Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
31
Из урны В берется один шар, он оказывается белым. Что более вероятно: из урн А и С были
вынуты шары разного цвета или одного?
Ответ: Шары разного цвета.
99. В городе «Н» на 1000 автомобилей лишь 220 – «Мерседесы». Водители «Мерседесов»
совершают правонарушения, влекущие за собой лишение водительских прав, с вероятностью
85 %. Остальную массу автомобилей составляют автомобили «ЛАДА» 3-й, 6-й и 9-й серии
в равных пропорциях. Водители «ЛАДЫ» нарушают правила дорожного движения и
подвергаются лишению водительского удостоверения с вероятностями 0,15, 0,2 и 0,35. За
день, как правило, более одного нарушения не случается. Водитель автомобиля какой марки с
большей вероятностью лишится прав в один из обычных дней в городе «Н»?
Ответ: Водитель «Мерседеса».
32
3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
3.1. Распределение Бернулли и биномиальное распределение
Пусть проводится эксперимент, в результате которого произойдет «успех» (например,
выпадет единица) с вероятностью
или «неудача» (например, выпадет ноль) с
вероятностью .
Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром p (пишут: Bp), если
она принимает значение 1 с вероятностью и 0 с вероятностью .
Распределение Бернулли может быть записано в виде таблицы:
k
0
1
1 – p
p
Схема Бернулли – это последовательность независимых испытаний, в каждом из
которых возможен «успех» с вероятностью или «неудача» с вероятностью
.
Пусть проводится серия из n независимых испытаний по схеме Бернулли. Нас
интересует количество полученных «успехов» k и вероятность получения этого числа.
Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами и
(пишут: B
n,p
), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями
.
Биномиальное распределение может быть записано в виде таблицы:
k
0
1
… k …
n
Заметим, что сумма этих вероятностей дает единицу.
Наиболее вероятное число успехов в серии из n испытаний с вероятностью
«успеха» p:
Для вероятность возрастает с ростом k, для ,
наоборот, вероятность
убывает с ростом k.
Квадратные скобки здесь означают взятие целой части числа.
100. 10 % студентов сдают экзамен по теории вероятностей на «отлично». Какова
вероятность того, что
а) из 12 студентов все получат «отлично»;
б) из 10 студентов ни один не получит «отлично»;
в) из 10 студентов хотя бы один получит пятерку?
Ответ: а) Р = 0,112; б) Р = 0,910; в) Р = 1 – 0,910.
101. В зачетной книжке пятикурсника в графе «высшая математика» стоит
«удовлетворительно», «хорошо» и «отлично» с вероятностями соответственно 0,2, 0,5 и 0,3.
Какова вероятность того, что в выборке из восьми студентов будет хотя бы один отличник
и хотя бы один троечник?
Указание: Отдельно рассмотреть события А = {хотя бы один отличник}, В = {хотя бы один троечник},
тогда требуется определить Р(АВ). Для нахождения всех вероятностей используйте обратные события.
Ответ: .
102. Из колоды карт (36 листов) наудачу с возвращением извлекают m карт. Какова
вероятность того, что среди них окажется ровно l бубновых карт?
Ответ:
при некоторых ограничениях на m и l.
33
103. Какое событие вероятнее: A = {при бросании четырех игральных костей хотя бы на
одной получить единицу} или B = {при 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз получить
дубль единиц}?
Ответ: Вероятнее событие A.
104. Четыре раза подбрасывается пара игральных костей. Какова вероятность того, что
сумма очков, равная 10, выпадет не менее двух раз?
Ответ: .
105. По данным государственной статистики студенты одного из городов составляют
5 % трудоспособного населения. Сколько человек нужно опросить при формировании
случайной выборки, чтобы в выборку с вероятностью не менее 0,99 попал хотя бы один
студент?
Решение
Пусть событие А = {житель города – студент}, тогда P(A) = 0,05; событие B = {среди N
опрошенных оказался хотя бы один студент}, тогда P(B) ≥ 0,99.
Слова «хотя бы» в формулировке события B указывают на необходимость рассмотреть
обратное событие = {среди N опрошенных нет ни одного студента}. Тогда
.
Процесс опроса здесь удобно интерпретировать как последовательность повторных
независимых испытаний: опрашивается N человек – проводится N испытаний по поиску
студента; успех в каждом испытании – «нашли студента»; вероятность успеха – это есть
вероятность события A; событие
означает, что за все N испытаний не произошло ни одного
успеха.
Вероятность события
равна:
Получаем
.
Далее логарифмируем неравенство и выражаем N:
Знак неравенства поменяли на противоположный, так как ln 0,95 – отрицательное число.
Поскольку N – целое число, то минимальное количество опрошенных людей –
90 человек.
Ответ: нужно опросить не менее 90 человек.
