Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей для подготовки по специальностям «Социология», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика». Учебное пособие
.pdf
51
156. Пусть с.в. η имеет следующее распределение:
k
–2 0 2
4
P(η = k)
?
С.в. ξ получается из с.в. η преобразованием ξ = η2 – 2. Восстановить распределение с.в. η.
Найти распределение с.в. ξ. Построить функцию распределения
.
Ответ:
157. Случайная величина ξ имеет плотность распределения fξ (x). Какую плотность
распределения имеет случайная величина η = 2ξ + 4?
Решение
Обозначим за
функцию распределения случайной величины ξ. Выразим функцию
распределения
случайной величины η.
Далее для получения функции плотности продифференцируем функцию распределения.
Подобный способ нахождения функции плотности подходит для любого преобразования
абсолютно непрерывной случайной величины.
Ответ: см. решение.
158. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [0;1]. Найти плотность
распределения случайной величины η = e
ξ
.
Решение
Вначале найдем функцию распределения, а затем, продифференцировав ее, получим
искомую функцию плотности.
Для равномерного на отрезке [0;1] распределения функция распределения равна:
Тогда функцию распределения с.в. η найдем следующим образом:
Таким образом, плотность распределения с.в. η равна
Ответ: см. решение.
159. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [0;1]. Найти функцию
распределения и функцию плотности случайных величин:
а) , б) ,
в) , г)
.
52
Решение
а) Действуем, как и в предыдущей задаче:
Для равномерного на отрезке [0;1] распределения функция распределения равна:
Функция распределения с.в.
получается следующим образом:
Далее
Здесь важный момент: поскольку корень от любого положительного числа x даст нам
второй и третий случаи, корень от отрицательного числа не будет действительным числом,
потому нами не рассматривается, а x может принимать и отрицательные значения, поэтому
событие заменяем на событие
. Вероятность (функция распределения) для
таких x остается равной нулю.
Таким образом, плотность распределения с.в. получается
б) Функция распределения с.в. получается следующим образом:
Далее
Здесь важный момент преобразования ограничений заключается в следующем: третье
условие
очевидно преобразуется в
; у второго условия первое неравенство
выполняется всегда – экспонента в любой степени – это неотрицательное число, второе
неравенство дает
, и таким образом уже охвачена вся числовая прямая. Третье условие
является невозможным – не существует действительных значений x, для которых это
неравенство бы выполнялось, – а поскольку вся числовая прямая уже охвачена другими
условиями, то соответствующую строку можно вовсе удалить. Таким образом, функция
распределения определяется только двумя интервалами.
Плотность распределения с.в. получается:
Пункты (в) и (г) предлагается выполнить самостоятельно.
Ответ: см. решение.
160. Случайная величина ξ имеет распределение Eα, а случайная величина η имеет
распределение U
a,b
. Найти плотность распределения с.в.:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
53
161. Из точки с координатами (0, а) проведена прямая под углом φ к оси ординат. Найти
функции распределения и плотности точки пересечения этой прямой с осью абсцисс, если угол
равномерно распределен в промежутке: 1)
; 2)
.
Решение
1) Пусть a > 0.
В данной задаче мы имеем дело с двумя с.в., первая из которых
, а вторая – η по
построению получена из первой преобразованием η = a · tg φ.
Это следует из того, что графически наш эксперимент представляет собой
прямоугольный треугольник с вершинами: (0, а) – точка на оси ординат, (0, 0) – прямой угол,
(η, 0) – точка на оси абсцисс, которую необходимо найти.
Угол φ изменяется в таких пределах, что с.в. η может принимать значения только
в интервале (0;∞). (Задание: изобразить данный эксперимент на координатной плоскости).
Функцию распределения с.в. η получим также, как в предыдущей задаче:
Таким образом, функция распределения η выражается через функцию равномерного
распределения с новым аргументом. Получаем:
Функция распределения η не достигает единицы, так как арктангенс является
ограниченной функцией и не принимает значения свыше
.
Функция плотности находится как производная от функции распределения:
(Задание: что изменится, если координата a < 0?)
2) Предлагается выполнить самостоятельно.
Ответ: см. решение.
54
5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
5.1. Математическое ожидание, дисперсия и другие характеристики
Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины ξ – это число,
определяемое формулой:
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание – это число, т. е. константа.
2. Мат. ожидание константы равно этой константе: .
3. Константа выносится за знак мат. ожидания: .
4. Мат. ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) мат.
ожиданий этих случайных величин: .
5. Для независимых случайных величин мат. ожидание их произведения равно
произведению их мат. ожиданий: .
6. Если , то .
7. При достаточно слабых ограничениях на функцию мат. ожидание от нее
можно вычислить по формулам:
8. Неравенство Йенсена: если – выпуклая функция, то , если
–
вогнутая функция, то
.
