Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
11
Ответ: см. решение.
В задачах 19–21 предлагается описать сигма-алгебру, воспользовавшись приведенным
выше разбором.
19. Монета подбрасывается два раза. Наблюдаемый результат – появление орла или
решки на верхней стороне монеты. Опишите сигма-алгебру, порожденную событием А – {оба
раза выпала одна сторона монеты}.
20. Подбрасывается игральная кость. Наблюдаемый результат – число очков, выпавших
на ней. Опишите сигма-алгебру:
а) порожденную событием А – {выпадали нечетные числа};
б) порожденную событиями А – {выпадали нечетные числа} и B – {выпало число
очков меньшее трех}.
21. Пусть . Найти минимальную сигма-алгебру, содержащую следующий набор
подмножеств:
а)
;
б) ;
в) .
1.4. Определение вероятности и формула сложения вероятностей
Вероятность (вероятностная мера) – это функция , удовлетворяющая
следующим трем условиям (аксиомам Колмогорова):
I. P(A) ≥ 0 для любого события .
II. Вероятность достоверного события равна единице: P(Ω) = 1.
III. Для любого счетного набора попарно несовместных событий имеет
место равенство:
Свойства вероятности:
1) вероятность невозможного события равна нулю P(Ø) = 0;
2) для любого конечного набора попарно несовместных событий
имеет место равенство:
3)
;
4) если A влечет B, то P(A) ≤ P(B);
5) если A влечет B, то P(B\A) = P(B) – P(A);
6) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
7) для любого конечного набора событий имеет место неравенство
8) формула сложения вероятностей для двух событий:
12
9) формула сложения вероятностей для трех событий:
10) формула сложения вероятностей для n событий:
22. Психологом изучается наличие положительных свойств у руководителей высшего
ранга: A – чувства нового, B – общительности, C – инициативности. Удалось выяснить, что
20 % обладают свойством A, 10 % – свойством B, 30 % – свойством C, при этом одновременно
свойствами A и B обладают 5 % руководителей, свойствами A и C – 2 %, хотя бы одним из
свойств B или C не обладают 96 %, а все свойства имеют 1 % руководителей. Найти
вероятность наличия хотя бы одного из свойств A, B, C у руководителя.
Решение
По условию задачи имеем:
Событие {руководитель не обладает хотя бы одним из свойств B или C} и его
вероятность запишутся следующим образом:
Отсюда
.
Нужно вычислить
Получаем по формуле сложения:
Ответ:
23. 80 % молодых людей любят летом лежать на солнце (A), 30 % – плавать в воде (B),
10 % – кататься на лодке (C). При этом одновременно любят виды отдыха A и B – 20 %
молодых людей, A и C – 6 % молодых людей, B и C – 3 %, а хотя бы один из трех видов отдыха
не любит 98 % молодежи. Найти вероятность встретить молодого человека, предпочитающего
хотя бы один из видов A, B, C летнего отдыха.
Ответ:
24. Психолог изучает качества студентов одного из крупнейших вузов за Уралом: A –
желание учиться, В – способность к учебе, С – необходимость учиться. Удалось выяснить, что
38 % обладают качеством A, 53 % – качеством B, 43 % обладают качеством C, при этом
одновременно качествами A и B обладают 13 % студентов, качествами A и C – 8 %, хотя бы
одним из качеств B или C не обладают 65 %, а все качества имеют 3 % студентов. Не хотят
учиться, не могут и не видят необходимости 19 %. Найти вероятность наличия хотя бы одного
из качеств A, B, C у студента. Применить два способа расчета.
Ответ:
25. Психолог изучает характеристики 140 студентов одного из крупнейших вузов за
Уралом: A – желание учиться, В – способность к учебе, С – необходимость учиться. Удалось
выяснить, что хотят учиться 77 человек. Имеют способности к учебе 62 человека. Не видят
13
необходимости учиться 50 студентов. Хотят учиться, но не видят в этом необходимости 35
человек. Хотят учиться, обладают способностями и понимают необходимость 7 человек.
Имеют способности, но не видят необходимости 15. Имеют желание и способности 12
студентов. Найти вероятность наличия хотя бы одной из характеристик A, B, C у студента.
Ответ:
26. Кость подбрасывается трижды. Результат опыта – сумма выпавших очков. Событие
А = {сумма очков нечетная}, событие В = {последнее выпавшее число – четное}. Найти
вероятность события .
