Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания
.pdf
21
лампа будет стандартной? Произвольно взятая лампа оказалась стандартной. Какова
1nn
kP
n
knkk
nn
qpCkP
k
n
C
!kn!k
!n
C
k
n
kP
n
pnqmqqn
21
mPmP
nn
21
k,kP
n
21
kkk
2
1
21
k
ki
inii
nn
qpCk,kP
n
qn
n
P 1,1
вероятность, что она сделана на втором заводе?
26. Брак продукции завода вследствие первого дефекта составляет 8%. Причем среди
бракованной продукции второй дефект составляет 4%, а в свободной от первого
дефекта продукции второй дефект встречается в 2% случаев. Каков процент второго
дефекта во всей продукции?
27. Имеется два комплекта одинаковых изделий по 12 и 10 штук. В каждом комплекте
одно изделие бракованное. Наудачу взятое изделие из первого комплекта переложено
во второй. После этого из второго комплекта наудачу вынимают изделие. Определить
вероятность того, что оно бракованное.
5 СХЕМА БЕРНУЛЛИ
Пусть проводятся
независимых испытаний, в каждом из которых может
быть два исхода, условно называемых «успех» и «неудача». Вероятность наступления
«успеха» в каждом испытании одинакова и обозначается р, вероятность наступления
«неудачи» q =1 – р. Вероятность наступления k (0 < k <n) успехов при n испытаниях
обозначается через
где
число сочетаний из n no k:
При изменении k от 0 до n величина
. Справедлива формула Бернулли
, (5.1)
принимает максимальное значение при
некотором k = m. Величина m может быть найдена из неравенства
(Если выполняются оба неравенства для двух целых m1 и m2, то
Обозначим через
вероятность того, что число «успехов» k при n
).
испытаниях не меньше k1 и не больше k2 , т.е.
Для вероятности хотя бы одного «успеха» можно использовать более простую
формулу
необходимого для того, чтобы вероятность наступления хотя бы одного успеха была не
меньше некоторой заданной величины (0<<1). Величина n удовлетворяет неравенству:
Тогда из (5.1) следует
(5.2)
(5.3)
В приложениях часто возникает задача определения числа испытаний n,
22
pln/lnn 11
(5.4)
ЗАДАЧИ
1. Станок-автомат выпускает 30% деталей высшего сорта. Найти вероятность того, что
из шести случайно отобранных деталей будет: а) 4 высшего сорта; б) хотя бы 4 высшего
сорта.
2. В институте 40% студентов имеют спортивный разряд. Какова вероятность того, что
среди 5 случайно отобранных студентов разрядников будет: а) не меньше 3; б) меньше 3.
3. Вероятность того, что телевизор проработает гарантийный срок без поломки, равна
0,8. Закупили 4 телевизора. Какова вероятность того, что:
а) три телевизора не проработают гарантийный сроки; б) не менее двух проработают
гарантийный срок.
4. Вероятность попадания в цель 0,7. Сделано 8 выстрелов. Какова вероятность того, что
оказалось: а) пять попаданий; б) пять или шесть попаданий.
5. Вероятность того, что на один лотерейный билет выпадет выигрыш, равна 0,2.
Куплено 5 билетов. Найти вероятность того, что: а) выиграют два билета; б) выиграют
хотя бы три билета; в) не выиграют три билета.
6. По линии связи передают знаки 0 и 1. При передаче происходят ошибки, в результате
которых с вероятностью 0,1 знак меняется на противоположный. Какова вероятность
того, что при передаче сообщения из 5 знаков произойдет не более одной ошибки?
7. По каналу связи передается сообщение с помощью кода, состоящего из двух знаков.
Вероятность появления первого знака 0,8. Всего передано 5 знаков. Найти вероятность
того, что первый знак появится: а) два раза; б) два или три раза; в) не менее двух раз.
8. Вероятность правильного приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,8. Найти
вероятность того, что при шестикратной передаче сигнал будет принят: а) четыре раза; б)
не менее четырех раз.
9. На заводе радиолампы выпускают два равномощных цеха, причем первый цех
выпускает 10% ламп высшего сорта, второй -20%. Далее радиолампы раскладываются в
коробки по четыре штуки. Найти вероятность того, что в коробке будет одна лампа
высшего сорта, если известно, что:
а) лампы по коробкам раскладывают прямо в цехах; б) лампы поступают на склад,
перемешиваются и только потом раскладываются по коробкам.
10. Что более вероятно выиграть у равносильного противника:
а) три партии из четырех или хотя бы три из пяти;
б) три партии из четырех или пять из восьми; в) не менее трех из четырех или не менее
пять из восьми?
