Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
21
2. ВЕРОЯТНОСТИ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ
2.1. Условная вероятность
Если нам априорно известно, что произошло некоторое событие , то это
означает, что, каково бы ни было изначальное Ω, в дальнейшем реализоваться мог лишь
элементарный исход, принадлежащий B. В этом случае вероятность любого другого события
A из Ω будет определяться не количеством элементарных исходов, входящих в A,
а количеством элементарных исходов, принадлежащих одновременно A и B.
Условная вероятность события A относительно B – это вероятность, вычисляемая
по следующей формуле:
Для условного события можно считать, что мы находимся в новом пространстве
элементарных исходов B. Тогда расчет условной вероятности можно производить в условиях
нового пространства элементарных исходов B, а не Ω:
61. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало
4 очка, если известно, что на второй кости выпало больше очков, чем на первой?
Решение
Весь эксперимент удобно представить в виде следующей схемы (рис. 2.1): исходам
множества Ω соответствуют 36 клеток квадрата – сверху число очков, выпавшее на первой
кости, сбоку – число очков, выпавшее на второй кости. Событие A – {на первой выпало 4 очка}
– это клетки с серой заливкой. Событие B – {на второй выпало число очков большее, чем на
первой} – это клетки с горизонтальной штриховкой. Две клетки с темной горизонтальной
штриховкой – это исходы, соответствующие пересечению событий A и B.
1 2 3 4 5 6
1
2 А
3
4
5 В
6
Рис. 2.1. Графическая интерпретация эксперимента
Исходя из условия – найти вероятность события A при известном событии B – ясно, что
требуется найти условную вероятность P(A | B).
Получаем:
Ответ: .
22
62. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на
них очков равна 8, если известно, что эта сумма есть четное число?
Ответ: Р = 5/18.
63. В магазине 10 булок хлеба: 6 белых и 4 черных. Покупатель случайно выбрал две из
них. Событие A = {первая булка черная}, B = {вторая булка белая}. Найти условную
вероятность P(A | B).
Ответ: Р = 4/9.
64. Верны ли следующие равенства:
а)
; б)
?
Ответ: а) да; б) нет.
2.2. Формулы умножения вероятностей и независимость событий
Из определения условной вероятности следует формула умножения вероятностей для
двух событий:
Формула умножения вероятностей для трех событий:
Общая формула умножения вероятностей для n событий:
События называются независимыми (попарно независимыми), если
Для независимых событий справедливы следующие равенства:
Несовместные события всегда зависимы, следовательно, независимые события
всегда совместны. Обратное верно не всегда.
65. Выразить условную вероятность P(C | AB) через обычные вероятности P(A), P(B),
P(C), P(AB), P(BC), P(AC) и P(ABC).
66. При проведении социально-психологического эксперимента группе из 12 человек
(восемь мужчин и четыре женщины) предложено разделиться на группы по три человека.
Какова вероятность того, что в каждой группе будет ровно одна женщина? Опишите, что
в данной задаче является условной вероятностью.
Ответ: Р = 9/55.
67. После окончания университета 15 % выпускников остаются работать в институтах
Академгородка, из них 60 % не удается защитить кандидатскую диссертацию, но если уж
защитил кандидатскую диссертацию – с вероятностью 20 % бывший выпускник защитит в
Академгородке докторскую диссертацию. Определить вероятность максимального успеха в
науке.
Ответ: Р = 0,012.
68. На сессии студенты сдают три экзамена. Микроэкономику сдают 80 % студентов.
Среди студентов, сдавших микроэкономику, 90 % сдают математику. Среди студентов,
сдавших первые два экзамена, лишь 5 % проваливаются на информатике. Какова вероятность
сдать сессию без провалов?
Ответ: Р = 0,684.
23
69. Вероятность того, что собеседник откажется отвечать на вопрос об отношении
к частному бизнесу, равна 0,2; вероятность того, что он не сообщит об объеме своих
сбережений, равна 0,5. Какова вероятность того, что при независимых ответах собеседник
ответит на оба вопроса? Не ответит ни на один вопрос? Ответит на один из вопросов?
Решение
Обозначим события: А = {дан ответ на первый вопрос}, В = {дан ответ на второй
вопрос}. Тогда:
P(A) = 1 – 0,2 = 0,8, P(B) = 1 – 0,5 = 0,5.
