Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
81
Отсюда
или ; .
Таким образом, получаем следующий симметричный относительно математического
ожидания интервал для среднего срока жизни 100 малых предприятий:
Для нахождения второй вероятности нужно воспользоваться ЦПТ (а точнее следствием
из ЦПТ – теоремой Муавра – Лапласа), и для этого введем новый ряд с.в. с распределением
Бернулли.
Пусть
, принимающая значение 1, если срок жизни соответствующего i-го
предприятия (величина
) оказался менее 1,5 лет, 0 – иначе. Соответственно, параметр
распределения Бернулли находится с использованием показательного распределения с.в.
:
Мат. ожидание и дисперсия новой с.в. равны:
Сумма этих с.в. покажет количество предприятий из n = 100, просуществовавших
меньше 1,5 лет.
Искомая вторая вероятность запишется следующим образом:
Преобразовывая неравенство внутри вероятности для применения ЦПТ, найдем
требуемое:
Ответ:
; .
221. Доля мужчин трудоспособного возраста по переписи населения составляет 30 %.
Сколько минимум человек нужно опросить, чтобы доля мужчин трудоспособного возраста
среди них отклонилась от доли по переписи не более чем на 1 п.п. с вероятностью, не меньшей
98 %?
Решение
Из условия задачи ясно, что имеем дело с рядом случайных величин с распределением
Бернулли с параметром 0,3 (доля по переписи):
Соответственно, мат. ожидание и дисперсия равны:
Сумма этих с.в.
равна количеству мужчин в трудоспособном возрасте, величина
показывает долю трудоспособных мужчин среди опрошенных людей.
Количество опрошенных мужчин n найдем из выражения:
82
путем преобразования неравенства внутри вероятности для применения теоремы Муавра –
Лапласа.
Отсюда
Так как значение 0,99 функция распределения принимает в точке x = 2,33, то в силу
неубывания функции распределения
откуда получаем:
или .
Поскольку n должно быть целым числом, то нужно опросить минимум 11401 человек,
чтобы доля мужчин трудоспособного возраста среди опрошенных отклонилась от доли по
переписи не более чем на 1 п.п. с вероятностью, не меньшей 98 %.
Ответ: нужно опросить не менее 11401 человек.
222. Накопленные в отделе кадров завода данные свидетельствуют, что в среднем 30 %
молодежи, поступившей на работу, увольняется по истечении двух лет. Какова вероятность,
что из 144 поступивших в текущем году по истечении двух лет уволятся от 40 до 50 человек?
Ответ: P ≈ 0,6115.
223. Научно-исследовательский сектор педагогического института проводит
исследования, улучшает или ухудшает упражнения по устному счету способности учащихся.
Сведения о 100 учениках представляют собой 100 пар несовпадающих чисел
, где xi
– время, затраченное учеником на решение задачи до упражнений, yi – после упражнений.
Какова вероятность того, что число неравенств типа
будет в пределах от 46 до 55,
более 55, менее 46, если упражнения настолько глупы, что не влияют на способности
учеников?
Ответ: P ≈ 0,6294; P ≈ 0,1587; P ≈ 0,2119.
224. Вероятность того, что респондент откажется отвечать на вопрос об отношении к
частному бизнесу, равна 0,40; вероятность того, что он не сообщит об объеме своих
сбережений, равна 0,50. Как ни странно, респонденты отвечают и не отвечают на эти вопросы
независимо. Какова вероятность того, что доля ответивших только на один из вопросов
в выборке из 256 человек будет более 0,55?
Ответ: P ≈ 0,0548.
225. Вероятность того, что респондент откажется отвечать на вопрос об отношении к
частному бизнесу, равна 0,40; вероятность того, что он не сообщит об объеме своих
сбережений, равна 0,50. Как ни странно, респонденты отвечают и не отвечают на эти вопросы
83
независимо. Какова вероятность того, что доля ответивших на оба вопроса в выборке из 256
человек будет более 0,25?
Ответ: P ≈ 0,9599.
226. Психолог задает испытуемым единственный вопрос, оценивая баллами способности
респондентов. Оценки 1, 2, 3, 4, 5 получаются с вероятностями соответственно 0,1, 0,2, 0,4, 0,2
и 0,1. Было протестировано 100 человек. Найти вероятность того, что средняя оценка по тесту
на этой выборке будет находиться в интервале от 2,8 до 3,2.
Ответ: P ≈ 0,9328.
227. Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,515. Найти
вероятность того, что среди 10 тысяч новорожденных число мальчиков будет не меньше, чем
девочек.
Ответ: P ≈ 0,9987.
