Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
41
131. Три стрелка делают по одному выстрелу. Результаты выстрелов независимы.
Вероятность попадания в мишень для первого равна 0,5, для второго – 0,1, для третьего – 0,3.
Записать аналитически и нарисовать функцию распределения числа попаданий в мишень.
Ответ:
132. Трое мастеров сделали по одной детали. Результаты работы независимы.
Вероятность первому изготовить бракованную деталь – 0,7, второму – 0,8, третьему – 0,6.
Записать аналитически и нарисовать функцию распределения числа бракованных деталей.
Ответ:
133. В РФ проводятся испытания стратегической ракеты «Булава». Вероятность
удачного пуска равна p. Государственная комиссия примет ракету на вооружение после пятого
удачного пуска. Найти распределение с.в., равной количеству неудачных пусков до пятого
удачного пуска. Предполагается, что испытаний может быть бесконечно много.
Ответ: k = 0, 1, 2, …;
134. Учитель проверяет диктант по русскому языку до наличия седьмого предложения с
ошибками, после чего ставят «неуд». Найти распределение с.в., равной количеству
предложений без ошибок до седьмого предложения с ошибками. Предполагается, что в
диктанте может быть бесконечно много предложений.
Ответ: k = 0, 1, 2, …;
4.2. Функция плотности и непрерывные случайные величины
Случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует
неотрицательная функция
такая, что интеграл от нее равен функции распределения:
Функция
называется функцией плотности с.в. (аналог вероятности в дискретном
распределении).
Свойства функции плотности с.в.:
1. Неотрицательность:
;
2. Если при пределы функции плотности существуют, то они равны нулю:
3.
;
4. Условие нормировки:
42
5. Вероятность попадания в интервал:
Заметим, что для абсолютно непрерывного распределения знаки неравенств не важны
– они могут быть любыми:
С.в. ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a; b] (пишут:
), если
плотность распределения ξ постоянна на отрезке [a; b] и равна нулю вне отрезка:
Функция распределения равномерно распределенной с.в. имеет вид:
С.в. ξ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром α > 0
(пишут:
), если ее функция распределения имеет вид:
Функция плотности с.в., имеющей показательное распределение, равна:
135. На подготовку ответа на экзамене отводится 1 час. Плотность распределения
времени от момента начала подготовки до начала ответа имеет вид
(плотность
растет к концу времени подготовки). Найти функцию распределения и вероятность ответа в
первые и последние 10 минут.
Решение
Для удобства возьмем в качестве единицы измерения час. Из условия задачи функция
плотности имеет вид:
Функция распределения находится из определения абсолютно непрерывного
распределения:
43
Далее найдем вероятности:
Первые 10 минут – это интервал от 0 до 1/6. По пятому свойству функции плотности
получаем:
Последние 10 минут – это интервал от 5/6 до 1. Получаем:
Ответ: P(первые 10 минут) = 1/36; P(последние 10 минут) = 11/36.
136. Функция распределения случайной величины
для ,
для и
для . Найти вероятность того, что эта случайная
величина находится в интервале от –0,4 до 0,4.
Ответ: .
137. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти постоянную c. Найти
.
Решение
Константу находим по четвертому свойству функции плотности – условию нормировки:
Найти искомую вероятность можно, например, через функцию распределения. Для этого
найдем эту функцию:
44
Для
получаем
Таким образом, функция распределения имеет вид:
Искомая вероятность равна:
Ответ: .
138. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти постоянную c. Найти
.
Ответ:
; .
139. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти постоянную c. Записать аналитически и построить график функции распределения
случайной величины ξ.
Ответ: c = 1/2;
140. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти постоянную c. Записать аналитически и построить график функции распределения
случайной величины ξ.
Ответ: c = 2;
45
141. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти постоянную c. Записать аналитически и построить график функции распределения
случайной величины ξ.