В задаче требуется найти вероятности: , и .
В силу независимости ответов получаем значения вероятностей:
Ответ: , и .
70. Первый менеджер по продажам фирмы «Фармацея» работает с контингентом, на
70 % состоящим из людей с высшим образованием; второй – с киоскерами, 50 % которых
имеют высшее образование. К первому обратились четыре раза, ко второму – два раза. Какова
вероятность того, менеджеры имели дело только с людьми с высшим образованием?
Ответ: Р ≈ 0,06.
71. Для проверки компетентности сотрудников двух филиалов фирмы взяли по
представителю из каждого филиала. В первом филиале 5 руководителей, 11 инженеров,
8 рабочих; в другом, соответственно, 10 руководителей, 8 инженеров и 6 рабочих. Какова
вероятность, что в этих лабораториях будут отобраны лица одного статуса?
Ответ: Р = 31/96.
72. Институт истории и институт экономики независимо друг от друга на одном и том
же предприятии проводят обследование на выборках объема соответственно 10 и 20 % от
численности институтов. Какова вероятность, что сотрудник предприятия попадет
в обследование?
Ответ: Р = 0,28.
73. Для успешной работы на предприятие необходимо принять рабочего, имеющего
высшее техническое образование. Вероятность случайно наткнуться на рабочего, не
имеющего высшего технического образования, равна 0,2. Какова вероятность того, что
придется сделать более трех попыток поиска работника?
Ответ: P = 0,23.
74. Три пушки одновременно стреляют в цель. Вероятность поражения мишени у всех
пушек одинакова и равна 1/3. Найти вероятность, что мишень была сбита.
Ответ: Р = 19/27.
75. Два стрелка независимо друг от друга совершают по два выстрела в общую мишень.
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После
стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова безусловная вероятность, что
в мишень попал первый стрелок?
Ответ: Р = 0,1152.
76. Трое охотников одновременно выстрелили по кабану, но только одна из пуль попала
в цель, сразив кабана наповал. Найти безусловные вероятности того, что зверь убит первым,
24
вторым и третьим охотником, если вероятности попадания в цель для них соответственно
равны 0,2; 0,4; 0,6.
Ответ: Р = 0,048; Р = 0,128; Р = 0,288.
77. События A и B независимы, показать независимость:
а) и
;
б) и
.
Решение
а) Исходя из определения независимости двух событий, необходимо показать, что
Воспользуемся выражением для вероятности противоположного события,
соотношением двойственности и формулой сложения вероятностей:
В силу независимости событий A и B имеем
.
Остается лишь сгруппировать слагаемые:
Пункт (б) сделать самостоятельно.
78. События и
независимы, показать независимость:
а)и
;
б) и .
2.3. Независимость событий в совокупности
События
называются независимыми в совокупности, если для
любого (!) набора из m событий, где 2 ≤ m ≤ n, выполняется равенство:
Это означает, что для проверки независимости n событий в совокупности необходимо
проверить выполнение указанного равенства для любой пары, тройки и так далее до n
событий.
79. Бросаются три игральные кости. Событие А = {на первой и второй костях выпало
одинаковое число очков}, событие В = {на первой и третьей костях выпало одинаковое число
очков}, событие С = {на второй и третьей костях выпало одинаковое число очков}. Зависимы
или нет события А, В, С в совокупности?
Решение
Вычислим вероятности событий и их пересечений. Так как бросаются три кости, то
– число вариантов выбора с учетом порядка и с возвращением.
Если условно предположить, что мы бросаем кости по очереди, то на первой кости может
выпасть любое число, т. е. любому рассматриваемому событию удовлетворяет любая из шести
возможных граней.
При бросании второй кости (для события A) имеется только один удовлетворяющий
событию исход – должна выпасть та же грань, что и на первой кости. Двум другим событиям
вновь удовлетворяет любая выпавшая грань второй кости.
Событию A вновь удовлетворяет любая выпавшая на третьей кости грань, а событиям B
и C – только одна грань, выпавшая соответственно на первой и второй костях. Следовательно,
получаем:
25
Аналогично вычислим вероятности парных пересечений событий. Фактически для всех
трех случаев мы будем иметь ситуацию, когда в трех бросаниях выпадает одинаковое число
очков. Например, к пересечению событий А и В относятся те, у которых равное число очков
в первом и втором бросании по условиям события А и в первом и третьем бросании по
условиям события В. В остальных двух пересечениях ситуация аналогичная.