228. Психологический тест представляет собой набор из 5 вопросов, предполагающих
ответы «да» или «нет», результатом тестирования отдельного человека является случайная
величина «балл» – число ответов «да». Вероятность положительного ответа равна 0,3.
К сожалению, тест абсолютно ненадежен – все ответы случайны и независимы. Было
протестировано 100 человек. Какое распределение имеет «балл»? Найти вероятность того, что
средняя оценка по тесту на этой выборке будет находиться в интервале от 1,3 до 1,7.
Ответ: «балл» € B
5;0,3
; P ≈ 0,9488.
229. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году
жизни равна 0,006. Застрахована группа в 10000 человек 20-летнего возраста, причем каждый
застрахованный внес 1,2 тыс. рублей страховых взносов за год. В случае смерти
застрахованного страховое учреждение выплачивает наследникам 100 тыс. рублей. Какова
вероятность, что:
а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;
б) его доход превысит 6 000 тыс. рублей?
Ответ: а) P ≈ 0; б) P ≈ 0,5.
230. Предположим, что заработная плата случайного прохожего распределена B
1500;0,6
.
Оценить (с помощью подходящего неравенства) нижнюю границу вероятности того, что
заработная плата окажется меньше 1000 долл. Найти эту вероятность с помощью ЦПТ и
оценить «точность неравенства».
Указание: для нахождения вероятности с помощью ЦПТ зарплату следует считать
величиной Sn – суммой n = 1500 случайных величин с распределением B
0,6
.
Ответ: ;
.
231. В компьютерной игре 5 игроков сражаются с боссом. Каждый игрок может нанести
боссу 10 ударов. Один удар имеет равномерное распределение урона от 100 до 200 единиц.
С какой вероятностью они смогут победить босса, если у него 7200 единиц здоровья?
Ответ: P ≈ 0,9292.
232. Распределение оценок менеджера, полученных по тесту активности, подчинено
нормальному закону
. Сколько менеджеров нужно подвергнуть тестированию,
чтобы доля малоактивных менеджеров (т. е. имеющих оценку меньше 40) среди всех
опрошенных отклонилась от ожидаемой доли малоактивных менеджеров не более чем на 5
процентных пунктов с вероятностью не меньшей 90 %?
Ответ: n = 233.
233. Психологу пришла в голову идея, что в семейных парах «муж и жена – одна сатана»
уровень тревожности мужа с равной вероятностью может оказаться больше и меньше уровня
84
тревожности жены. Данные его исследований состоят из множества пар
, где xi –
измеренный с помощью психологических тестов уровень тревожности мужей, yi –
тревожность жен. Если психолог прав, то сколько минимум семейных пар нужно изучить,
чтобы с вероятностью не менее 90 % доля семей, в которых мужья менее тревожны,
находилась в пределах от 0,45 до 0,55? менее 0,55? более 0,45?
Ответ: n1 = 273; n2 = 164; n3 = 164.
234. Если отправить смс на короткий номер, к примеру, 4545, владелец этого номера
заработает 50 копеек (без учета НДС). Ежемесячно за пользование коммерческим номером
необходимо платить 50 тыс. руб., а также вкладывать 100 тыс. руб. на рекламу с целью
привлечения клиентов. Если человек видит рекламу, то он отсылает смс с вероятностью 20 %.
Сколько в среднем человек в день видит рекламу, если известно, что вероятность заработать
в течение года (365 дней) более 5 млн рублей равна 0,95?
Ответ: в среднем в день видит рекламу 186 376 человек.
235. Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0,2, 4 – с вероятностью 0,5, 3 –
с вероятностью 0,3. За время обучения он сдает 40 экзаменов. В каком симметричном
относительно математического ожидания интервале находится средний балл студента
с вероятностью 0,95?
Ответ:
.
236. Сибирский кадровый центр, изучая динамику ценностных ориентаций 150
студентов, сравнивал ответы, полученные от одних и тех же студентов на первом и втором
курсе. Тестами отмечалось увеличение/снижение ориентированности на трудовую
деятельность. В каком симметричном относительно математического ожидания интервале с
вероятностью 0,9 может находиться доля снизивших ориентацию на трудовую деятельность,
если эти тесты оказались ненадежны, т. е. изменения ориентированности случайны и
равновероятны?
Ответ:
.
237. На экзамене на ответ отводится 30 минут. Случайная величина – время ответа –
распределена равномерно на указанном интервале. В каком симметричном интервале
относительно математического ожидания времени ответа находится с вероятностью 0,9
среднее время ответа 100 студентов?