106. Замечено, что по утрам 30 % людей любят выпить холодной воды. Какого размера
должна собраться компания (т. е. нужно найти N), чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9 хотя
бы один из компании попросил холодной воды?
Ответ: Не менее семи человек (N ≥ 6,4).
107. Долгие годы социологических опросов показали, что при работе с группой из десяти
человек в 20 % случаев все респонденты готовы отвечать на вопросы. Какова вероятность
отказа отдельного респондента (найти параметр p)?
Ответ:
.
108. Доказать формулу для нахождения наиболее вероятного числа успехов в схеме
Бернулли из n испытаний с вероятностью «успеха» равной p.
109. При расстреле полного рожка автомата АК-74 (30 патронов) на дистанции 600 м
вероятность попадания одного выстрела в цель 1/4. Найти наиболее вероятное число
попаданий и вероятность этого числа попаданий.
34
Решение
Наиболее вероятное число попаданий биномиального распределения вычисляется по
формуле . Таким образом, в нашем случае
.
Искомая вероятность равна
.
Ответ: k0 = 7; P ≈ 0,166.
110. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее количество появлений
числа очков, кратного трем.
Ответ: k0 = 5.
111. Правильный тетраэдр с пронумерованными гранями (1, 2, 3, 4) бросается 20 раз.
Найти наивероятнейшее количество появлений числа очков, кратного двум.
Ответ: k0 = 10.
3.2. Распределение Пуассона
Теорема Пуассона: Если и , так что , то
Случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ > 0 (пишут: Пλ),
если она принимает значения 0, 1, 2, … с вероятностями:
Распределение Пуассона может быть записано в виде таблицы:
k
0 1 2
… k …
…
…
Заметим, что сумма этих вероятностей дает единицу.
Параметр λ называется интенсивностью потока и показывает среднее количество
успехов в единицу времени.
Вероятность получить k успехов за время x, если в среднем происходит λ успехов
в единицу времени, равна:
Поскольку распределение Пуассона является следствием биномиального распределения,
то также до некоторого значения k
0
вероятность
возрастает с ростом k, а затем
убывает.
112. В бюро по трудоустройству в среднем за неделю приходит 160 человек. Какова
вероятность, что при 40-часовой рабочей неделе в среду с 11 до 12 не придет ни одного
человека? Какова вероятность того, что это будет «трудный час» и в бюро придет сразу 7
человек?
Решение
Среднее число посетителей в час (параметр λ) получается делением 160 на 40 : λ = 4.
Тогда вероятность того, что не придет ни одного посетителя (т. е. k = 0) составит:
35
В данном случае под параметром λ можно понимать данное по условию среднее число
приходящих за неделю людей (λ = 160), но тогда считаем вероятность 0 успехов за время
x = 1/40 недели (переменная x должна быть выражена в тех же единицах времени, для
которых посчитано среднее число успехов – в неделях!):
Аналогично рассчитывается вторая вероятность (на второй вопрос задачи):
Ответ: вероятности равны 0,018 и 0,06 соответственно.
113. В год на пограничном посту в среднем предотвращают 78 попыток провоза крупных
партий контрабанды. Какова вероятность того, что за две недели будет предотвращена ровно
одна попытка; будет предотвращено не менее четырех таких попыток?
Решение
Когда речь идет о среднем количестве «успехов» в единицу времени, неявно
подразумевается, что имеем дело с распределением Пуассона.
За год в среднем 78 предотвращений, в году 52 недели, тогда за 2 недели в среднем
3 предотвращения λ = 3.
Значит для события {будет предотвращена ровно одна попытка за 2 недели}:
для события {будет предотвращено не менее 4 попыток за 2 недели}:
Ответ: вероятности равны 0,149 и 0,353 соответственно.
114. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти
вероятность того, что за две секунды не поступит ни одного вызова, а также вероятность того,
что за секунду поступит не менее трех вызовов.
Ответ: а) ; б) .
115. В среднем на телефонной станции заказывают три телефонных разговора в течение
двух минут. Какова вероятность, что будет заказано: а) три разговора; б) больше четырех
разговоров в течение пяти минут?
Ответ: а) P ≈ 0,039; б) P ≈ 0,868.
116. В среднем в Якутск за день прилетает около двух самолетов из Новосибирска. Если
достаточное количество пассажиров не набирается, – вылет отменяют. Найти вероятность
того, что: а) в течение 54 часов в Якутск не прилетит ни одного самолета; б) прилетит более
трех самолетов.
Ответ: а) P ≈ 0,011; б) P ≈ 0,658.
117. В компании, сдающей на прокат две автомобиля, спрос на автомобили в среднем
составляет 1,3 автомобиля в день. Предположим, машины используются в равной степени.
