Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
71
– если x > 3, то
.
Функция Лапласа – это функция, определяемая соотношением
Свойства функции Лапласа:
1. Функция Лапласа – нечетная:
2. Для
верны следующие соотношения:
3. Если
, то
Функция
табулирована, ее значения приведены в соответствующей таблице
в приложении Г.
203. Успеваемость студентов пятого курса экономического факультета ξ (сумма
оценок/число оценок) имеет распределение, близкое к нормальному
.
а) Чему равна вероятность того, что выпускник будет перспективен для научной
работы (т. е. его успеваемость на пятом курсе выше 4,5)?
б) Какова вероятность того, что средняя оценка выпускника окажется в интервале от
3,7 до 4,3?
Решение
Из условия задачи можно считать, что с.в. имеет нормальное распределение, потому для
нахождения вероятностей нужно воспользоваться свойствами и таблицей нормального
распределения:
а)
.
б)
Ответ: а) P = 0,1587; б) P = 0,4514.
204. Результатом психологического тестирования испытуемого является случайная
величина ξ, полученная на основании его ответов. Распределение этой величины:
.
Какова вероятность на отдельном испытуемом получить отклонения результатов
тестирования от a более чем на kσ, где k = 1, 2, 3?
Ответ:
205. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06.
Известно, что 5 % коробок имеет массу, меньшую 1 кг. В предположении нормальности
определить, каков процент коробок, масса которых превышает 970 г.
Решение
Пусть с.в. ξ показывает вес коробки с шоколадом. По условию задачи известно
следующее:
Требуется найти
.
Решение задачи фактически проходит в два этапа: сначала по известной вероятности
находим σ, а затем, зная σ, находим искомую вероятность.
72
Согласно определению функции распределения:
По свойствам нормального распределения получаем:
Отсюда
По таблице нормального распределения находим:
Теперь осталось найти искомую вероятность:
Ответ: .
206. Стоимость мяса на рынках города колеблется около среднего уровня 20 руб. со
среднеквадратическим отклонением σ. Каково значение σ, если вероятность встретить
продавца, продающего мясо менее, чем за 15 руб., равна 0,05? Предполагается нормальное
распределение цен.
Ответ: .
207. Опрос 20 млн человек показывает, что среднестатистический житель крупного
города тратит на дорогу от дома до работы около 40 минут. Если вероятность события
«потратить на дорогу от дома до работы более 30 минут» равна 0,96, то чему равно
среднеквадратическое отклонение (при предположении нормальности распределения
затраченного времени)?
Ответ: .
208. По данным министерства транспорта, дисперсия числа автомобилей, проезжающих
на зеленый сигнал светофора в Новосибирске, составляет 32. Сколько в среднем проезжает
машин на зеленый сигнал светофора, если предположить, что соответствующая с.в. ξ имеет
нормальное распределение, а вероятность ξ быть меньше двух своих математических
ожиданий равна 99 %?
Ответ: .
209. Инвестор собирается вложить деньги в объеме W0 = 1000 долл. во фьючерс SPY.
Годовая доходность фьючерса ξ имеет нормальное распределение с математическим
ожиданием 0,05 и стандартным отклонением 0,2.
а) Какое распределение имеет с.в.
– количество денег, которые
получит инвестор через год?
б) Найти вероятность получения через год дохода менее 750 долл.
в) Если инвестор получил 750 долл., то чему равна доходность фьючерса?
г) Меньше какого значения может оказаться прибыль (убыток) инвестора
с вероятностью 10 % (инвесторы называют такую величину минимальными
потерями)?
73
Решение
а) Случайная величина
получена линейным преобразованием от с.в.
, а потому тоже имеет нормальное распределение. Осталось лишь найти
параметры – математическое ожидание и дисперсию:
Получили:
б) Требуется найти вероятность
:
в) Значение с.в. ξ (доходности) вычисляется совсем просто:
г) Обозначим искомое значение (величину минимальных потерь) через δ. Эту величину
нужно найти из следующего выражения:
Левая часть неравенства показывает величину прибыли или убытка инвестора, правая –
граничное значение для этой величины – квантиль уровня 10 % распределения с.в.