Все эти события попарно независимы, так как для любой пары событий выполняется
Рассмотрим вероятность пересечения трех событий. Из условия формирования событий
А, B и С очевидно, что к их пересечению относятся только те случаи, когда во всех трех
бросаниях выпадали одинаковые грани. Таких вариантов всего шесть – по числу граней, и
Из этого следует, что события зависимы в совокупности:
Ответ: события зависимы в совокупности.
80. Бросаются две игральные кости. Событие А = {на первой кости выпало нечетное
число очков}, событие В = {на второй кости выпало нечетное число очков}, событие
С = {сумма очков на обоих костях нечетна}. Зависимы или нет события А, В, С попарно и
в совокупности?
Ответ: События попарно независимы и зависимы в совокупности.
81. Один из преподавателей имеет дефекты речи; второй – торопится, излагая материал;
третий читает материал по книге; четвертый имеет все три недостатка. Пусть А, В, С – события,
состоящие в том, что случайно направленный в группу преподаватель обладает
соответствующим недостатком. Независимы ли эти события попарно и в совокупности?
Ответ: События попарно независимы и зависимы в совокупности.
82. В каждой из трех урн лежит по три шара. На шарах в первой урне написаны числа
{1, 2, 3}, во второй урне – числа {2, 3, 4}, в третьей – числа {3, 4, 5}. Из каждой урны наудачу
вынимается по шару. Пусть a, b, c – числа на шарах, вынутых из первой, второй и третьей урн
соответственно. Найти вероятности
,
,
и проверить независимость
трех обозначенных событий в совокупности.
Ответ: Вероятности
,
и 0 соответственно. События зависимы в совокупности.
83. Следует ли из независимости событий A, B, C в совокупности независимость событий
и C? Если «да» – доказать, если «нет» – привести пример.
26
2.4. Формула полной вероятности
Полная группа событий – это совокупность событий,
удовлетворяющая следующим условиям (рис. 2.2):
1) события попарно несовместны:
2) события образуют разбиение пространства
элементарных исходов, т. е. их объединение дает Ω:
Для полной группы событий выполняется соотношение
Рис. 2.2. Графическая
интерпретация полной
группы событий и формулы
полной вероятности
Для полной группы событий справедлива следующая формула полной вероятности для
вычисления вероятности некоторого события A (см. рис. 2.2):
Например, для трех событий вероятность события A можно найти сумму трех
вероятностей:
что с учетом определения условной вероятности
,
и составляет формулу полной вероятности:
События
называют гипотезами по отношению к событию А.
Вероятности
здесь трактуются как априорные вероятности гипотез, т. е.
известные до проведения эксперимента, в котором получено событие A.
84. На гуманитарном факультете университета учится 80 % девушек, на ФЕНе – 50 %
парней, среди физиков и математиков 90 % – парни. Гуманитарный факультет и ФЕН
составляют по 20 % учащихся университета, остальные 80 % являются студентами физикоматематического факультета. Президентским стипендиатом может стать единственный
студент. Какова вероятность, что это будет парень?
Решение
Студенты университета представляют все элементарные исходы. По условию задачи
гуманитарный факультет, ФЕН и физико-математический факультет в совокупности
составляют множество студентов всего университета и их попарное пересечение пусто, из
чего следует, что они составляют полную группу событий, т. е. являются гипотезами
.
Вероятности
;
;
в сумме дают единицу.
По условию задачи необходимо найти вероятность события A = {случайно выбранный
студент является парнем} с использованием формулы полной вероятности.
Условные вероятности события A в зависимости от того, на каком факультете мы
проводим выбор, по условию задачи равны:
;
;
.
Подставив полученные вероятности в формулу полной вероятности, получим:
A
H
1
H
2
H
3
27
Ответ: .
85. Три поставщика снабжают магазин помидорами в соотношении 5:8:7 (на каждые
5 помидоров первого поставщика приходится 8 помидоров второго и 7 помидоров третьего).
Примерно 90 % всех помидоров от первого поставщика свежие, а второй и третий поставщики
имеют соответственно 85 % и 75 % свежих помидоров в общем числе своих поставок. Найти
вероятность того, что случайным образом взятый помидор окажется свежим.