Ответ:
;
142. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти постоянную c. Записать аналитически и построить график функции распределения
случайной величины ξ.
Ответ: ;
143. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти постоянную с. Записать аналитически и построить функцию распределения с.в. ξ.
Найти вероятность события {–2 ≤ ξ ≤ 0,5}.
Решение
Константу находим по четвертому свойству функции плотности:
Отсюда
.
Функцию распределения найдем из определения абсолютно непрерывного
распределения:
Для получаем
Таким образом, функция распределения имеет вид:
46
График функции изображен на рис. 4.2 ниже.
Рис. 4.2. График функции распределения с.в.
Искомая вероятность равна
Ответ: см. решение.
144. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти постоянную с. Записать аналитически и построить функцию распределения с.в. ξ.
Найти вероятность события {0 ≤ ξ < 1}.
Ответ:
;
;
.
145. Точка ω = (ω
1
, ω2) выбирается наудачу в треугольнике с вершинами в точках (0, 0),
(0, 2) и (1, 0). Найти функцию распределения и плотность случайной величины ξ (ω) = ω1.
Решение
В нашем случае функция распределения – это
.
На рис. 4.3 заштрихованная область – это множество
точек, для которых выполняется интересующее нас событие
{ω1 < x}.
Чтобы найти вероятность и искомую функцию
распределения, необходимо поделить площадь заштрихованной
фигуры на площадь всего треугольника, т. е. для
получаем:
Функция распределения имеет вид:
Рис. 4.3. Графическая
иллюстрация вероятности
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-2 -1 0 1
2
1
x
47
Продифференцировав, получим и функцию плотности:
Ответ: см. решение.
146. Записать и нарисовать функцию распределения и плотности для равномерного
распределения с параметрами 1 и 2.
Решение
Поскольку параметры равномерного распределения – это границы отрезка, то можно
сказать, что ξ € U
1;2
, т. е. имеет равномерное распределение на отрезке [a;b] = [1;2].
Функция распределения случайной величины имеет вид:
График функции имеет вид:
Рис. 4.4. График функции равномерного распределения для ξ € U
1;2
Плотность распределения (производная от функции распределения) с.в. ξ постоянна,
равна единице на отрезке [1;2] и равна нулю вне него:
График функции плотности:
Рис. 4.5. График функции плотности равномерного распределения для ξ € U
1;2
Напомним, что интеграл от функции плотности (площадь под ее графиком) всегда равен
единице.
Ответ: см. решение.
0
2
1
1
1
2
0
48
147. Время прихода автобуса равномерно распределено с 18:00 до 18:15. Выписать
функцию распределения прибытия автобуса.
Решение
Пусть a = 0 (возьмем 18:00 за точку отсчета), тогда b = 15 минут (18:15) (поскольку мы
находимся в пределах одного часа, то можно записать параметры в таком формате, иначе
нужно было бы переводить в другие единицы измерения). Тогда
минут – длина
интервала времени прибытия автобуса. Поскольку равномерная случайная величина имеет
постоянную плотность на искомом интервале и нулевую вне этого интервала, получаем:
Найдем константу c из условия нормировки плотности:
Откуда находим, что
.
Тогда
Ответ: см. решение.
148. Интенсивность движения маршруток – одна машина раз в двк минуты. Пусть ξ –
время ожидания маршрутки. Выпишите функцию распределения и функцию плотности
случайной величины ξ. Найти вероятность того, что: а) время ожидания маршрутки составит
более 5 минут; б) время ожидания составит менее одной минуты с момента прихода на
остановку.
Решение
Сначала определим среднее количество успехов («успех» – {пришла маршрутка}) в
единицу времени – в течение одной минуты:
Функция распределения времени ожидания маршрутки в точке x – это вероятность, что
придется ждать маршрутку менее x минут:
здесь – вероятность того, что придется ждать маршрутку более х минут. Это означает,
что в промежуток времени от 0 до х не пришло ни одной маршрутки, т. е. число успехов равно
нулю:
.