.
Данная с.в. имеет нормальное распределение (линейное преобразование из
) с
параметрами:
Тогда
Получается, что в 10 % случаев убыток инвестора будет меньше –206 долл.
(минимальные потери с 10%-й вероятностью составят 206 долл.).
Ответ: а)
; б) P = 0,0668; в) ; г) δ = –206 долл.
210. Инвестор вложил W тыс. долл. в акции на 1 месяц. Известно, что месячная
доходность акции ξ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0,05 и
среднеквадратическим отклонением 0,1.
а) Какое распределение имеет с.в.
– количество денег, которые инвестор
получит через месяц, если W = 10 тыс. долл.?
б) Найти вероятность получения через год дохода менее 9 тыс. долл.
в) При какой доходности (значении ξ) полученная через месяц сумма (с.в. η) составит
ровно 9 тыс. долл.?
г) Какие минимальные потери получит инвестор с вероятностью 5%?
Ответ: а)
; б) P = 0,0668; в) ; г) δ = –1,15 тыс. долл.
74
211. Инвестор желает заработать на фондовой бирже. Он выбирает 10 независимых
инструментов, имеющих одинаковое распределение годовой прибыли
. Инвестор
решает, вложить ли ему все деньги в один (например, первый) инструмент и купить 10 ед., или
купить по 1 ед. каждого инструмента.
а) Какое распределение доходностей имеет каждый портфель?
б) Какие минимальные потери для каждого портфеля мы получим с вероятностью
5 %?
Указание для пункта (б): нужно рассмотреть вероятности
и
.
Ответ: а)
и
; б) δ1 = 917,5 и δ2 ≈ 973,91.
75
7. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
7.1. Вероятностные неравенства
Знать распределение случайной величины не всегда возможно, а оценить значение
вероятности нужно. В этом случае пользуются вероятностными неравенствами.
Неравенство Маркова: если , тогда для любого
Следствие: Если функция
монотонно возрастает на интервале
и
, тогда для любого выполняется неравенство:
Первое неравенство Чебышева: если и , тогда для любого
Второе неравенство Чебышева: если , тогда для любого
Неравенство Чебышева – Бьенеме: если , тогда для любого
212. Один известный социолог изобрел шкалу массового сознания. В анкету он включал
вопросы «Какое время для проезда на работу вы считаете приемлемым?» и «Какой зарплаты
вы достойны?».
По достаточно большим данным удалось выяснить, что среднее время, указанное
в ответе на первый вопрос, равно 30 минутам. Оценить верхнюю границу вероятности того,
что приемлемым для респондента временем будет значение, превосходящее 1,5 часа. Оценить
также нижнюю границу вероятности того, что приемлемым временем будет значение,
составляющее менее 1,5 часов.
Оказалось, что средняя достойная зарплата равна 15 тыс. руб., а среднеквадратичное
отклонение этой случайной величины равно 2000 руб. Оценить нижнюю границу вероятности
того, что достойная, по мнению респондента, зарплата находится в интервале от 10 до 20 тыс.
руб.
Ответ:
;
; .
213. Сумма вкладов в некоторую сберкассу составляет 20 млн руб., а вероятность того,
что случайно взятый вклад не превышает 100 тыс. руб., равна 0,8. Что можно сказать о числе
вкладчиков этой сберкассы?
Решение
По условию задачи , поэтому .
Поскольку ξ – размер вклада – величина неотрицательная, то по первому неравенству
Чебышева следует
Математическое ожидание фактически является аналогом среднего – сумма всех
вкладов, поделенная на их количество. Получаем:
76
Отсюда:
Таким образом, можно сказать, что число вкладчиков сберкассы не превышает
1000 человек.
Ответ: .