Решение
Пространство Ω и события можно описать так:
Получаем , , .
Искомая вероятность равна:
Ответ: .
27. Кость подбрасывается два раза. Событие А = {при первом подбрасывании выпало
нечетное число очков}, событие В = {при любом подбрасывании выпала 6}. Найти
вероятность события .
Ответ:
28. Известно, что влечет C. Доказать, что .
Решение
Поскольку , то по свойствам вероятности
, следовательно,
.
Тогда с учетом второго свойства вероятности получаем доказательство правой части
искомого неравенства: .
Для доказательства второй части неравенства также воспользуемся этим свойством.
Имеем:
P(A) ≥ 0 и P(B) ≥ 0,
P(C) ≤ 1 или – P(C) ≥ – 1.
Сложив эти величины, получим:
Таким образом, искомое неравенство доказано.
29. Известно, что . Доказать, что .
1.5. Геометрическая вероятность
Рассматривается некоторая область Ω в
, например, на прямой (на плоскости, в
пространстве). Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы бросаем в эту
область точку. Вероятность попадания точки в любую часть не зависит от формы
или расположения A внутри Ω, но зависит от длины (площади, объема) области A.
14
30. Два друга независимо друг от друга имеют случайный приработок от 0 до 1 тыс. руб.
Какова вероятность того, что максимальный их заработок будет меньше x тыс. руб.? Решить
аналогичную задачу для троих, четверых друзей.
Ответ: P(2 друга) = x2; P(3 друга) = x3; P(4 друга) = x4.
31. Точка наудачу бросается в круг с единичным радиусом. Найти вероятность того, что
расстояние ρ до точки от центра круга будет меньше заданного числа
.
Решение
Фактически нужно найти вероятность, что точки попадают
в круг радиуса r с центром, совпадающим с центром данного
единичного круга (рис. 1.4).
Запишем формальную запись для Ω и события A:
Тогда искомая вероятность равна:
Рис. 1.4. Графическая
иллюстрация эксперимента
Ответ:
32. «Задача о встрече». Респондент должен заглянуть домой в случайное время с 9:00 до
10:00, интервьюер приходит к нему также в случайное время с 9:00 до 10:00. Оба ждут друг
друга 15 мин. Построить подмножество, удовлетворяющее событию A = {респондент и
интервьюер встретились}. Найти вероятность этого события.
Ответ: P(A) = 0,4375.
33. Точка наудачу бросается на отрезок [0;1]. Чему равна ее вероятность попасть в точку
0,5? Является ли событие {попасть в точку 0,5} невозможным?
Решение
Формальная запись для Ω и события A: и
.
Таким образом, «длина Ω» равна единице, а «длина A» («длина точки») стремится
к нулю. Согласно геометрической вероятности получаем
.
При этом событие A = {попасть в точку 0,5} является возможным, так как событие A –
не пустое – содержит один элементарный исход.
Ответ: .
34. На отрезок OA единичной длины наудачу поставлены две точки B и C, причем
OB ≤ OC. Найти вероятность того, что случайно брошенная на отрезок OA точка x
принадлежит отрезку BC.
Ответ:
.
35. На отрезок OA единичной длины наудачу поставлены две точки B и C, причем
OB ≤ OC. Найти вероятность того, что длина отрезка OB окажется меньше длины отрезка CA.
Ответ: P(OB < CA) = 0,5.
36. Точка
выбирается наудачу в прямоугольнике с вершинами
,
,
и
. Найти математическую запись зависимости вероятности от числа
и нарисовать график этой функции.
1 1 r
15
Ответ:
37. Точка
выбирается наудачу в прямоугольнике с вершинами
,
,
и
. Найти математическую запись зависимости вероятности
от числа
и нарисовать график этой функции.
Ответ:
1.6. Классическая вероятность и комбинаторные схемы
Пусть Ω состоит из N элементарных исходов – Ω = {ω1, ω2, …, ωN}, событие A – из
M элементарных исходов (т. е. множества конечны), и все исходы равновозможные
(вероятности исходов одинаковы и равны
).