Ответ: Р = 0,8275.
86. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса. Студент знает
только 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для сдачи
достаточно ответить на два вопроса из билета или на один вопрос из этого билета и
дополнительный вопрос из оставшегося списка.
Ответ: Р = 190/203.
87. В первой урне 7 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 6 черных. Из каждой
урны потеряно по одному шару. После этого шары из обеих урн ссыпали в одну и взяли два
шара. Найти вероятность того, что белый шар вынут ровно один раз.
Решение
Событие, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что были выбраны один
белый и один черный шары:
Далее нужно сформулировать гипотезы. Самый простой способ их правильно выбрать –
определить, от чего зависит событие A. В нашем случае то, какие шары будут выбраны,
зависит от того, что ссыпали из двух первых урн, или, по-другому, – что потеряли из этих урн.
Тогда гипотезы можно сформулировать так:
Проверим, что эти гипотезы образуют полную группу событий, т. е.
Вероятность каждого такого события можно найти как произведение вероятности
«потери шара из первой урны» и вероятности «потери шара из второй урны» (эти ситуации –
независимые события), а каждая такая вероятность легко вычисляется как отношение числа
шаров определенного цвета в урне к общему числу шаров в этой урне:
так как третья гипотеза состоит из двух несовместных исходов, то вероятность этой гипотезы
равна сумме вероятностей исходов.
28
Поскольку все три рассмотренные гипотезы также несовместны (не содержат
одинаковых исходов) и сумма их вероятностей равна 1, то они образуют полную группу
событий:
Чтобы воспользоваться формулой полной вероятности и найти вероятность события A,
нужно определить условные вероятности событий «вынут Б и Ч шар (событие A), если
реализовалась потеря Hi». Эти вероятности находим с помощью формулы
гипергеометрического распределения, так как из урны вынимается сразу несколько шаров.
Получаем:
Если потеряли H1, то в последней урне {11 Б и 6 Ч} вероятность:
Если потеряли H2, то в последней урне {9 Б и 8 Ч} вероятность:
Если потеряли H3, то в последней урне {10 Б и 7 Ч} вероятность:
Наконец, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность события A:
Ответ: .
88. В первой урне 7 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 6 черных, в третьей –
5 белых, 5 черных. Из выбранной наугад урны вытянули два шара. Найти вероятность того,
что выбран черный и белый шар.
Ответ: Р ≈ 0,493.
89. В первой урне 3 белых и 7 черных шара, во второй – 6 белых и 4 черных, в третьей –
5 белых, 5 черных. Из выбранной наугад урны вытянули два шара. Найти вероятность того,
что оба выбранных шара – белые.
Ответ: Р ≈ 0,207.
90. В первой урне 2 белых и 6 черных шара, во второй – 4 белых и 5 черных. Из первой
урны потеряли два шара. После этого шары из обеих урн ссыпали в одну и взяли два шара.
Найти вероятность того, что черный шар был вынут ровно один раз.
Ответ: Р ≈ 0,495.
91. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимаются наудачу 2 шара и
перекладываются во вторую урну, содержащую 3 белых и 3 черных шара. Из второй урны
вынут шар. Каков его наиболее вероятный цвет?
Указание: Сравните полные вероятности событий A = {из второй урны
вынут шар белого цвета} и В = {из второй урны вынут шар черного цвета}.
Ответ: Более вероятно событие B.
29
2.5. Формула Байеса
Если произошло событие A, то какая из гипотез наиболее вероятна?
Условная вероятность осуществления гипотезы
при условии, что событие А
произошло, определяется по формуле Байеса:
где
– условная вероятность случайного события
при условии выполнения события
A.
Для применения указанных формул необходимо правильно определять:
– события, являющиеся гипотезами
(по свойству полной группы событий сумма их
вероятностей равна
);
– условные вероятности
интересующего нас события А.
Вероятности
здесь трактуются как апостериорные вероятности гипотез –
уточненные по результатам проведения эксперимента, в котором получено событие A.
Важно, что в большинстве случаев
.
В задачах по выявлению наиболее вероятной гипотезы при использовании формулы
Байеса достаточно посчитать значение числителей для каждой гипотезы и сравнить их по
абсолютной величине, так как знаменатель во всех случаях совпадает.