214. Три брата имеют ежемесячно случайные заработки. Мат. ожидание такого заработка
равно 1000 руб., среднеквадратичное отклонение – 100 руб. Оценить вероятность того, что в
среднем на человека в следующем месяце братья заработают от 900 до 1100 руб.
Предполагается независимость и одинаковое распределение заработков братьев.
Ответ:
.
215. У населения желания не слишком велики – опрос показал, что народ желает иметь
в среднем около 1000 долл. в месяц. Дать нижнюю оценку вероятности тог, что респондент
захочет иметь менее 10 000 долл. в месяц.
Ответ:
216. Женщины в среднем тратят на макияж около 30 минут при среднеквадратичном
отклонении 5 минут. Дать нижнюю оценку вероятности того, что женщина накладывает
макияж от 20 до 40 минут.
Ответ:
.
7.2. Закон больших чисел и центральная предельная теорема
Сходимость по вероятности: Последовательность
сходится по
вероятности к с.в. ξ (пишут:
), если для любого выполняется сходимость
Закон больших чисел (ЗБЧ) в форме Чебышева: Пусть
–
последовательность независимых и одинаково распределенных с.в. (iid) с конечными первым
и вторым начальными моментами (,
). Тогда
Здесь все математические ожидания равны между собой (для любого i:
), так
как случайные величины во всей последовательности одинаково распределены.
ЗБЧ можно трактовать так, что среднее арифметическое n независимых и одинаково
распределенных с.в. сходится по вероятности к математическому ожиданию одной с.в.
Закон больших чисел в форме Хинчина: Пусть
– последовательность iid
случайных величин с конечными начальным и абсолютным начальным моментами первого
порядка (,
). Тогда
ЗБЧ в форме Хинчина использует менее строгое условие (конечность моментов только
первого порядка), чем в ЗБЧ в форме Чебышева (конечность моментов первого и второго
порядка).
Закон больших чисел можно переписать в виде:
77
Слабая сходимость (сходимость по распределению): Последовательность
слабо сходится (сходится по распределению) к с.в. ξ (пишут: ), если для
любого такого, что функция распределения
непрерывна в точке x, выполняется
сходимость
Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость, обратное не всегда верно.
Центральная предельная теорема (ЦПТ): Пусть
– последовательность
iid с.в. с конечным математическим ожиданием и ненулевой конечной дисперсией (,
), тогда последовательность случайных величин
слабо сходится к случайной величине η, имеющей стандартное нормальное распределение.
Здесь
.
Эквивалентные формулировки ЦПТ:
Величина
называется скоростью сходимости – показывает, как быстро величина
сходится к
(выполняется ЗБЧ):
из ЗБЧ:
из ЦПТ:
.
Теорема Муавра – Лапласа (следствие из ЦПТ): Пусть
–
последовательность iid с.в. с распределением
, тогда последовательность случайных
величин
слабо сходится к случайной величине η, имеющей стандартное нормальное распределение.
Варианты задач на применение ЦПТ:
– найти вероятность, что сумма или среднее значение по n случайным величинам попадает
в некоторый интервал:
78
– найти границы интервала, симметричного относительно математического ожидания,
в который попадает сумма или среднее значение по n случайным величинам с некоторой
заданной вероятностью p0 (фактически нужно найти величину δ):
Эти вероятности можно переписать по-другому:
– найти количество случайных величин (число n), для которых сумма или среднее значение
попадают в некоторый интервал с некоторой заданной вероятностью p0:
217. Пусть имеется
– последовательность iid с.в. с конечными
математическим ожиданием и дисперсией, не равной нулю. Покажите, имеет ли место
сходимость вероятности
к вероятности
?
Ответ: Указанной сходимости нет:
.
218. По данным государственной статистики средний возраст трудоспособного
населения города N составляет 36 лет, а дисперсия – 225.
а) Какова вероятность при анкетном обследовании 200 человек получить отклонение
их среднего возраста от среднестатистического менее чем на 3 года?
