Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Экономический факультет
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ
«СОЦИОЛОГИЯ», «МЕНЕДЖМЕНТ» И
«БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА»
Учебное пособие
Новосибирск
2020
УДК 519.22.(075.8)
ББК 22.172я73-4
С232
Авторы:
А. А. Горюшкин, Г. Д. Ковалёва, С. В. Бусыгин, А. В. Костин
Ответственный редактор
д-р экон. наук, проф. Г. М. Мкртчян
Рецензент
д-р экон. наук, доцент К. П. Глущенко
С232
Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям
«Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика» : учеб. пособие /
А. А. Горюшкин, Г. Д. Ковалёва, C. В. Бусыгин, А. В. Костин ; Новосиб. гос. ун-т. —
Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2020. — 102 с.
ISBN 978-5-4437-1021-1
Пособие содержит цикл задач по теории вероятностей, адаптированных к потребностям
направлений «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». При составлении
пособия были учтены требования к приобретению студентами навыков для решения
практических задач вероятностного характера в социологических, экономических и
управленческих исследованиях, а также для освоения последующих курсов «Математическая
статистика», «Эконометрия» у менеджеров и специалистов по бизнес-информатике, «Методы
прикладной статистики» у социологов.
В конце сборника приведено несколько полезных приложений: в приложении А для
удобства студентов авторы разместили информацию об основных распределениях случайных
величин, используемых в курсе; в приложении Б представлен список вопросов для подготовки
к устной и письменной частям экзамена; в приложениях В и Г представлены таблицы
стандартного нормального распределения и функции Лапласа соответственно.
Сборник задач может быть использован широким кругом студентов как основа для
изучения и практического применения методов теории вероятностей в научных и
практических исследованиях.
УДК 519.22.(075.8)
ББК 22.172я73-4
Рекомендовано к печати ЭФ НГУ (выписка из протокола № 2 от 13.01.2020 г.).
ISBN 978-5-4437-1021-1
© Новосибирский государственный
университет, 2020
© А. А. Горюшкин, Г. Д. Ковалёва,
С В. Бусыгин, А. В. Костин, 2020
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................................................. 4
1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ ...................................................................................................... 5
1.1. Опыт, событие .............................................................................................................................. 5
1.2. Операции над событиями ............................................................................................................ 8
1.3. Алгебра событий ........................................................................................................................ 10
1.4. Определение вероятности и формула сложения вероятностей ............................................. 11
1.5. Геометрическая вероятность .................................................................................................... 13
1.6. Классическая вероятность и комбинаторные схемы .............................................................. 15
1.7. Гипергеометрическое распределение ...................................................................................... 18
2. ВЕРОЯТНОСТИ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ .................................................................................. 21
2.1. Условная вероятность ................................................................................................................ 21
2.2. Формулы умножения вероятностей и независимость событий ............................................ 22
2.3. Независимость событий в совокупности ................................................................................. 24
2.4. Формула полной вероятности ................................................................................................... 26
2.5. Формула Байеса .......................................................................................................................... 29
3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ ....................................................................... 32
3.1. Распределение Бернулли и биномиальное распределение .................................................... 32
3.2. Распределение Пуассона ........................................................................................................... 34
4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ......................................................................... 37
4.1. Функция распределения и дискретные случайные величины ............................................... 37
4.2. Функция плотности и непрерывные случайные величины ................................................... 41
4.3. Преобразования случайных величин ....................................................................................... 49
5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............................................... 54
5.1. Математическое ожидание, дисперсия и другие характеристики ........................................ 54
5.2. Числовые характеристики основных распределений ............................................................. 59
6. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ........................................................................................... 70
7. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............................. 75
7.1. Вероятностные неравенства ...................................................................................................... 75
7.2. Закон больших чисел и центральная предельная теорема ..................................................... 76
8. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ............................................................................... 85
8.1. Функция распределения и функция плотности двумерной с.в. ............................................ 85
8.2. Ковариация и коэффициент корреляции ................................................................................. 89
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................................... 93
Приложение А. Основные распределения случайных величин ....................................................... 94
Приложение Б. Список вопросов для экзамена ............................................................................... 96
Приложение В. Таблица функции стандартного нормального распределения .............................. 99
Приложение Г. Таблица распределения функции Лапласа ........................................................... 101
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Представленный сборник задач предназначен для использования на практических
занятиях по теории вероятностей на отделениях «Менеджмент», «Социология» и «Бизнесинформатика» экономического факультета НГУ.