11. При выпуске интегральных схем на некотором предприятии доля
брака достигает 50%. Найти:
а) вероятность того, что из трех схем хотя бы одна бракованная;
23
б) сколько схем должно быть в случайно отобранной партии для того, чтобы с
qpn
x
kP
n
qpn
pnkx
2
2
2
1
/xex
xx
0x
x
21
k,kP
n
102021
xxk,kP
n
x
t
,dtex,qpn/pnkx,qpn/npkx
0
2
02211
2
2
1
xФ
0
xФ
0
,xx
00
500,x
xlim
x
505
0
.xx
x
0
вероятностью 0,99 в ней оказалась хотя бы одна небракованная схема.
12. Известно, что вероятность выиграть хотя бы по одному лотерейному билету из трех
равна 0,271. Какова вероятность выиграть по всем трем билетам.
13. Лампа сгорает раньше установленного срока в среднем в двух случаях из шести. В
помещении установлены 6 ламп. Каково наиболее вероятное число ламп, которые
выйдут из строя раньше срока? Какова вероятность этого?
14. На АТС поступают микросхемы, выпускаемые двумя предприятиями: 1-е поставляет
вдвое больше схем, чем 2-е. На 1-ом 10% брака, на 2-м – 20% брака. В партии из трех
изделий два бракованных. Какова вероятность того, что партия выпущена 1-м
предприятием?
6 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
Пусть проводятся большое число независимых испытаний, причем вероятность
«успеха» равна р во всех испытаниях. В этом случая использование формулы Бернулли
(5.1) требует проведения объемных вычислений. Для того, чтобы избежать этого,
используют приближенные формулы Муавра – Лапласа.
При n , большем нескольких десятков, не очень малой вероятности р, так, что npq > 9,
справедливо равенство
где
Заметим, что
Для вычисления
,
и
можно использовать равенство
где
называется функцией Лапласа. Формула (6.2) применима при выполнении тех же
условий, что и (6.1). Величина
вычислениях:
1.
2.
, (6.1)
.
при
.
, (6.2)
обладает двумя свойствами, используемыми при
(практически при
).
Значения
даны в таблице в конце книги.
При проведении испытаний величина = k / n , равная отношению числа «успехов» к
числу испытаний, называется частотой «успеха». Вероятность отклонения от
24
вероятности «успеха» Р на величину, превосходящую некоторое число , может быть
qp
n
pP
0
21
qp
n
pP
0
2
9qpn
3qpn
e
!K
KP
k
n
pn
найдена по формуле
(6.3)
Следовательно,
Эта формула применима также при больших n и
но очень малых р (или q) таких, что
(6.3а)
. При больших n,
, используют приближенную
формулу Пуассона:
при
.
(6.4)
ЗАДАЧИ
1. Вероятность производства нестандартного конденсатора на некотором заводе равна
0,1. Конденсаторы поступают потребителю в коробках по 400 штук. Какова вероятность
того, что в коробках 35 нестандартных конденсаторов? 360 стандартных?
2. Вероятность того, что на одну облигацию выпадет выигрыш, равна 0,2. Какова
вероятность того, что из 100 купленных облигаций выиграют 20? Не выиграют 20?
3. Среди школьников, проживающих в некотором городе, 40% близоруких. Какова
вероятность того, что среди 600 случайно отобранных школьников близоруких будет не
более 252? Не близоруких будет хотя бы 330?
4. Среди телевизоров, поступающих в продажу, 75% стандартных (остальные имеют
скрытые дефекты). Какова вероятность того, что в партии из 192 телевизоров
стандартных будет не менее 150? Нестандартных будет не более 45 ?
5. На предприятии 85% всей производимой продукции высшего качества. Найти
наивероятнейшее число изделий высшего качества в партии из 150 изделий.
6. Вероятность выхода из строя одной радиолампы за время Т равна 0,2. Определить
вероятность того, что за время Т из 100 ламп выйдет из строя:
а) не менее 20 радиоламп;
б) не более 28 радиоламп;
в) от14 до 26 радиоламп.
7. Вероятность выхода из строя прибора во время контрольных испытаний равна 0,1.
Испытано 225 приборов. Найти вероятность того, что доля вышедших из строя приборов
отличается от 0,1 не более, чем на 0,01. б) Сколько надо взять приборов для испытания,
25
чтобы с вероятностью 0,95 доля не вышедших из строя приборов отличалась от 0,9 не
более, чем на 0,03 ?
8. Известно, что доля студентов, сдающих экзамен по математике на «4» и «5» в
некотором университете, равна 50%. Найти вероятность того, что среди 100 случайно
выбранных студентов доля сдавших экзамен на «4» и «5» будет отличаться от 0,5 не
более, чем на 5%? Сколько надо взять студентов, чтобы с вероятностью 0,8 доля
сдавших экзамен на «4» и «5» отличалась от 0,5 не более чем на 0,01?