Ответ: в минутах
.
238. Обычно 20 % студентов получают на экзамене по теории вероятностей отличную
оценку. Насколько может отклониться эта доля с вероятностью 95 %, если экзамен сдает 100
человек?
Ответ: δ = 0,0784.
239. Доход трейдера-скальпера определяется результатами 2 млн операций,
совершаемых им в течение торговой сессии. Предположим для простоты, что позиция всегда
закрывается с фиксированным доходом или убытком (тейк-профит и стоп-лосс),
соответственно, 2 и 1 рубль. В каком симметричном относительно мат. ожидания интервале
будет находиться доход трейдера с вероятностью 98 %, если вероятность того, что операция
будет доходной, достигает 73 %?
Ответ: .
85
8. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
8.1. Функция распределения и функция плотности двумерной с.в.
Случайный вектор (
) – это набор случайных величин, заданных на одном
вероятностном пространстве.
Функцией распределения случайного вектора (или функцией совместного
распределения) называется функция
Здесь событие
фактически является пересечением
событий
для всех i. Таким образом, функция совместного распределения – это
вероятность одновременного выполнения всех событий
.
Двумерные случайные векторы имеют функцию совместного распределения:
Свойства функции распределения двумерного случайного вектора:
1. Ограниченность:
.
2. Существование пределов:
3. Связь функции совместного распределения и обычных функций распределения:
4. Функция совместного распределения
непрерывна слева по x и y.
5. Функция совместного распределения не убывает:
6.
Важнейшим условием использования последнего свойства является замкнутость
интервалов слева и открытость справа.
Случайный вектор имеет дискретное распределение, если все случайные величины –
компоненты вектора – принимают конечное или счетное количество значений таких, что
сумма вероятностей принять эти значения равна единице.
Распределение двумерного случайного вектора можно описать набором вероятностей
возможных комбинаций значений компонент:
Распределение двумерной с.в. часто задано таблицей совместного распределения:
ξ η
y1
y2 … yj … ym p x1
p11
p12 … p1j … p1m
x2
p21
p22 … p2j … p2m
… … … … … … … … xi
pi1
pi2
…
pij … pim
… … … … … … … … xn
pn1
pn2
…
pnj … pnm
q
…
…
Вероятности в последнем столбце и последней строке – это вероятности для
«одномерных распределений» случайных величин ξ и η соответственно:
86
Сумма всех вероятностей внутри таблицы совместного распределения (а также сумма
элементов последнего столбца или последней строки) равна единице (что соответствует
определению дискретного распределения):
Двумерный случайный вектор имеет абсолютно непрерывное совместное
распределение, если существует неотрицательная функция
такая, что двойной
интеграл от нее равен функции совместного распределения:
Функция
называется плотностью совместного распределения с.в.
Свойства функции плотности совместного распределения:
1. Неотрицательность:
.
2. Условие нормировки:
3.
.
4. Если случайные величины ξ и η имеют абсолютно непрерывное совместное
распределение, то ξ и η в отдельности также имеют абсолютно непрерывное
распределение с плотностями:
Обратное не всегда верно: если ξ и η имеют абсолютно непрерывные распределения,
то из этого не следует, что их совместное распределение будет тоже абсолютно
непрерывным.
5. Вероятность попадания в интервал:
Заметим, что для абсолютно непрерывного совместного распределения знаки
неравенств также не важны – они могут быть любыми!
Случайные величины ξ и η независимы попарно, если
Случайные величины
независимы в совокупности, если
87
Эквивалентная формулировка независимости для абсолютно непрерывных с.в.:
Эквивалентная формулировка независимости для дискретных с.в.:
240. Ученый подал заявку на гранты в Российский фонд фундаментальных исследований
(РФФИ, с.в. ξ) и в Российский научный фонд (РНФ, с.в. η). Вычислить функцию совместного
распределения выигрышей, если вероятности выигрыша грантов представлены в виде
таблицы совместного распределения:
ξ η
0
15
0
0,35
0,35
10
0,25
0,05
Найти значения этой функции совместного распределения в точках (5, 10) и (15, 15). Найти
вероятность события {–1 ≤ ξ < 5; 0 ≤ η ≤ 15}.
Решение
Функция распределения двумерной случайной величины строится по той же схеме, что
и для одномерной с тем лишь различием, что для каждого значения одной переменной вторая
переменная пробегает всю числовую прямую.
Получаем:
Заметим, что данная запись функции распределения не означает, что функция убывает с
0,7 до 0,6: возрастает значение переменной x, но интервал для переменной y мы должны
рассматривать тот же, а он изменился. Поэтому сравнивать эти значения функции, полученные
при росте одной переменной, для разных интервалов по другой переменной – нельзя!
