток
Эрланга. Поток Эрланга k-ro порядка получается из простейшего операцией
«просеивания», когда выбрасывают (k-1) подряд идущих событий, а оставляют только
k-oe. На рисунке приведен пример при k=3. (Кружками обведены точки, которые
оставляют).
Рисунок 10
Если через z обозначить случайную величину, равную времени между наступлением
двух соседних событий в потоке Эрланга, то плотность и функция распределения для
нее дается равенствами (11.5):
(11.5)
Математическое ожидание и дисперсия находится по формулам (11.6):
(11.6)
ЗАДАЧИ
1. Поток вызовов, поступающих на АТС, можно считать простейшим. Известно, что
время между двумя вызовами в среднем равно 10 сек. Какова вероятность того, что на
АТС не поступит ни одного вызова в течение 5 сек ?
2. Известно, что приход покупателей в некоторый магазин хорошо описывается
простейшим потоком. Установлено, что с вероятностью 1/2 в течение 1 минуты в
магазин не заходит ни одного покупателя. Какова вероятность того, что в течение двух
минут зайдет один покупатель ?
54
3. Поток кораблей, прибывающих в порт, можно приближенно считать простейшим.
t
t
Известно, что вероятности прихода одного корабля в сутки и двух кораблей в сутки,
равны. Чему равно среднее время между приходами двух кораблей?
4. Поток вызовов на станцию скорой помощи в ночное время можно считать
простейшим, причем в среднем за час поступает два вызова. Какова вероятность того,
что с 23.00 до 23.30 не поступит ни одного вызова?
5. Докажите формулы (11.6), используя определение процесса Эрланга k-ого порядка и
(11.4).
6. В микрорайоне два таксофона. Поток жителей, идущих к ним можно считать
простейшим с показателями =0,2 и =0,3 (час). Первый таксофон сломался, и все
жители стали ходить ко второму. Найти среднее время между двумя приходами к этому
таксофону.
7. Поток заявок на ремонт, поступающих в телемастерскую, можно считать
пуассоновским с параметром =2 (заявки в час). В мастерской работают два мастера,
которые договорились принимать заявки по очереди (если одну принял первой мастер,
то следующую - второй, затем - первый и т.д.). Известно, что первый мастер принял
заявку в 11.00. Какова вероятность того, что до 12.00 ему не придется принимать заявку?
8. Поток машин, следующих по шоссе в одном направлении, можно считать
пуассоновским с параметром =10 (машин в час). Некто выходит на дорогу, для того,
чтобы остановить первую попавшуюся машину, идущую в данном направлении. Какова
вероятность того, что ему придется ждать больше 12 минут? Чему равно среднее время
ожидания?
Указание. Плотность распределения времени ожидания такая же, как плотность
распределения промежутка между проходом двух машин, т.к. «будущее» в простейшем
потоке не зависит от прошлого, в частности от того, сколько времени тому назад прошла
последняя машина.
9. По шоссе движутся легковые машины, грузовые и автобусы. Потоки этих машин
можно считать простейшими, причем легковых машин в среднем проходит 10 в час,
грузовых -6, автобусов -1. Какое среднее время между проходом двух машин на этом
шоссе? Какова вероятность того, что в течение 6 минут по шоссе не пройдет ни одной
машины?
10. На диспетчерский пункт энергосистемы поступают сигналы с участков в среднем 4 в
час. В 75% случаев после поступления сигнала требуется вмешательство диспетчера в
производственный процесс. Какова вероятность того, что в течение часа диспетчеру не
придется вмешиваться в производственный процесс?
12 ПРЕДЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим некоторую систему с состояниями t=0,1,2,..., описываемую
марковским процессом. Неформально предельным или установившимся режимом для
системы называется случайный процесс, устанавливающийся в системе при
Если у системы есть состояния без выхода, то при
система оказывается в одном
.
55
из них; если же у системы нет состояний без выхода и общее состояний конечно, то для
tP
i
1,,1,0,lim
*
nitiP
t
i
P
*
i
P
i
tP
.1
**
2
*
1
n
PPP
0
1
2
n+1
n
1
2
3
01
2
n
n+1
ii
,
1
21
20
k
k
k
,,,i,P
i
210
1,/
/1
21110*0
*
1
1
21110
*
0
kPP
P
kkk
k
kk
вероятности
(нахождения в состоянии i в момент t ) существует предел:
где n – число состояний системы. Вероятности
, (12.1)
называются
предельными или стационарными. Для того, чтобы найти эти
вероятности, в системе уравнений для вероятностей состояний (см. 12.3)
приравнивают нулю части уравнений, т.е. производные
. Затем
решают полученную систему алгебраических уравнений вместе с
уравнением нормировки
Пример составления и
решения уравнений приведен в решении задачи 3.1.