Классической вероятностью (вероятностью, вычисляемой по классической схеме)
события A называется отношение числа исходов, содержащихся в событии A
(благоприятствующих событию A), к числу всевозможных исходов эксперимента:
Таким образом, при вычислении вероятности события по классической схеме задача
сводится к нахождению числа благоприятствующих исходов (принадлежащих указанному
событию) и всех возможных исходов (все элементарные исходы Ω).
Принцип произведения: если элементарные исходы и события можно представить в
виде элементов прямого произведения множеств:
то число элементов в Ω и число элементов в событии A рассчитываются как произведения
мощностей соответствующих множеств:
Комбинаторные схемы: применяются для расчета числа исходов в экспериментах,
осуществляемых в условиях классической схемы
Пусть в урне (ящике) имеется n различных элементов (например, пронумерованные от
1 до n шары), необходимо наудачу выбрать k из них. Здесь слово «наудачу» означает, что
появление любого шара равновозможно.
Нужно посчитать количество вариантов выбора этих элементов. Это количество
зависит от двух характеристик способа выбора элементов из имеющейся совокупности:
– «повторения/возвращения» – могут ли быть повторно выбраны элементы, взятые
ранее?
– «учет порядка» – требуется ли учитывать порядок выбора элементов, или он не важен?
Комбинаторные
схемы
С учетом порядка
Без учета порядка
С повторением
Без повторения
16
1) Выбор с повторением и с учетом порядка (по принципу произведения):
– количество возможностей выбора k элементов из множества с n элементами. При этом
порядок появления элементов важен, а выбранный элемент может быть выбран несколько
раз (размещения с повторениями).
2) Выбор без повторения и с учетом порядка:
– количество возможностей выбора k элементов из множества с n элементами, при этом
порядок выбора элементов важен, но выбранный элемент не может быть выбран повторно
(размещения).
Выбор n элементов из n без повторения и с учетом порядка представляет частный
случай размещений и называется перестановками:
3) Выбор без повторения и без учета порядка:
– выбор происходит k раз из множества с n элементами, при этом выбранный элемент не
может быть выбран повторно, порядок выбора элементов не учитывается (сочетания).
4) Выбор с повторением и без учета порядка:
– выбор происходит k раз из множества с n элементами, при этом выбранный элемент
может быть выбран повторно, но порядок выбора элементов не учитывается (сочетания
с возвращением).
38. При проведении психологического исследования испытуемому предлагают выбрать
одну букву из 26 букв латинского алфавита, одну цифру от 0 до 9 и одну букву из 33 букв
кириллицы. Найти вероятность того, что при случайном выборе он не укажет первые символы
из алфавитов и ноль.
Решение
Формальная запись для Ω и события A:
Получаем для Ω число всех возможных вариантов выбора N = 26 10 33 = 8580. Число
всех возможных вариантов выбора с учетом исключения из рассмотрения указанных символов
(для события A) равно M = 25 9 32 = 7200. Поясним.
Первоначально испытуемый выбирает одну из 26 букв латинского алфавита и далее для
каждого из 26 возможных вариантов подбирает одну из 10 цифр. Очевидно, что если бы на
этом эксперимент останавливался, то у нас было бы ровно 260 возможных исходов, различных
комбинаций элементов из двух множеств: (a,0), (a,1), …, (a,9), (b,0), (b,1), …, (z,9).
Продолжая эксперимент, испытуемый дополнительно к любой случайно выбранной из
260 вариантов комбинации будет выбирать одну из 33 возможных букв кириллицы, что в
конечном итоге и формирует 8580 элементарных исходов, каждый из которых представляет
собой набор из трех элементов, выбираемых из соответствующих множеств.
Вычислим искомую вероятность:
17
Ответ: .
39. В поселке Озерное проживает 100 мужчин трудоспособного возраста (из них
20 безработных), в поселке Заречное – 75 (15 безработных), в селе Красное – 40 человек
(20 безработных). Нужно выбрать по одному из каждого поселка в администрацию района.
Сколько вариантов выбора существует? Событие A = {выбраны только безработные}. Найти
вероятность события A.
Ответ: |Ω| = 300 000, Р(А) = 0,02.
40. На втором курсе изучается 10 предметов, в первый день занятий запланировано три
лекции по разным предметам. Студент не успел узнать расписание и пытается его угадать.
Какова вероятность того, что он правильно угадает расписание – последовательность лекций?
Решение
В этой задаче уже используются комбинаторные схемы.
Чтобы посчитать количество возможностей назначить три различных лекции,
рассуждаем следующим образом.