Основная цель пособия – расширить возможности студентов для самостоятельного
освоения дисциплины, помочь им в освоении практических навыков применения
вероятностных методов решения теоретических и практических задач в социологических
исследованиях, в области экономики, управления производством и бизнес-процессами, а
также подготовить базу для освоения следующего курса математической статистики.
Авторы постарались максимально приблизить предлагаемые задачи к реальным
наиболее распространенным задачам социологии, менеджмента и бизнес-информатики. Часть
упражнений сформированы с учетом потребностей освоения методики анализа данных на
последующих курсах, таких как, например, «Эконометрия» и «Методы прикладной
статистики».
Каждый раздел открывается краткой справочной информацией, содержащей основные
определения, формулы и теоремы, используемые при решении задач. К ряду типовых задач
приведены подробные решения.
Большинство задач снабжены ответами, некоторые – указаниями. Ответы размещены
сразу за формулировками задач. Такая структура сборника не помешает добросовестному
читателю обращаться к ответам только для самопроверки.
В приложениях для удобства студентов авторы разместили информацию об основных
распределениях случайных величин, используемых в курсе, а также таблицы стандартного
нормального распределения и функции Лапласа.
Авторы выражают благодарность О. И. Гулаковой за дельные советы и замечания,
которые способствовали улучшению изложения материала и устранению неточностей. Мы
также будем признательны читателям за обратную связь и предложения по улучшению
сборника.
5
1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
1.1. Опыт, событие
Общая схема работы со случайными экспериментами:
Случайным называется эксперимент, результат которого нельзя предсказать
заранее, иначе такой эксперимент называется детерминированным.
Пространство (множество) Ω элементарных исходов – это множество,
содержащее все возможные результаты эксперимента (исходы ω), из которых обязательно
происходит один и только один исход.
Пространство элементарных исходов Ω = {ω1, ω2, …} описывает случайный
эксперимент, а Ω = {ω}, состоящее из одного исхода, описывает детерминированный
эксперимент.
Количество элементарных исходов ωi в множестве Ω называется мощностью этого
множества и обозначается |Ω|.
Событие A – подмножество множества Ω, содержащее элементарные исходы из Ω,
удовлетворяющие некоторым условиям или ограничениям, связанным с решаемой задачей.
Если Ω состоит из N элементарных исходов – Ω = {ω1, ω2, …}, событие A – из M
элементарных исходов, и исходы равновозможные (вероятности исходов одинаковы и равны
), то вероятность события A равна отношению благоприятствующих ему
исходов ко всем исходам:
При решении задач этого параграфа требуется дать формализованное представление
эксперимента в виде модели и посчитать вероятность события.
1. Игральная кость подбрасывается дважды. Результат опыта – пара чисел: число очков,
выпавших в первый и второй раз. Событие A – {ни разу не выпало число очков, равное 6}.
Решение
Пространство элементарных исходов можно представить в виде множества,
содержащего пары чисел – число очков, выпавших при первом подбрасывании, и число очков,
выпавших при втором подбрасывании кости:
Ω = {ω1, ω2, …} = {(1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1), …, (6,6)},
или в более формализованном виде
Ω = {(i, j) | 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6}.
Здесь i – число очков в первом подбрасывании, j – число очков во втором подбрасывании.
Аналогично опишем событие А:
А = {(1,1), (1,2), …, (5,5)},
или в более формализованном виде
А = {(i, j) | 1 ≤ i ≤ 5, 1 ≤ j ≤ 5}.
6
Так как мощность |Ω| = 36, мощность |A| = 25, то вероятность осуществления события А
при наступлении элементарного исхода из Ω можно определить следующим образом:
,
т. е. отношение числа исходов, входящих в подмножество А, к числу всех исходов в Ω.
Наглядная интерпретация эксперимента приведена на рис. 1.1, где исходам множества Ω
соответствуют 36 клеток выделенного квадрата, а исходам подмножества А – 25 клеток
заштрихованного квадрата.
1 2 3 4 5 6
1
2
3 A
4
5
6
Рис. 1.1. Графическая интерпретация эксперимента
Ответ: Р(А) = 25/36.
2. Регистрируется брак новой супружеской пары. Жених и невеста могут иметь светлый,
темный и рыжий цвет волос. Событие A – {жених и невеста имеют один цвет волос}. Цвета
волос считать равновероятными.