Тогда функция распределения и функция плотности примут вид:
Искомые вероятности можно найти через функцию распределения или через формулу
Пуассона:
Пусть . Тогда
49
Пусть . Тогда
Ответ: ; .
149. Пусть с.в. ξ имеет распределение B
0,3
, а с.в. η имеет распределение Ea. Случайные
величины ξ и η независимы. Строится новая с.в. ψ = ξη + 1. Найти P(ψ > 1).
Ответ: .
150. Пусть с.в. ξ имеет распределение Bp, а с.в. η имеет распределение U
0;1
. Случайные
величины ξ и η независимы. Строится новая с.в. ψ = ξ + η. Найти P(ψ < 1,5).
Ответ: .
151. Найти P(ξ2 – 4ξ + 1 < –2), если с.в. ξ распределена равномерно на отрезке [1,5;3].
Ответ: Р = 1.
152. Найти P(–3ξ2 – 2ξ + 1 < 1), если с.в. ξ имеет показательное распределение
с параметром e.
Ответ: Р = 1.
4.3. Преобразования случайных величин
При преобразовании дискретных случайных величин меняется таблица
распределения.
Преобразование абсолютно непрерывных с.в. осуществляется с помощью следующих
теорем.
Теорема 1: Пусть с.в. ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с функцией
распределения
. Тогда для любой монотонно возрастающей функции
с обратной функцией , функцией распределения с.в.
будет являться функция
Теорема 2: Пусть с.в. ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с функцией
плотности
. Тогда для любой монотонно возрастающей функции с обратной
функцией , функцией плотности с.в.
будет являться функция
Теорема 3: Пусть с.в. ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с функцией
распределения
. Тогда для любой линейной функции , где , функцией
плотности с.в.
будет являться функция
153. Пусть с.в. ξ имеет следующее распределение:
k
–1 0 2
P(ξ = k)
?
С.в. η получается из с.в. ξ преобразованием η = ξ 2 + 1. Восстановить распределение с.в. ξ.
Построить таблицу распределения с.в. η. Построить функцию распределения с.в. ψ = ξ·η.
Найти вероятность события {–1 ≤ ψ < 5}.
50
Решение
Очевидно, что недостающая вероятность равна 1/4.
Найдем таблицу распределения с.в. η, используя формулу: η = ξ 2 + 1:
Значения ξ (k1)
–1 0 2
Значения η (k2)
P(η = k2) = P(ξ = k1)
Упорядочив значения полученной с.в. по возрастанию, получим искомую таблицу
распределения с.в. η:
k
1 2 5
P(η = k)
0,25
0,5
0,25
Найдем таблицу распределения с.в. ψ, используя формулу: ψ = ξ·η или ψ = ξ 3 + ξ.
Значения ξ (k1)
–1
0
2
Значения ψ (k2)
P(ψ = k2) = P(ξ = k1)
Получили следующую таблицу с.в. ψ:
k
–2 0 10
P(η = k)
0,5
0,25
0,25
Теперь запишем функцию распределения этой с.в.:
Искомая вероятность равна
Ответ: см. решение.
154. Пусть с.в. η имеет следующее распределение:
k
–2
–1
1
P(η = k)
?
С.в. ξ получается из с.в. η преобразованием ξ = η4 – 1. Восстановить распределение с.в. η.
Построить таблицу распределения с.в. ξ. Построить функцию распределения с.в. ψ = ξ + η.
Найти вероятность события {0 <ψ <7}.
Ответ:
155. Пусть с.в. ξ имеет следующее распределение:
k
–1 0 2
3
P(ξ = k)
?
С.в. η получается из с.в. ξ преобразованием η = 2ξ + 1. Восстановить распределение с.в. ξ.
Найти распределение с.в. η. Построить функцию распределения
.
Ответ:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]