На первую пару у нас существует возможность выбора из n = 10 предметов, на вторую
пару количество возможных вариантов на один меньше, на третью пару – на два меньше.
Таким образом, используется схема «без повторения и с учетом порядка»:
Получаем, что общее число вариантов выбора равно
вариантов, каждый из которых отличается от другого набора лекций и (или) их
последовательности:
Событие A = {студент угадал расписание} состоит из единственного набора трех лекций,
выбранных в определенном порядке:
.
Следовательно,
Ответ: .
41. Игральная кость подбрасывается трижды. Какова вероятность, что все выпавшие
очки различны?
Решение
Все множество элементарных исходов представляет размещения с повторениями и
учетом порядка:
.
Событие А – множество элементарных исходов, количество которых представляет
размещения без повторений с учетом порядка:
.
Тогда
Ответ: .
42. Пять торговцев парфюмерией вынуждены случайно выбирать по одному из 20
покупателей. Какова вероятность того, что они все предложат товар одному покупателю?
Ответ: Р = 1/160 000.
43. Для того чтобы выбрать 5 человек из 30, начинающий социолог брал случайно числа
от 1 до 30, не обращая внимания на то, что числа могут повторяться. Определить вероятность
того, что хотя бы одного человека ему придется опрашивать более одного раза.
Ответ: Р ≈ 0,296.
18
44. Психологический тест состоит в упорядочении пяти последовательно
расположенных пронумерованных бумажек. Найти вероятность того, что при тестировании
только две соседние бумажки эталонного упорядочения поменялись местами, если
испытуемый действовал случайным образом.
Ответ: Р = 1/30.
45. При проведении социально-психологического исследования тестируется группа из
10 человек. Найти вероятность того, что лидер группы (например, человек под номером «1» в
списке группы) будет протестирован раньше аутсайдера (человека под номером «10»).
Ответ: Р = 1/2.
46. При проведении социально-психологического исследования тестируется группа из
10 человек. Найти вероятность того, что аутсайдер будет протестирован сразу после лидера
группы.
Ответ: Р = 1/10.
47. Обычная неразбериха в фирме, торгующей кремами, привела к тому, что 5 продавцов
вынуждены случайно выбирать для торговли один из 20 домов. Какова вероятность того, что
хотя бы двое из них встретятся в одном доме?
Ответ: Р = 0,4186.
48. Пять студентов (A, B, C, D, E) садятся в 10 вагонов. Какова вероятность того, что A и
E сядут в первый и последний вагоны (либо A в первом, E в последнем, либо наоборот), а
остальные сядут в оставшиеся вагоны?
Ответ: P = 32/3125.
49. Из n = 10 цифр от 0 до 9 наудачу с возвращением выбирается k цифр. Найти
вероятность того, что среди этих выбранных цифр нет двух одинаковых при:
а) k > 10; б) k < 10; в) k = 10.
Ответ: а) б)
; в)
.
50. Подбрасывается четыре стандартные кости (номера на гранях от 1 до 6). Найти
вероятность того, что:
а) только на двух костях выпадут одинаковые очки;
б) только на трех костях выпадут одинаковые очки.
Ответ: а)
; б)
.
1.7. Гипергеометрическое распределение
Пусть теперь из n элементов n1 обладает определенным признаком, нужно выбрать k
элементов так, чтобы k1 из них обладали этим признаком. Тогда вероятность этого события
равна:
Такая вероятность называется гипергеометрическим распределением.
51. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5
второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава выбирают пять человек на
конференцию. Найти вероятность того, что не будет выбрано ни одного второкурсника.
Ответ: Р = 12/143.
19
52. В лотерее 10 билетов, 3 – выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея 4 билета?
Ответ: Р = 5/6.
53. Из группы 10 человек (5 мужчин и 5 женщин) отбирается 6 человек. Определить
вероятность того, что среди них будет не более 2 мужчин.
Ответ: Р = 11/42.
54. 7 яблок, 3 апельсина, 5 лимонов раскладываются случайным образом в 3 пакета таким
образом, чтобы в каждом было одинаковое число фруктов. Найти вероятность того, что в
каждом из пакетов по одному апельсину.
Ответ: Р = 25/91.