На рис. 5.1 приведена иллюстрация к неравенству Йенсена для выпуклой функции. Пусть
– выпуклая функция (для такой функции вторая производная – неотрицательная:
), а мат. ожидание лежит на отрезке [a;b].
Рис. 5.1. Иллюстрация неравенства Йенсена для выпуклой функции
Функция
переводит отрезок [a; b] в отрезок
. Соответственно, на нем
лежит величина . Несложно показать, что
также лежит внутри интервала
gx
x
a
b
E
Eg
E g
ga
gb
55
, а числа и
геометрически всегда расположены именно так, как
изображено на рисунке.
Таким образом, действительно
.
Дисперсия случайной величины ξ – это математическое ожидание квадрата разности
ξ и :
Для дискретной и абсолютно непрерывной случайной величины дисперсию можно
вычислить по формулам:
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия – неотрицательная величина: .
2. Основное свойство дисперсии:
.
3. Дисперсия константы равна нулю: .
4. Константа выносится за знак дисперсии и возводится в квадрат: .
5. Добавка константы к с.в. не влияет на величину дисперсии: .
6. Дисперсия суммы или разности независимых с.в. (любого количества с.в.) равна
сумме их дисперсий: .
7. Дисперсия – это минимальный квадрат разности с.в. ξ и некоторого числа :
Корень из дисперсии называется среднеквадратическим или стандартным
отклонением.
Начальным моментом порядка k называется число, определяемое формулой:
Математическое ожидание – это начальный момент первого порядка.
Центральным моментом порядка k называется число, определяемое формулой:
Дисперсия – это центральный момент второго порядка.
Можно сказать, что момент определяется функцией
:
– если , то получаем начальный момент порядка k:
.
– если
, то получаем центральный момент порядка k:
.
– если
, то получаем абсолютный начальный момент порядка k:
.
– если
, то получаем абсолютный центральный момент порядка k:
Квантилем уровня
распределения непрерывной случайной величины
называется действительное число
, удовлетворяющее равенству
56
Квантиль уровня 0,5 называют медианой и обозначают
. Для абсолютно
непрерывных распределений медиана делит площадь под функцией плотности пополам:
Для дискретных распределений медиана – это число (возможно, не единственное)
такое,
что:
Критической точкой уровня
распределения непрерывной случайной величины
называется действительное число
, удовлетворяющее равенству
Квантиль и критическая точка связаны соотношением:
.
Модой называется значение случайной величины, при котором вероятность (для
дискретных с.в.) или функция плотности (для абсолютно непрерывных с.в.) максимальна.
Моду обозначают .
На рис. 5.2 изображены мат. ожидание, медиана и мода для некоторого распределения.
Рис. 5.2. Мат. ожидание, медиана и мода при правой асимметрии
162. В магазине продаются лампы дневного света по цене 20 руб. за шт. Вероятность
продажи бракованной лампы 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию ущерба,
который может понести покупатель одной лампы, если у него нет возможности вернуть товар
в магазин.
Решение
Обозначим величину понесенного ущерба . Тогда из условия задачи следует закон
распределения с.в. :
xi
20 0
P(ξ = xi)
0,05
0,95
Это дискретная случайная величина. Математическое ожидание найдем из его
определения, а дисперсию – воспользовавшись вторым свойством дисперсии.
Получаем:
,
Ответ: см. решение.
163. Психологический тест представляет собой набор из 5 вопросов, предполагающих
ответы «да» или «нет». Вероятность положительного ответа равна 0,4. Положительный ответ
оценивается 1 баллом, отрицательный же оценивается –1. Найти математическое ожидание и
дисперсию числа суммы баллов по тесту, если тест абсолютно ненадежен – все ответы
случайны и независимы.
Ответ: ; .
fx
x
0,5
x
x
E
57
164. Начинающий работник Тимофей может получить доход из трех разных
независимых источников: (1) легальный заработок 50 тыс. руб. с вероятностью 0,7 или 30 тыс.
руб. с вероятностью 0,3; (2) с вероятностью 0,5 может получить нелегальный заработок
в размере 20 тыс. руб. или не получить ничего; (3) с вероятностью 0,001 получить бабушкино
наследство в размере 2000 тыс. Найти математическое ожидание, дисперсию и
среднеквадратичное отклонение суммарного дохода начинающего работника Тимофея.
Ответ: ; ; среднеквадратичное отклонение ≈ 64,653.
165. На подготовку ответа на экзамене отводится 1 час. Плотность распределения
времени от момента начала подготовки до начала ответа имеет вид
(плотность
растет к концу времени подготовки). Найти математическое ожидание и дисперсию времени
подготовки.
Ответ:
;
.
166. Найти математическое ожидание, дисперсию и моду для случайной величины ξ с
распределением:
k
–1 0 2
P(ξ = k)
0,3
0,5
0,2
Ответ: ; ; .