Рассмотрим марковский процесс, описывающий систему с графом состояний
следующего вида:
Рисунок 11
Здесь число состояний может быть как конечным, так и счетным. Эти процессы
получили название «процессов гибели и размножения». В случае конечного числа
стационарные, или предельные вероятности существуют при любых значениях
параметров
вероятностей необходимо и достаточно выполнение следующего условия: ряд
Предельные вероятности
найдены по формулам
1. Поселковая телефонная станция (ТС) соединена одной телефонной линией с
райцентром. Если на ТС поступает требование на разговор с райцентром и линия
свободна, то происходит соединение запрашивающего абонента с ТС райцентра. Кроме
простых требований бывают срочные вызовы районных спецслужб (01, 02, 03). Если
поступает срочный вызов, а линия занята обычным разговор, то этом разговор
. В случае счетного числа состояний для существования этих
сходится.
( в случае, когда они существуют) могут быть
(12.2)
ЗАДАЧИ
56
прерывается и линия отдается срочному вызову. Известно, что поток обычных и
2
1
0
tP
0
tP
1
tP
2
tPtPtPtP
tPtPtP
tPtPtPtP
221022
011211
22110210
)(
*
2
*1*
0
,, PPP
0
*
22
*
11
*
021
PPP
0
*
01
*
121
PP
0
*
12
*
01
*
22
PPP
1
*
2
*
1
*
0
PPP
22
2
*
3
12122
21
*
1
12122
122
*
0
,,
PPP
222
/
1212221
/
,1,0,*iP
i
срочных разговоров простейшие с параметрами 1 и 2. Длительность обычных
разговоров подчиняется показательному распределению с параметром 1,
продолжительность срочных разговоров - показательному распределению с параметром
2. Надо найти долю времени, затрачиваемого на передачу по линии разговоров
обычных и срочных.
Решение. Введем три состояния:
0,1,2 - линия связи свободна, линия занята «обычным» разговором и занята срочным
разговором. Нарисуем граф переходов
Рисунок 12
Составим системы дифференциальных уравнений для вероятностей
,
(см. формулы 10.7).
(12.3)
Т.к. у графа на рисунке 12 конечное число состояний, то должны существовать
предельные вероятности
. Для их отыскания из системы (12.3) получаем
систему алгебраических уравнений, приравнивая к нулю значения производных и
добавляя условие нормировки:
Решая эту систему уравнений, легко находим:
,
Таким образом, получаем, что доля времени когда линия занята срочным разговором,
равна
«простым» разговором –
2. Для предыдущей задачи найдите вероятность того, что линия занята, при условии, что
срочные разговоры отсутствуют.
3. Для систем, приведенных на рисунке 13 надо найти предельные вероятности
.
.
57
4. Рассматривается работа вычислительной машины. Поток отказов (или поломок)
1
2
0
1
2
0
2
1
0
2
1
0
1
2
0
2
1
4
1
0
3
машины простейший с показателем . Время устранения поломки подчиняется
показательному распределению с параметром . Считая, что машина находится в
стационарном режиме, определить долю времени, затрачиваемого на её ремонт.
5. Некоторое устройство в процессе эксплуатации может выходить из строя, что
приводит к остановке производственного конвейера. Для того, чтобы уменьшить
простой, имеется еще одно, запасное устройство, идентичное первому. Если 1-е
устройство ломается, то его заменяют на резервное и начинают ремонтировать. Время
ремонта – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению с
параметром . Поток поломок можно считать простейшим с параметром . Считая, что
процесс находится в стационарном режиме, определить долю времени простоя
конвейера, вызванного поломкой обоих блоков. (В этом случае сначала ремонтируют
одно устройство и его устанавливают, затем сразу начинают ремонт второго).
6. В условиях задачи 5 для уменьшения простоев добавили еще одно устройство.
Определить долю времени простоев в этом случае.
а) б)
в) г)
д)
Рисунок 13
58
7. Рабочий ремонтирует два одинаковых станка-автомата. Поток поломок каждого
tP
n
tP
n
станка можно считать простейшим с параметром , время ремонта - случайная величина,
подчиняющаяся экспоненциальному распределению с параметром . Считая, что
процесс находится в стационарном режиме, определить долю времени, когда работают
оба станка (Р0), один станок (P1) и ни одного (Р2).
8. В часовой мастерской работают мастер и ученик. Если приходит клиент и мастер
свободен, то он обслуживает клиента, а если же мастер занят, то клиент поступает к
ученику. В случае, когда клиент приходит, а мастер и ученик заняты, клиент уходит.
Поток клиентов простейший с параметром . Время обслуживания клиентов и мастером
и учеником -случайная величина, подчиняющаяся показательному распределению с
параметрами 1 и 2, соответственно. Считая режим работы мастерской стационарным,
найти долю времени, когда мастер (Рм) и ученик (Ру) работают.
Указание. Введите 4 состояния системы: 0.0- мастер и ученик свободны, 1.0 - мастер
занят, ученик свободен, 0.1 - мастер свободен, ученик занят, 1.1 – оба заняты. Тогда Рм =
Р
+Р
1.0
9
. В институте два лифта, расположенных рядом. Студент, подходящий к лифту, либо
, Ру = Р
1.1
0.1
+ Р
1.1
.
вызывает свободный лифт, либо, если оба лифта заняты, идет пешком. Считая, что поток
студентов простейший с интенсивностью , а время, на которое занимает лифт студент
случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению с параметром
, определить долю времени, когда оба лифта свободны, считая, что режим работы
лифтов установившийся, т.е. стационарный.