55. Из 10 опрошенных человек при ответе на два вопроса о достоинствах городской и
деревенской жизни 5 сказали, что им нравится деревенская жизнь, 7 – что нравится городская
жизнь. Найти вероятность того, что при независимых ответах четверым нравится как
городская, так и деревенская жизнь. Нарисовать матрицу распределения ответов. Какие
значения может принимать k – число респондентов, давших на оба вопроса положительные
ответы?
Указание: Рассмотрите ситуацию так: выберете 5 человек, которым
нравится деревенская жизнь, признак – нравится городская жизнь.
Ответ: P(четверым нравится) = 5/12; k = {2, 3, 4, 5}.
56. Из колоды в 52 карты (4 масти по 13 карт) наудачу и без возвращения выбираются 9
карт. Найти вероятность события A – {попадется не менее 6 трефовых карт или не менее 3
червовых}.
Решение
Разделим событие A на два отдельных события. Тогда
.
Тогда . Других вариантов при девяти
выбранных картах быть не может.
Вероятность второго события проще найти через обратное:
Вероятность этих событий вычисляем через гипергеометрическое распределение:
Искомая вероятность будет найдена по формуле:
Ответ: см. решение.
57. На оружейном складе есть 15 ящиков боевых патронов, 20 ящиков холостых и
5 ящиков трассирующих. В ящике 100 патронов. В магазин автомата АК-74 заряжается
8 наудачу выбранных патронов со склада. Найти вероятность события А = {попадется не
менее 5 холостых патронов или не менее 3 боевых}.
20
58. Имеется колода в 52 карты. Найти вероятности следующих событий: А = {из 7
вытащенных наудачу карт не менее трех – червовые}, В = {из 7 вытащенных наудачу карт не
более шести – червовые} и .
59. Из колоды карт (52 листа) наудачу вынимают n < 52 карт. Найти вероятность события
A, состоящего в том, что среди оставшихся карт:
a) ровно три туза;
б) хотя бы один туз.
Решение
а) Сразу заметим, что число всех возможных элементарных исходов здесь
, т. е. выбор
n карт из 52 возможных без учета порядка и без повторения.
Очевидно, что при n = 0 и n ≥ 50 вероятности события «осталось ровно 3 туза» будут
нулевыми, так как в этих случаях либо не изымается ни одной карты и тузов в колоде остается
четыре, либо оставшихся карт строго меньше трех.
Разберем случай, когда n = 1. Так как необходимо, чтобы в колоде осталось ровно три
туза, единственная вынутая карта должна быть четвертым тузом, иначе результат не будет
достигнут. Число благоприятных исходов будет
, т. е. всего четыре возможности
выбора одной карты из четырех удовлетворяющих нашему событию. Согласно классической
схеме вероятность рассчитывается как отношение удовлетворяющих исходов ко всем
возможным:
Для случая 1 < n < 50 расчет вероятности происходит аналогично, однако количество
извлекаемых карт превосходит 1, а значит, помимо туза нужно вынуть и другие карты, ни одна
из которых не должна быть тузом (иначе в итоге останется менее трех тузов). Таких карт,
отличных от туза, нужно вынуть ровно n – 1 (единица – это вынутый туз) из 52 – 4 = 48
не тузов. Таким образом, используется гипергеометрическое распределение:
б) Пространство элементарных исходов не изменилось, а значит, и число элементов
в нем осталось прежним.
Должен остаться хотя бы один туз, т. е.: один, два, три или четыре. Как и ранее заметим,
что при n = 52 вероятность искомого события будет нулевой, а при n < 4 – единичной, так как
изъять все четыре туза не удастся – хотя бы один останется.
Для случая 3 < n < 49 также используется гипергеометрическое распределение: вынимая
n карт, часть из них может обладать признаком – являться тузом. Вероятность принимает
следующий вид:
где слагаемые в числителе соответствуют исходам – остался один, два, три или четыре туза.
При n = 49, n = 50 и n = 51 из суммы поочередно пропадают соответственно четвертое,
третье и второе слагаемые, так как количество оставшихся тузов не может превышать
количество оставшихся карт.
Ответ: см. решение.
60. Колоду из 36 карт делят на две пачки: a карт и (36 – a) карт, где 0 < a < 36. Найти
вероятность события A, состоящего в том, что:
a) в каждой из пачек оказалось по два туза;
б) в пачках окажется по равному числу красных карт.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]