9. Известно, что в ателье 70% выпускаемых пальто высшего сорта. Найти вероятность
того, что среди случайно отобранных 210 пальто доля высшего сорта будет отличаться
от 0,7 не более, чем на 0,02.
10.В вычислительной машине 1000 блоков. Вероятность отказа одного блока в течение
суток 0,002. Найти вероятность того, что в течение суток у данной машины:
а) откажут 2 блока;
б) откажут более 2-х блоков;
в) ни один блок не откажет ?
И. На курсе 140 студентов, Какова вероятность того, что у 25 из них в этом году день
рождения будет в воскресенье?
12. Сок перевозят по железной дороге в ящиках по 100 банок в каждом. Ящик
принимается потребителем, если в нем не менее 99 банок целы. Какова вероятность, что
партия из 10 ящиков будет вся принята, если известно, что в среднем 0,5% банок в
дороге разбиваются?
13. На факультете 365 студентов. Какова вероятность того, что у двух из них день
рождения 1-го января?
14. Вероятность неправильного соединения абонента на телефонной станции равна
0,005. Найти вероятность того, что из 500 соединений а) одно будет неправильное, б) не
менее двух будет неправильных, в) все будут правильные.
15. Два станка-автомата производят одинаковую продукцию, причем
производительность второго станка втрое больше производительности первого и первый
станок производит в среднем 1% брака, а второй - 2%. Произведенная станком
продукция поступает на общий конвейер. Найти вероятность того, что среди ста
отобранных с конвейера изделий будет не более двух бракованных.
16. Вероятность того, что электролампа перегорит в течение суток равна 0,001. В
общежитии 1000 электроламп. Найти вероятность того, что в течение суток перегорит
а) две лампы,
б) не менее одной,
в) ни одной лампы.
17. Вероятность обнаружения хотя бы одного бракованного изделия при независимой
проверке четырех изделий равна 0,3439. Какова вероятность того, что при проверке
партии из 100 изделий будет обнаружено:
а) 10 бракованных изделий;
б) не более 15 бракованных изделий ?
26
7 ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
xF
xPxF
aFbFbaP
10 F,F
,x,x
21
Значения
x1 x2 …
Вероятности
P1 P2 …
ii
xPP
xx
i
i
PxF
xP
x
dttPxF
xP
x
x
dttP
F
xd
xFd
xP
0xP
Рассмотрим пространство элементарных исходов некоторого испытания. Функция
, определенная на элементах и ставящая каждому элементарному исходу
некоторое число
, называется случайной величиной. Функция распределения
случайной величины , определяется равенством
(7.1)
где х - действительное число (предполагается, что вероятность, стоящая справа в (7.1)
определена при всех х). При решении задач часто используются следующие свойства
функции распределения:
(7 .2)
(при а < b). Полезны также следующие равенства:
(7.3)
Случайная величина называется дискретной если она принимает конечное или
счетное число значений
. Дискретная случайная величина может быть задана
рядом распределения, который можно представить в виде таблицы
Для дискретной случайной величины выполняется равенство
(7.4)
Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная
функция
, удовлетворяющая при всех х равенству
(7.5)
называется плотностью вероятности. Она обладает следующими свойствами:
(7.6)
(7.7)
(7.8)
27
Для непрерывной случайной величины и числа
10;Q
Q
x
Q)x(F
Q
,x,x
21
1i
ii
xP
xP
dxxP
2
D
2
2
D
1
2
2
i
i
PxD
2
2
dxxPxD
D
knkk
n
qpCkP
квантиль порядка Q
определяется, как число
Для дискретной случайной величины , принимающей значения
, удовлетворяющее уравнению
(7.9)
с
вероятностями Р1, Р2, ... математическое ожидание , определяется равенством
(7.10)
Для непрерывной случайной величины , с плотностью распределения
математическое ожидание определяется равенством
(7.11)
Дисперсия случайной величины определяется равенством
(7.12)
справедливо также равенство
, (7.13)
из которого следуют формулы, удобные для вычисления дисперсии дискретных и
непрерывных случайных величин:
(7.14)
(7.15)
Стандартное (или среднее квадратичное) отклонение случайной величины
определяется равенством
(7.16)
ВАЖНЕЙШИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Биноминальное распределение. Случайная величина принимает значения 0, 1, 2, …,
n, причем
, (7.17)
28
где
0,1 ppq
k
n
C
npqD,np
e
!k
kP
k
;0
D,
11
k
ppkP
10;p
2
11
p
p
D,
p
bx,
bxa,
ab
ax,
xP
0
1
0
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
,0
,,
,0
;b,a
122
2
ab
D,
ba
00
0
00
x,
xe,
x,
xP
x
– параметр,
Справедливы равенства
– число сочетаний из n по k.