Какова вероятность того, что в любой из дней: а) ни на одну машину не будет заказов;
б) ровно одна из машин будет арендована; в) обе машины будут арендованы.
Ответ: а) P ≈ 0,273; б) P ≈ 0,354; в) P ≈ 0,373.
36
118. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наиболее вероятное число
опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа.
Указание: Нужно вывести формулу наиболее вероятного числа успехов для
распределения Пуассона (по аналогии с биномиальным распределением).
Ответ: k0 = 2; P ≈ 0,251.
119. В среднем в корзине торговца яблок имеется два зеленых яблочка. Покупатель
покупает яблоки с вероятностью 0,7, если в корзине все яблоки красные; с вероятностью 0,5,
если в корзине одно яблоко зеленое; с вероятностью 0,3, если зеленых яблок больше одного.
Покупатель не купил яблоки. Сколько же зеленых яблок было в корзине вероятнее всего: ни
одного, одно или больше одного?
Указание: Задача на формулу Байеса. Для вычисления вероятностей
гипотез используйте распределение Пуассона.
Ответ: Вероятнее всего в корзине было более одного зеленого яблока.
120. В НИИЧАВО (Научно-исследовательском институте чародейства и волшебства)
кадаврик взрывается от переедания в среднем раз в неделю. Какова вероятность того, что
кадаврик взорвется, по крайней мере, по прошествии трех недель, начиная с заданного
момента? Через x недель?
Решение
По условию задачи λ = 1 (взрыв в неделю). «Успех» – это взрыв кадаврика.
Событие {кадаврик взорвется, по крайней мере, по прошествии трех недель, начиная с
заданного момента} можно перефразировать как {кадаврик проживет, по крайней мере, три
недели (а может и больше)}. Это означает, что {за первые три недели взрывов («успехов»)
точно не будет}.
Получаем событие, вероятность которого нужно найти, – это событие A = {0 успехов за
время x = 3 недели}. Вероятность этого события равна:
Вторая вероятность (ответ на второй вопрос) – это более общий случай. Вероятность
равна:
Ответ: вероятности равны 0,05 и
соответственно.
121. В городе в день совершается в среднем пять преступлений. Сколько времени (t)
должно пройти, чтобы первое преступление было совершено с вероятностью 0,7?
Ответ: t ≈ 0,071 дня.
37
4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
4.1. Функция распределения и дискретные случайные величины
Случайная величина (с.в.) ξ – это такая функция , для которой множество
является событием для любого .
Таким образом, случайная величина организует соответствие между элементарными
исходами эксперимента и действительными числами.
Функцией распределения (ФР) случайной величины называется функция
такая, что для любого
Смысл функции распределения в том, что она указывает вероятность события
{выпадение исхода, численное значение от которого (по функции ) меньше наперед заданного
значения аргумента x}.
При решении задач обычно абстрагируются от самих элементарных исходов и говорят,
что функция распределения случайной величины в точке равна вероятности того, что
случайная величина примет значение, меньшее, чем .
Свойства функции распределения с.в.:
1. Ограниченность:
.
2. Существование пределов:
3. Непрерывность слева:
4.
5. Функция распределения не убывает при движении ее аргумента слева направо:
6.
Важнейшим условием использования последнего свойства ФР является замкнутость
интервала слева и открытость справа.
Случайная величина имеет дискретное распределение, если с.в. принимает конечное
или счетное количество значений.
Примеры дискретных распределений: распределение Бернулли Bp, биномиальное
распределение B
n,p
, распределение Пуассона Пλ.
122. Записать аналитически и построить график функции распределения для с.в.,
имеющей распределение Бернулли с параметром p = 0,4. Найти значения
в точках –1; 0;
0,5; 1 и 2.
Решение
Данная случайная величина принимает два значения. Ее условно можно изобразить
следующим образом:
Функция распределения формируется следующим образом.
Поскольку случайная величина принимает всего два значения 0 и 1, то необходимо
рассмотреть три интервала для величины x:
,
и
.
Если x из первого интервала, то нет ни одного значения с.в. ξ, которое было бы строго
меньше этого x. Значит, вероятность этого события равна нулю.
38
Если x из второго интервала, т. е. одно значение с.в. ξ, которое строго меньше этого x, –
это 0. Значит, вероятность этого события равна вероятности P(ξ = 0) = 1 – p = 0,6.
Если x из третьего интервала, то все значения с.в. ξ строго меньше этого x. Значит, это
событие – достоверное, вероятность этого события равна единице.
Получаем:
График функции распределения изображен на рисунке ниже:
Рис. 4.1. График функции распределения с.в. с распределением B
0,4
Найдем значения ФР в указанных точках. Можно провести аналогичные рассуждения,
можно воспользоваться полученной функцией распределения.
Ответ: см. решение.
123. Построить таблицу распределения. Записать аналитически и построить график
функции распределения для с.в. с распределением B
2,0,5
.