Решение
Опишем пространство элементарных исходов и событие A:
или в формализованном виде:
пусть i – цвет волос жениха, j – цвет волос невесты, тогда
; ;
;
.
Вероятность осуществления события А при наступлении элементарного исхода из Ω
можно определить следующим образом:
Ответ: Р(А) = 1/3.
3. Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат – появление орла или
решки на верхней стороне монеты. Событие A – {орел выпал ровно один раз}.
Ответ: Р(А) = 3/8.
4. Респондента трижды с интервалом в пять лет опросили, нравится ли ему деревенская
жизнь, результат опроса – ответы: «да» и «нет». Событие A – {респондент не менее двух раз
дал утвердительный ответ}. Считать, что при каждом опросе ответы респондента случайны и
равновероятны.
Ответ: Р(А) = 4/8.
7
5. Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат – общее
число подбрасываний. Событие A – {герб выпал на третьем подбрасывании}. Искать
вероятность не нужно.
6. Вор совершает последовательность краж до тех пор, пока его не поймают. Событие
A – {вора поймали на пятой краже}, В – {вора поймали не ранее, чем на пятой краже}. Искать
вероятность не нужно.
7. В три пронумерованных ящика раскладываются три шара разного цвета: белый,
черный и красный. Наблюдаемый результат – номера ящиков, в которые попали эти шары.
Событие A – {первый ящик пустой}.
Решение
Пусть i, j, k – номера ящиков, куда упали белый, черный и красный шары. Количество
экспериментов исходов равно числу возможных комбинаций:
Учитывая, что у каждого шара три возможности упасть в ящик, получаем, что всего
вариантов их распределения по ящикам будет равно
.
В условиях события А каждый шар может попасть только в один из двух ящиков: либо
во второй, либо в третий ящик и, следовательно, получаем
.
Вероятность события А равна
Ответ: Р(А) = 8/27.
8. Семь человек выбирают председателя акционерного общества из трех кандидатур.
Событие A – {все проголосовали за одну из кандидатур}. Считать, что каждый акционер может
с равной вероятностью выбрать любого кандидата.
Ответ: Р(А) = 1/729.
9. Гвоздь вбивается в случайную точку в доске размера 10×50 см. Событие A – {гвоздь
находится не далее трех сантиметров от ближайшего края доски}.
Решение
Рассмотрим событие, противоположное событию A:
Формальная запись следующая: пусть i – ширина
доски, j – длина доски, тогда
На рис. 1.2 изображена графическая
интерпретация этих множеств.
Рис. 1.2. Графическая
интерпретация эксперимента
Получаем вероятность искомого события:
Ответ: Р(А) = 0,648.
8
10. Зарплаты мужа и жены находятся в интервале от 1 до 10 тыс. рублей. Событие A –
{семейные доходы составляют свыше 7 тыс. руб.}. Считать, что доходы мужа и жены
независимы и распределены равномерно на указанном интервале.
Ответ: Р(А) = 137/162.
11. Опрашивается 100 человек, результаты опроса – данные об их ежемесячных доходах.
Событие A – {средний доход больше 2 тыс. руб.}. Искать вероятность не нужно.
Решение
Наш эксперимент – это опрос 100 случайных прохожих об их доходах, поэтому
результатами эксперимента (исходами ω) следует считать набор (вектор) из ста чисел,
отражающих доходы прохожих. Соответственно, Ω можно записать следующим образом:
.
В событие А входят те исходы (вектора из 100 чисел) из Ω, для которых среднее
арифметическое будет больше 2 тыс. руб. Тогда событие A можно описать так:
Ответ: см. решение.
1.2. Операции над событиями
Операции над событиями имеют тот же смысл, что и операции над множествами.
1. Объединение (сумма) событий A или B ( или ) – это событие, которое
происходит, если произошло или событие A, или событие B, или оба события произошли
одновременно. Это означает, что в результате эксперимента реализовался элементарный
исход из соответствующего множества А, или множества В, или находящийся в обоих
множествах одновременно (рис. 1.3, а).
2. Пересечение (произведение) событий A или B ( или AB) – это событие,
которое происходит, если одновременно произошло и событие A, и событие B. Т. е.
пересечение включает множество элементарных исходов, содержащихся как в событии A,
так и в B (рис. 1.3, б).
3. Дополнение события B до A ( или – разность событий A и B) – это
событие, состоящее в том, что произошло A, но не произошло B. Иначе – это множество,
содержащее элементарные исходы A, не содержащиеся в B (рис. 1.3, в).