10. (Задача-шутка). Каждый студент второго курса СибГУТИ в течение семестра
выполняет ряд заданий (домашние и расчетные работы, курсовые работы, подготовка к
коллоквиумам и т.п.). Поток заданий можно приближенно считать простейшим с
показателем =0,2 (штук в день), а время, затрачиваемое на выполнение задания, можно
считать случайной величиной, подчиняющейся экспоненциальному распределению.
Студент А затрачивает на выполнение одного задания, в среднем, один день, а студент В
- три дня. Через
обозначим вероятность того, что студент в момент t должен
выполнить п накопившихся заданий (n= 0,1,2,...). Определить: 1) существует ли для
вероятностей
предельные значения для студентов А и В; 2) объяснить качественно
полученные результаты; 3) найти предельную вероятность Р0 для того случая, когда она
существует.
Указание. Использовать формулу для суммы геометрической прогрессии.
11. В условиях задачи 10 определить, с какой скоростью надо выполнять задания
студенту для того, чтобы 90% внеучебного времени было свободно от выполнения
заданий.
Указание. Скорость выполнения заданий совпадает со значением параметра
показательного распределения.
12. В комнате учреждения работают три сотрудника, каждый из них пользуется
телефоном в среднем 1 раз в час, а средняя продолжительность одного разговора - 6
минут. Считая, что время разговора - случайная величина, подчиняющаяся
59
экспоненциальному распределению, а поток звонков - простейший - определить долю
tP
n
sn
tPtPtP
100
sn1
11
tPntPtPntP
nnnn
sn,tPstPtPstP
nnnn
11
s
sn
s
ss
k
n
P
s
s
k
n
n
n
0,
1!
/
!
/
!//
1
0
*
sn
s
ss
k
s
P
s
s
k
n
sn
s
n
,
1!
/
!
/
/s!/
1
0
*
s/
s
0*n
n
Pnn
времени, в течение которого занят телефон.
13 ВАЖНЕЙШИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ,
МОДЕЛИРУЕМЫЕ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
Рассмотрим систему, состоящую из s одинаковых обслуживающих приборов (s > 1).
Известно, что поток требований пуассоновский (простейший) с параметром , а время
обслуживания заявки одним прибором подчиняется экспоненциальному распределению
с параметром . Рассмотрим сначала систему с неограниченной очередью. Режим ее
работы описывается следующим образом: в том случае, когда в системе есть свободные
(не занятые обслуживанием) приборы, вновь поступившее требование немедленно
начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то поступающие требования
образуют очередь. Как только один из приборов освобождается, требование,
находящееся в голове очереди поступает к нему на обслуживание.
Обозначим через
вероятность того, что в момент времени t в системе находится n
требований (при
все требования обслуживаются, при n > s только n требований
обслуживаются, (n–s) находятся в очереди). Для этих вероятностей справедлива
следующая система дифференциальных уравнений
В том случае, когда
, у рассматриваемой системы существует предельный,
(13.1)
(13.2)
(13.3)
стационарный режим, для предельных вероятностей которого справедливы равенства:
(13.4)
(13.5)
Величина
часто называется суммарной загрузкой системы или полным
коэффициентом системы. Величина – интенсивность обслуживания одного прибора
- суммарная интенсивность обслуживания.
Для системы массового обслуживания представляют практический интерес
следующие характеристики:
1) Среднее число требований в системе
(13.6)
60
2) Среднее число требований в очереди
1
*
s-n
sn
n
P
s
n
n
Pn
0
*
s
n
n
Pns
0
*
s/
sP
s
s
n
P
s
s
s
s
ss
ss
*
0
2
1
*
0
2
1
1!
1!
1
*
0
P
s
!s
Ps
s
!ss
sP
ss
ss
2
0
2
0
1
1
1
*
0
P
1s
*
0
P
tPtPtP
100
sktPktPtPktP
kkkk
1,1
11
1
sks
PtPstP
sk
i
k
P
s
i
i
k
k
,,1,0,
!//
!//
0
*
(13.7)
3) Среднее число обслуживаемых требований
(13.8)
4) Среднее число свободных приборов
(13.9)
Для рассматриваемой системы с s приборами и суммарной загрузкой
справедливы соотношения:
где
определено в (11.4). Кроме того, для этой системы среднее время ожидания в
, (13.10)
очереди и среднее время пребывания в системе обслуживания можно вычислить
по формулам:
(
дано в (13.4)).
(13.11)
Другой важный случай – система массового обслуживания с отказами. Рассмотрим
систему с s (
) обслуживающими приборами. Пусть, как и раньше, на вход системы
поступает пуассоновский поток требований с параметром , время обслуживания заявки
одним прибором подчиняется экспоненциальному распределению с параметром . Если
обозначить через
, n=0,1,…, вероятность того, что в момент t в системе находятся n
требований, то для этих вероятностей справедливы уравнения
(13.12)
(t)
У этой системы обслуживания существуют стационарный режим и предельные
вероятности определяются формулами Эрланга:
(13.13)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]