92. 10 % статей автора Х, 90 % и 30 % статей авторов Y и Z носят агрессивный характер.
Обычно в газету за месяц поступало 60, 1 и 39 статей авторов X, Y, Z соответственно.
В прошлом месяце одна из агрессивных статей этих авторов оказалась без подписи. Назовите
наиболее вероятного автора. Чему равна соответствующая вероятность?
Решение
Поскольку вопрос ставится «о наиболее вероятном авторе», то логично, что гипотезами
в задаче будут подписи авторов:
Эти гипотезы образуют полную группу событий (не пересекаются и охватывают все
возможные исходы). Из условия задачи следует, что вероятности гипотез равны
;
;
.
Сумма этих вероятностей равна единице (по свойству полной группы событий!).
Событие A, вероятность которого нужно найти:
Для вычисления вероятности этого события по формуле полной вероятности нужны
условные вероятности событий
. Они даны нам в условии задачи:
– условная вероятность того, что случайно была выбрана агрессивная статья без подписи
при условии, что написал ее автор X:
;
– условная вероятность для гипотезы :
;
– условная вероятность для гипотезы :
.
По формуле полной вероятности имеем:
Чтобы назвать наиболее вероятного автора, нужно воспользоваться формулой Байеса.
Например, вероятность того, что присланная агрессивная статья написана автором Х, составит:
30
Поскольку знаменатель в этой формуле одинаков для любой гипотезы, то для ответа на
вопрос задачи достаточно сравнить только числители. Получаем:
или только числители:
Таким образом, наиболее вероятным автором агрессивной статьи без подписи является
автор Z. Собственно вероятность этого равна:
Ответ: ; наиболее вероятен автор Z;
.
93. При проведении конкурса для пополнения состава предприятия были получены
анкеты конкурсантов из различных городов:
Город
Всего анкет
C высшим образованием
Барнаул
20
6
Рубцовск
20
6
Бийск
20
6
Новосибирск
20
10
Для предварительного изучения данных эксперт наудачу взял 10 анкет по одному из
городов. Среди них оказались 4 анкеты лиц с высшим образованием. Какой из городов здесь
более вероятен: один из городов Алтайского края или Новосибирск?
Ответ: Наиболее вероятен один из городов Алтайского края.
94. Психолог выделил три непересекающихся типа мужчин по типу поведения:
«капитан» – 40 % мужчин, «рулевой» – 45 % и «пассажир» – 15 %. Среди мужчин первого
типа 85 % любят блондинок, среди второго таких 70 %; 80 % мужчин третьего типа блондинки
не нравятся. По бульвару идет мужчина под руку с брюнеткой. К какому типу вы его отнесете?
Указание: Необходимо найти наиболее вероятный тип мужчины, предпочитающего брюнеток.
Ответ: Наиболее вероятный тип – «рулевой».
95. Специалист по маркетингу выделил три непересекающихся типа женщин:
«хранительница очага» – 40 %, «труженица» – 45 % и «предпринимательница» – 15 %. Среди
женщин первого типа 80 % любят шоколад, среди второго – 90 % и только 60 %
представительниц третьего типа можно назвать любительницами шоколада. Во время званого
обеда незнакомка отказалась от шоколада в пользу пирожного. К какому типу вы ее отнесете?
Ответ: Наиболее вероятный тип – «хранительница очага».
96. В урне A 2 белых и 3 черных шара, в урне В – 1 белый, 1 черный и 1 шар неизвестного
цвета (белый или черный). Из урны А один шар перекладывается в урну В. Из урны В берется
один шар, он оказывается черным. Какой наиболее вероятный цвет шара неизвестного цвета?
Ответ: Наиболее вероятен черный шар.
97. Имеется 3 урны следующего состава: в первой урне 4 белых и 6 черных шара;
во второй урне 3 белых и 7 черных шара; в третьей урне 5 белых и 5 черных шара. Из одной
наудачу выбранной урны взято 2 шара. Они оказались разного цвета. Из какой урны были
вынуты эти шары с наибольшей вероятностью?
Ответ: Из третьей урны.
98. В урне A 2 белых и 4 черных шара, в урне В – 2 белых и 1 черный шар, в урне С –
3 белых и 2 черных шара. Из урн А и С берется по одному шару и перекладывается в урну В.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]