Ответ:
k 0 1 2 P(ξ = k)
0,25
0,5
0,25
124. Записать аналитически и построить график для с.в. η с распределением:
k
–2 1 3
P(η = k)
0,5
0,1
0,4
Найти вероятность события{–2 < η < 3}.
Решение
Функция распределения – это вероятность:
.
Поскольку случайная величина принимает всего три значения –2, 1 и 3, то необходимо
рассмотреть четыре интервала для величины x:
,
,
и
.
Если x из первого интервала, то нет ни одного значения с.в. η, которое было бы строго
меньше этого x. Значит, вероятность этого события равна нулю.
Если x из второго интервала, т. е. одно значение с.в. η, которое строго меньше этого x:
это –2. Значит, вероятность этого события равна вероятности P(η = –2) = 0,5.
Если x из третьего интервала, т. е. уже два значения с.в. η строго меньшие этого x: это –
2 и 1. Событие
реализуется, если с.в. приняла любое из этих значений, нужно сложить
эти вероятности: .
Fξ(x)
1
0.6
0 1 x
39
Если x из четвертого интервала, то все значения с.в. η строго меньше этого x. Значит, это
событие – достоверное, вероятность этого события равна единице.
Получаем:
Для расчета попадания с.в. в интервал с помощью функции распределения по ее свойству
6 требуется, чтобы левая точка была включена в интервал, а правая нет. В нашем случае
условие не выполняется.
Для дискретных величин предлагается определять, какие значения с.в. попадают
в требуемый интервал, и сложить вероятности этих значений.
Получаем:
Можно посчитать и другим способом:
Ответ: .
125. Записать аналитически и построить график для с.в. ξ с распределением:
k
–1 0 2
P(ξ = k)
0,3
0,5
0,2
Найти вероятность события {–1 ≤ ξ < 2}.
Ответ: .
126. Записать аналитически и построить график для с.в. φ с распределением:
k
–2 0 1
5
P(φ = k)
0,1
0,3
0,2
0,4
Найти вероятность события {0 < φ ≤ 5}.
Ответ: .
127. Записать аналитически и построить график для с.в. ψ с распределением:
K
–3
–1 1 3
P(ψ = k)
0,1
0,2
0,6
0,1
Найти вероятность события {–1 ≤ ψ ≤ 3}.
Ответ: .
128. Распространитель (первый торговец) фирмы Avon в схеме сетевого маркетинга
в течение месяца с вероятностью 0,3 может исчезнуть с рынка, с вероятностью 0,7 найти еще
одного торговца, с которым может произойти то же самое. При этом распространитель не
уходит с рынка, когда нашел другого торговца, но прекращает самостоятельные поиски новых
торговцев. Описать функцию распределения числа торговцев, оставшихся и появившихся по
прошествии двух месяцев в ячейке сети маркетинга, начатой этим распространителем.
Решение
Опишем, какие возможны исходы к концу второго месяца:
ω1 = {распространитель исчез с рынка в первый месяц}, k = 0.
ω2 = {найден торговец в первый месяц, который исчез с рынка во втором месяце,
распространитель, прекратив поиски, продолжает работать}, k = 1.
40
ω3 = {найден торговец в первый месяц, который нашел торговца во втором месяце,
распространитель, прекратив поиски, продолжает работать}, k = 3.
Вероятности этих исходов следующие:
Сумма вероятностей этих исходов равна единице.
В этом случае распределение случайной величины описывается таблицей:
k
0 1 3
P(ξ = k)
0,3
0,21
0,49
Тогда функция распределения числа торговцев будет иметь вид:
Ответ: см. решение.
129. Из четырех претендентов на два места продавца-консультанта в фирме «Мангуста»
двое имели опыт работы в торговых фирмах. Найти функцию распределения числа опытных
продавцов из двух претендентов, принятых в фирму случайно.
Решение
Случайной величиной ξ в данной задаче является число опытных продавцов из двух
принятых претендентов. Тогда ξ – дискретная случайная величина, принимающая значения 0,
1, или 2.
Выбор этих продавцов состоит в выборе двух человек из четырех, двое из которых
обладают признаком «опытный продавец». Получаем, что вероятности для ξ определяются
с помощью гипергеометрического распределения. Например, для 0:
Получаем следующее распределение случайной величины:
k
0 1 2
P(ξ = k)
1/6
4/6
1/6
Тогда функция распределения примет вид:
Ответ: см. решение.
130. Саженец груши стоит 20 руб., саженец яблони – 15 руб. Груша приживается
с вероятностью 0,8, яблоня – с вероятностью 0,9. Найти функцию распределения возможных
потерь при посадке яблони и груши, если приживаемость груши не зависит от приживаемости
яблони.
Ответ:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]