4. Противоположное событие – это событие, означающее, что A не
произошло. Иначе – это дополнение A до Ω – множество элементарных исходов без
множества A (рис. 1.3, г).
1.3, а
1.3, б
1.3, в
1.3, г
Рис. 1.3. Операции над событиями
Ω
A
B
Ω
A
B
Ω
A
B
Ω
A
9
Достоверное событие – событие, которое обязательно происходит, т. е. содержит
все элементарные исходы (например, Ω).
Невозможное событие – событие, которое никогда не происходит, т. е. не содержит
элементарных исходов. Такое событие принято обозначать Ø – «пустое множество».
Несовместными называют события A и B, пересечение которых дает пустое
множество: .
Попарно несовместные события – это события, для которых
имеет место .
Говорят, что событие A влечет событие B ( ), если множество A является
подмножеством множества B. Если при этом B влечет A, то можно сказать, что события
A и B – тождественны.
Для действий над событиями справедливы соотношения теории множеств:
1) Принцип дистрибутивности:
2) Принцип двойственности:
12. В фирме 100 рядовых сотрудников, из которых 70 обладают чувством юмора
(свойство A), 50 – любят музыку (свойство B), 40 – с удовольствием читают детективы
(свойство C), свойствами A и В одновременно обладают 30, B и C – 30, A и C – 20, всеми тремя
свойствами – 10 человек. К менеджеру по кадрам обратился один из сотрудников, события A,
B и C состоят соответственно в том, что он обладает свойствами A, B и C. Найти выражения и
вероятности событий того, что этот сотрудник:
а) веселый любитель музыки;
б) «юморист», но не любит музыку;
в) любит музыку или юмор, а может быть и то и другое;
г) не любит ни музыки, ни юмора;
д) не обладает хотя бы одним из свойств A или B;
е) имеет хотя бы одно из свойств A, B и C;
ж) полный зануда – юмор, музыка и детективы его не волнуют;
з) читает детективы, а музыка и юмор его не трогают;
и) у него есть только одно из указанных свойств.
Ответ: а) 0,3; б) 0,4; в) 0,9; г) 0,1; д) 0,7; е) 0,9; ж) 0,1; з) 0; и) 0,3.
13. Пусть A, B и C – произвольные события. Найти выражение для событий, состоящих
в том, что из A, B и C:
а) произошло не более двух событий;
б) произошло два и только два события;
в) произошло хотя бы два события;
г) ни одно событие не произошло;
д) произошло одно и только одно из этих событий;
е) произошло хотя бы одно из этих событий.
14. Доказать, что для любого конечного набора событий
справедливо
следующее равенство:
10
15. Доказать, что для любого конечного набора событий
справедливо
следующее равенство:
16. Доказать, что для любого конечного набора событий справедливо
следующее равенство:
17. Доказать, что для любого конечного набора событий справедливо
следующее равенство:
1.3. Алгебра событий
Сигма-алгебра (σ-алгебра) событий – это множество , элементами которого
являются подмножества множества Ω (не обязательно все), удовлетворяющее следующим
условиям:
1) (сигма-алгебра содержит достоверное событие);
2) если , то (вместе с любым множеством сигма-алгебра содержит
противоположное к нему);
3) если , то (вместе с любым счетным или конечным
набором событий сигма-алгебра содержит их объединение).
Если количество элементов во множестве конечно, то сигма-алгебру называют
алгеброй.
18. Рассматриваем некоторый эксперимент, результаты эксперимента образуют
пространство элементарных исходов Ω. Опишите сигма-алгебру:
а) минимальную (по количеству элементов множества);
б) порожденную некоторым событием А;
в) порожденную событиями А и B.
Решение
а) По определению сигма-алгебра обязательно содержит достоверное событие и
противоположное к нему:
б) Сигма-алгебра, порожденная событием А, содержит достоверное событие, пустое
множество, событие А, событие, противоположное событию А. Объединение любой
комбинации этих событий (условие 3 из определения) дает нам уже имеющиеся события.
Таким образом, сигма-алгебру можно записать так:
в) По аналогии с предыдущим пунктом, сигма-алгебра будет содержать события Ω, A и
B, а также противоположные к ним. В сигма-алгебре будут находится объединения этих
событий и их отрицания. Объединения этих объединений и отрицаний совпадут с уже
перечисленными событиями (проверить!). Получаем следующую сигма-алгебру:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]