167. Найти математическое ожидание, дисперсию и моду для случайной величины η с
распределением:
k
–2 1 3
P(η = k)
0,5
0,1
0,4
Ответ: ; ; .
168. Найти математическое ожидание, дисперсию и моду для случайной величины φ с
распределением:
k
–2 0 1
5
P(φ = k)
0,1
0,3
0,2
0,4
Ответ: ; ; .
169. Найти математическое ожидание, дисперсию и моду для случайной величины ψ с
распределением:
k
–3
–1 1 3
P(ψ = k)
0,1
0,2
0,6
0,1
Ответ: ; ; .
170. Пусть с.в. ξ имеет следующее распределение:
k
–1 0 1
2
P(ξ = k)
p1
p2
При каких p1, p2 дисперсия с.в. ξ минимальна? Построить функцию распределения с.в.
η = ξ
2
+ 1 и найти по ней вероятность
.
Ответ: при
, или ,
; P = 0.
171. Пусть с.в. ψ имеет следующее распределение:
k
–2
–1 0 4
P(ψ = k)
p1
p2
58
При каких p1, p2 дисперсия с.в. ψ минимальна? Построить функцию распределения с.в.
η = ψ
2
+ 1 и найти по ней вероятность
.
Ответ: при ,
;
.
172. С.в. ξ может принимать только следующие значения {–2, –1, 0, 1, 2}. С какими
вероятностями она принимает эти значения, если , , ?
Ответ:
,
,
.
173. С.в. ξ может принимать только следующие значения {–2, –1, 0, 1, 2}. С какими
вероятностями она принимает эти значения, если , , ?
Ответ:
,
, .
174. Совместное распределение с.в. ξ и η представлено в таблице ниже:
ξ
η
–1 0 2
–2
7
?
Определить начальные моменты первого и второго порядка, а также центральный
момент второго порядка для с.в. φ = ξ 3 – 2η + 0,5.
Ответ:
;
;
.
175. Совместное распределение с.в. ξ и η представлено в таблице ниже:
ξ
η
–2
–1
1
–1
?
3
Определить начальные моменты первого и второго порядка, а также центральный
момент второго порядка для с.в. φ = η 2 + 3ξ 2 – 2.
Ответ:
;
;
.
176. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти мат. ожидание, моду и медиану.
Ответ:
;
;
.
177. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти мат. ожидание, моду, медиану и дисперсию.
Ответ:
;
;
;
.
178. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
59
Найти мат. ожидание, дисперсию, моду и медиану.
Ответ:
;
; ;
.
179. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти мат. ожидание, дисперсию, моду и медиану.
Ответ: ;
; ;
.
180. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти мат. ожидание, дисперсию, моду и медиану.
Ответ:
;
; ;
.
181. Плотность распределения случайной величины ξ выглядит так:
Найти мат. ожидание, дисперсию, моду и медиану.
Ответ:
;
; ;
.
5.2. Числовые характеристики основных распределений
Дискретные распределения:
Распределение
Значения и вероятность
Мат.
ожидание
Дисперсия
Примечание
Вырожденное
0
Неслучайная
величина –
константа
Бернулли
«Успех»
или «неудача»
Биномиальное
,
Число успехов
в серии из n
испытаний
схемы Бернулли
Геометрическое
,
Номер первого
успешного
испытания в
схеме Бернулли
Пуассона
,
Число успехов в
единицу времени
60
Абсолютно непрерывные распределения:
Распределение
Функция плотности
Мат.
ожида-
ние
Диспер-
сия
Примечание
Равномерное
Вероятность
попадания в любые
отрезки равной
длины одинакова
Показательное
(экспоненциаль-
ное)
Продолжительность
времени
до наступления
первого успеха
182. Для перечисленных выше распределений доказать формулы для математического
ожидания.
183. Для следующих распределений найти, чему равен второй начальный момент, и
доказать формулы для дисперсий этих распределений:
а) ; б)
;
в) ; г)
;
д)
; е)
.
Ответ: а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
; е)
.
184. Для показательного распределения с параметром α вывести формулу для k-го
начального момента.
Ответ:
.
185. Маковое зернышко упало на отрезок [0;1]. Пусть случайная величина ξ – расстояние
зернышка от нуля. Найти функцию распределения, плотность распределения, математическое
ожидание и дисперсию ξ.
Указание: Функцию распределения можно проинтерпретировать как геометрическую
вероятность события, состоящего в том, что точка ξ попала на отрезок [0;x].
Ответ:
;
;
.
186. Случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [3;6]. Построить
аналитически функцию распределения, функцию плотности, а также найти математическое
ожидание и дисперсию для с.в. .
Решение
Функцию распределения новой с.в. найдем, используя функцию распределения ξ:
Тогда:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]