б) Сколько нужно собрать анкет, чтобы средний возраст в выборке отклонился от
среднестатистического не более чем на 3 года с вероятностью не меньшей, чем
95 %?
в) Не более чем на какую величину с вероятностью 90 % средний возраст может
отклониться от среднестатистического в выборке из 400 чел.?
Решение
По условию задачи имеем ряд дискретных случайных величин
– возраст i-го жителя
города N в трудоспособном возрасте, математическое ожидание для всех i ,
. Закон распределения неизвестен (и не важен для ЦПТ). По обследованной выборке
получили
– суммарный возраст жителей,
– средний возраст по выборке.
а) Для обследованных n = 200 жителей требуется определить вероятность
Преобразуем неравенство внутри вероятности так, чтобы можно было воспользоваться
ЦПТ:
79
Важное замечание. Если с.в. слабо сходится к другой с.в., то вероятность стремится по
к разности функций стандартного нормального распределения. В нашем случае,
поскольку n фиксировано по условию, ставим значок приближенно равно «≈».
б) Теперь вероятность предполагается известной, нужно найти n.
Проведя аналогичные (как в пункте (а)) преобразования, получаем:
Отсюда
Так как значение 0,975 функция распределения принимает в точке x = 1,96 (см. таблицу
нормального распределения в приложении В), то в силу неубывания функции распределения
откуда получаем:
или .
Поскольку n должно быть целым числом, то минимальное количество анкет,
необходимое для выполнения условия задания, составляет 97.
в) Теперь n = 400, вероятность предполагается равной 0,9, неизвестна величина
отклонения (обозначим ее δ):
Проведя преобразования неравенства под вероятностью, получаем:
Далее
откуда получаем: δ ≈ 1,23 года.
Ответ: а) P = 0,9954; б) не менее 97 анкет; в) не более чем на 1,23 года.
219. Известно, что натуральный логарифм доходов распределен приближенно
нормально с параметрами
. Какова вероятность встретить человека, имеющего доход
менее 1500 руб.? Какова вероятность того, что из случайно выбранных 300 человек более 40 %
окажется с доходом, большим 1500? (ln 1500 = 7,31).
Решение
Обозначим через ξ доход, тогда по условию:
.
Поиск первой вероятности – это задача на использование нормального распределения:
80
Для нахождения второй вероятности нужно воспользоваться ЦПТ (а точнее следствием
из ЦПТ – теоремой Муавра – Лапласа). Чтобы это сделать, требуется ввести набор случайных
величин с распределением Бернулли:
Пусть
, принимающая значение 1, если доход ξ больше 1500, 0 – иначе.
Соответственно, параметр этого распределения находим через распределение с.в. ξ:
Мат. ожидание и дисперсия равны:
Сумма этих с.в. покажет количество людей из n = 300, имеющих доход больше 1500.
Искомая вторая вероятность запишется следующим образом:
Преобразуем неравенство внутри вероятности так, чтобы можно было воспользоваться
ЦПТ:
Ответ: ; .
220. По данным ФСГС, средний срок жизни малого предприятия – 2 года, время его
жизни имеет показательное распределение. В каком симметричном относительно мат.
ожидания интервале будет находиться средний срок жизни 100 малых предприятий
с вероятностью 0,99? Какова вероятность, что не менее 50 из этих предприятий проживут
меньше 1,5 лет?
Решение
По условию задачи имеем ряд случайных величин
– время жизни i-го малого
предприятия из n = 100 рассматриваемых. Закон распределения этих величин – показательное
распределение с параметром
:
по условию средний срок жизни равен: , а поскольку для показательного
распределения
, то
.
Тогда математическое ожидание и дисперсия равны:
Средний срок жизни 100 малых предприятий – это величина
. Тогда симметричный
относительно математического ожидания интервал определяется из следующего выражения:
Т. е. наша задача – найти величину δ.
Преобразуем неравенство внутри вероятности так, чтобы можно было воспользоваться
ЦПТ:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]