Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
61
Таким образом, очевидно, что новая с.в. имеет равномерное распределение
на отрезке [7;13]. Функция плотности запишется:
Математическое ожидание и дисперсия равны:
Можно было посчитать эти характеристики, используя свойства мат. ожидания и
дисперсии и значения этих характеристик для ξ.
Ответ:
;
; , .
187. Случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [4;8]. Построить
аналитически функцию распределения, функцию плотности, а также найти математическое
ожидание и дисперсию для с.в. .
Ответ:
;
; , .
188. (Продолжение задачи 159). Случайная величина ξ равномерно распределена на
отрезке [0;1]. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин:
а) , б) ,
в) , г)
.
Решение
а) Для вычисления математического ожидания и дисперсии с.в.
нам понадобится
функция плотности, найденная нами ранее в задаче 159(а):
По определению мат. ожидания непрерывной с.в. получаем:
62
Для нахождения дисперсии по основному свойству дисперсии найдем второй начальный
момент:
.
Наконец, дисперсия равна:
б) Для вычисления математического ожидания и дисперсии с.в. также
воспользуемся функцией плотности, найденной ранее в задаче 159(б):
Найдем мат. ожидание и дисперсию:
Способ 1. Воспользуемся Гамма-функцией Эйлера для целых чисел:
Тогда
Здесь один минус вынесли за знак интеграла, второй – поменял местами пределы
интегрирования и их знаки.
Здесь минус у дифференциала поменял местами пределы интегрирования и их знаки.
Способ 2. При вычислении интеграла будем пользоваться интегрированием по частям:
если функции u и v непрерывно дифференцируемы на всей области интегрирования, то
и правилом Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших
величин равен пределу отношения их производных, если этот предел существует:
Получаем математическое ожидание:
63
Дисперсия по определению:
Пункты (в) и (г) предлагается выполнить самостоятельно.
Ответ: а)
,
; б) , ;
в) , ; г)
,
.
189. Случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [0;1]. Найти плотность,
математическое ожидание и дисперсию с.в.
.
Ответ:
; , .
190. Вероятность того, что абонент позвонит по телефону в течение часа, равна 0,01.
Телефонная станция обслуживает 3000 абонентов. Найти математическое ожидание и
дисперсию числа звонков в течение часа.
Ответ: , .
191. Найти функцию и плотность распределения времени ожидания звонка
в предыдущей задаче. Найти его математическое ожидание и дисперсию.
Решение
Пусть ξ – число звонков в течение часа, η – время ожидания первого звонка (в часах).
Из определения функции распределения
где – вероятность того, что время до первого звонка более х часов, т. е. что
в промежуток времени от 0 до х не позвонил ни один абонент. Фактически эту вероятность
нужно вычислить по формуле Пуассона для k = 0:
Параметр λ – среднее число успехов (звонков) в единицу времени – был вычислен в
прошлой задаче:
64
Получаем:
Тогда функция распределения и функция плотности примут вид:
Найдем математическое ожидание и дисперсию.
Способ 1. Заметим, что данные функции распределения и плотности такие же, как у
показательного распределения с параметром α = 30.
Тогда математическое ожидание и дисперсия равны:
Способ 2. Воспользуемся Гамма-функцией Эйлера для целых чисел:
Тогда математическое ожидание равно:
второй начальный момент равен:
дисперсия равна:
Способ 3. При вычислении интеграла используем интегрирование по частям и правилом
Лопиталя.
Получаем математическое ожидание:
65
Дисперсия по определению:
Ответ:
,
.
192. Заработная плата мужа и жены случайны, независимы и равномерно распределены
в интервале от 0 до 1000 руб. Найти плотность, функцию распределения, математическое
ожидание суммы и разности зарплат.
Решение
Пусть с.в. ξ – заработная плата мужа в тыс. руб., с.в. η – заработная плата жены в тыс.
руб. Согласно условию
и
, и они независимы.
Их функции распределения и плотности равны:
66
Мат. ожидания и дисперсии соответственно равны:
1) Рассмотрим сумму зарплат: .
Функцию распределения
проще всего найти, используя геометрическую
интерпретацию (рис. 5.3):
Рис. 5.3. Графическая иллюстрация для суммы с.в.
Пусть заработные платы мужа и жены лежат на осях абсцисс и ординат соответственно.
Их комбинации – все возможные по условию задачи значения зарплат мужа и жены – образуют
квадрат со стороной 1. Соответственно, площадь этого квадрата равна единице.
Функция распределения суммы зарплат
– это отношение площади
фигуры, отсекаемой внизу квадрата линией , к площади всего квадрата.
Получаем:
– при x < 0 линия проходит ниже квадрата, ничего не отсекая от него. Потому
для данного x;
– при 0 < x ≤ 1 линия отсекает от квадрата снизу треугольник со стороной x. Площадь
этого треугольника и есть вероятность
для таких x (поскольку площадь всего
квадрата, на которую следует разделить площадь треугольника, равна 1):
– при 1 < x ≤ 2 линия отсекает от квадрата сверху треугольник со стороной 2 – x.