График данной функции распределения будет иметь ступенчатый вид (рис. 8.1).
Вычислим значение функции распределения в указанных точках:
– в точке (5, 10):
или
– в точке (15, 15):
или
88
Рис. 8.1. Функция распределения двумерной случайной величины
При вычислении вероятности попадания с.в. в интервал также как для обычной
дискретной с.в. важно помнить о знаках неравенств. Аналогично простой одномерной
дискретной случайной величине для вычисления такой вероятности проще определить, какие
значения попадают в соответствующие интервалы и сложить соответствующие вероятности:
Ответ:
;
; .
241. Записать аналитически функцию распределения двумерной случайной величины,
заданной таблицей совместного распределения:
ξ η
–1 5 1
0,4
0,2 4 0,3
0,1
Найти значение функции распределения в точке (4, 7). Найти вероятность события
{–1 ≤ ξ < 3; 0 ≤ η < 6}.
Ответ:
; .
242. Записать аналитически функцию распределения двумерной случайной величины,
заданной таблицей совместного распределения:
ξ η
–10
10
6
0,05
0,1
20
0,6
0,25
Найти значение функции распределения в точке (15, 12). Найти вероятность события
{1 < ξ ≤ 10; –10 ≤ η ≤ 15}.
Ответ:
; .
Fξη(x,y)
x y 10
15
0
0,7
1
0,6
0,35
89
8.2. Ковариация и коэффициент корреляции
Ковариация (коэффициент ковариации) случайных величин ξ и η – это число,
определяемое формулой:
Свойства ковариации:
1. Основное свойство ковариации:
2. Константу можно вынести за знак ковариации:
.
3. Ковариация между ξ и ξ равна дисперсии ξ: .
4. Если ξ и η – независимые случайные величины, то . Обратное не всегда
верно.
Для вычисления математического ожидания произведения случайных величин
используют таблицу (для дискретных) или плотность (для абсолютно непрерывных)
совместного распределения:
Коэффициент корреляции (корреляция) случайных величин ξ и η с ненулевыми
конечными дисперсиями – это число, определяемое формулой:
Свойства коэффициента корреляции:
1. Ограниченность:
2. Константа не влияет на величину коэффициента корреляции:
3. Если ξ и η – независимые случайные величины, то . Обратное не всегда
верно.
243. Оценки студентов по теории вероятностей и математической статистике
взаимосвязаны, но не полностью определяют друг друга. В частности, связь между
успеваемостью по ТВ и МС характеризуется следующей таблицей совместного
распределения. Определить коэффициенты ковариации и корреляции оценок по ТВ и МС.
ξ η
3 4 5
3
0,3 0 0,1 4 0,1
0,2
0 5 0,1
0,2
0
Решение
Добавим в таблицу вероятности для одномерных распределений случайных величин ξ и
η:
и , которые получаются суммированием значений
вероятностей для определенного xi по соответствующей строке и для yj по соответствующему
столбцу:
90
ξ η
3 4 5
P(xi)
3
0,3 0 0,1
0,4
4
0,1
0,2 0 0,3
5
0,1
0,2 0 0,3
P(yj)
0,5
0,4
0,1
1
Рассчитаем ковариацию по ее основному свойству:
Соответственно, нам нужно рассчитать все три математических ожидания:
Получается, что ковариация равна
Чтобы рассчитать коэффициент корреляции, необходимо рассчитать дисперсии. Также
воспользуемся свойством дисперсии:
:
Получаем:
Коэффициент корреляции положителен, но близок к 0, что обычно означает отсутствие
значимой связи между величинами.
Ответ: ; .
244. Два эксперта оценивают социально-экономическую ситуацию в регионе оценками
1 – плохо, 2 – посредственно, 3 – хорошо. Двумерное распределение возможных оценок
экспертов характеризуется таблицей.
ξ η
1 2 3
1
0,2 0 0 2 0
0,6
0 3 0 0 0,2
Определить коэффициенты ковариации и корреляции экспертных оценок.
Ответ: ; .
245. Каким будет коэффициент корреляции, если двумерное распределение будет иметь
следующий вид:
а)
ξ η
1 2 3
б)
ξ η
1 2 3 1
0 0 0,25
1 0,25
0
0,25
2 0
0,5
0 2 0
0,5
0
3 0,25 0 0
Сопоставить значения коэффициентов корреляции и таблиц распределения вероятностей.
Ответ: а) ; ; б) ; .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]