Нужная нам вероятность
равна площади квадрата за минусом площади
отсеченного треугольника:
– при x > 2 линия проходит выше квадрата, поэтому для таких x.
Таким образом, получаем функцию распределения:
x > 2
1 < x ≤ 2
0 < x ≤ 1
x < 0
1
η
1
2
ξ
линии ξ + η = x
67
Функцию плотности находим как производную от функции распределения:
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины можно вычислить по
определениям, но в данном случае проще воспользоваться свойствами: мат. ожидание суммы
с.в. равно сумме мат. ожиданий; дисперсия суммы независимых с.в. равна сумме дисперсий.
2) Для разности зарплат предлагается решить задачу самостоятельно.
Ответ:
1)
;
; ;
;
2)
;
; ;
.
193. Случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром 4; с.в. η –
показательное распределение с параметром 2; с.в. φ – равномерное распределение на отрезке
[0;3], причем все эти величины независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины ψ = ξ – 4ηφ.
Ответ: , .
194. Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р = 1/3,
случайная величина η – равномерное распределение на отрезке [–1;3] и случайная величина
φ – нормальное распределение с параметрами a = 2, σ2 = 4, причем все эти величины
независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ψ = 3ξη + φ.
Ответ: , .
195. Случайные величины ξ, η независимы. С.в. ξ распределена экспоненциально с
параметром
, α > 0, с.в. η имеет распределение Пуассона с параметром λ2 – 1, λ > 1. Найти
,
.
Ответ: ; .
196. Случайные величины ξ, η независимы. С.в. ξ распределена равномерно на отрезке
, 0 < a < 1, с.в. η имеет нормальное распределение с параметрами b и b2, . Найти
,
.
Ответ:
;
.
197. Случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром α. Найти
плотность, математическое ожидание и дисперсию с.в.
.
Ответ:
;
;
;
.
68
198. Пусть ξ и η – независимые с.в., причем , а
при
. Найти математическое ожидание с.в. η
ξ
.
Указание: Распределения данных с.в.
,
. Ищите мат. ожидание как для дискретной с.в.
Ответ: .
199. С.в.
, где с.в. ξ распределена по закону Пλ. Найти мат. ожидание η.
Ответ:
.
200. С.в.
, где с.в. ξ распределена по закону П
λ+1
. Найти мат. ожидание η.
Ответ:
.
201. С помощью с.в.
, получена с.в. η = ξ
3
. Найти ее мат. ожидание и сравнить
с мат. ожиданием ξ с помощью неравенства Йенсена.
Решение
Согласно неравенству Йенсена для выпуклой функции имеем:
.
Поскольку ξ распределена на положительной оси, то функция η = ξ
3
является выпуклой
на указанном отрезке. Получаем, что согласно неравенству
. Проверим его,
найдя соответствующие моменты.
Способ 1. Найдем оба момента, используя функцию плотности равномерного
распределения:
Математическое ожидание ξ равно:
Третий начальный момент равен:
Получаем, что неравенство Йенсена выполняется:
Способ 2. Найдем мат. ожидание с.в. η, вычислив соответствующую функцию плотности
(через функцию распределения):
69
Неравенство Йенсена выполняется:
Ответ:
.
202. С помощью с.в.
получена с.в. η = ξ
4
. Найти ее мат. ожидание и сравнить
с мат. ожиданием ξ с помощью неравенства Йенсена.
Ответ:
.
70
6. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Случайная величина ξ имеет нормальное (гауссово) распределение (пишут:
)
с параметрами и , если плотность распределения имеет вид:
Параметр называется стандартным отклонением.
Математическое ожидание с.в.
равно ; дисперсия равна
.
Функция распределения в точке х равна значению определенного интеграла от функции
плотности на интервале
:
и обозначается
.
Если параметры распределения равны и , то говорят, что случайная
величина имеет стандартное нормальное распределение
. Функция распределения
имеет вид:
Свойства нормального распределения:
1. Функция любого нормального распределения может быть приведена к функции
стандартного нормального распределения:
2. Если
, то
.
3. Для
верны следующие соотношения:
4. Функция плотности стандартного нормального распределения симметрична
относительно нуля:
5. Если
, то:
6. Если
, то
.
7. Правило «трех сигм»: если
, то (совсем мало).
8. Любая линейная комбинация независимых нормально распределенных с.в. также
имеет нормальное распределение:
если
и
, то
.
Функция
табулирована, т. е. ее значения при различных вещественных x
вычислены и приведены в таблице в приложении В. Для задач с распределением
сначала
проводится приведение с.в. к стандартно нормально распределенной с.в. (свойства 1–3),
функция распределения которой затем вычисляется по таблице.
Если аргумент функции
меньше –3 или больше 3 (такие аргументы
отсутствуют в таблице), то с учетом правила «трех сигм» можно полагать:
– если x < –3, то
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]