(7.18)
Распределение Пуассона. Случайная величина принимает значения 0, 1, 2,…,
где
- параметр. Для распределения Пуассона
, (7.19)
(7.20)
Геометрическое распределение. Случайная величина принимает значения 1, 2, 3,… с
вероятностью
где
- параметр, k=1, 2, … . Для него
, (7.21)
(7.22)
Равномерное распределение. Плотность и функция распределения задаются на
отрезке [a, b] равенствами.
(7.23)
где
- параметры, a < b. Для равномерного распределения
(7.24)
(7.25)
Показательное или экспоненциальное распределение. Плотность и функция
распределения таковы:
(7.26)
29
01
00
x,e
x,
xF
x
;0
2
11
D,
2
2
2
2
1
ax
exP
2
,
Da
, (7.27)
где
- параметр. Для показательного распределения
(7.28)
Нормальное распределение с параметрами a, .
Плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия даются
равенствами:
(7.30)
(7.29)
а функция распределения может быть получена по (7.5). При a=0 и =1 нормальное
распределение называется стандартным.
ЗАДАЧИ
а) Дискретные случайные величины
1. Измерительный комплекс состоит из трех одинаковых приборов, отказы которых
происходят независимо друг от друга. Вероятность отказа прибора в течение суток 0,2.
Рассматривается случайная величина – число отказавших приборов. Построить ее ряд
распределения, найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить
математическое ожидание и дисперсию.
2. Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом
выстреле 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд
распределения числа заработанных очков.
3. Рабочий обслуживает два станка. Вероятность того, что в течение часа станок
потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,8 , для второго - 0,9. Найти
закон распределения для числа станков, которые потребуют внимания рабочего в
течение часа и вычислить среднее число таких станков.
4.Стрелок, имеющий 4 патрона, ведет стрельбу по мишени до первого попадания.
Вероятность попадания при каждом выстреле 0,6. Построить ряд распределения
количества оставшихся неизрасходованными патронов. Найти интегральную функцию
распределения.
5. В семье 4 ребенка. Рассматривается случайная величина - число мальчиков.
Построить ряд распределения и функцию распределения этой случайной величины,
считая, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы.
30
6. В блоке используются четыре конденсатора двух типов, по два каждого типа.
Вероятность отказа в течение гарантийного срока для первого типа равна 0,1 , для
второго - 0,3. Составить закон распределения числа отказов всех четырех конденсаторов.
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
7. В приборе три блока, стоимость каждого 10 руб., стоимость всего прибора - 40 руб.
Если в течение года работы выйдет из строя один блок, то его заменяют, если выйдет из
строя более одного блока, то заменяют прибор. Известно, что блоки выходят из строя
независимо друг от друга, а вероятность выхода из строя одного блока в течение года 0,2.
Рассматривается случайная величина - годовые расходы на эксплуатацию прибора.
Построить ее ряд распределения и найти среднюю величину расходов.
8. В партии из шести кинескопов три высшего качества. Кинескопы берут по одному и
проверяют до тех пор, пока не найдут кинескоп высшего качества. Рассматривается
случайная величина - число проверенных кинескопов. Построить ее ряд распределения и
вычислить математическое ожидание и дисперсию. Найти функцию распределения.
9. Студент знает 15 вопросов из 20. Экзаменатор задает ему 3 вопроса. Рассматривается
случайная величина – число известных вопросов среди заданных. Построить ее ряд
распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
10. В партии из пяти изделий содержится два бракованных. Для проверки контролер
берет наугад одно изделие из партии и проверяет его качество. Если оно окажется
бракованным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если
изделие окажется стандартным, то контролер берет следующее изделие и т.д.
Рассматривается случайная величина—количество проверенных изделий. Найти её ряд
распределения, функцию распределения, вычислить математическое ожидание и
дисперсию. Какова вероятность того, что придется проверять больше двух изделий?
11. Вероятность выиграть по одному билету лотереи «Спринт» равна 0,2; один билет
стоит 1 рубль. Некто решил покупать билеты до тех пор, пока один не выиграет (либо
пока кончатся деньги). Найти ряд распределения случайной величины - число
купленных билетов, если известно, что у этого человека сначала было четыре рубля.
Найти среднее значение этой случайной величины. Какова вероятность того, что будет
куплено больше двух билетов?
12. Станок-автомат в месяц изготавливает 10000 изделий, причем в среднем на таких
станках 90% выпускаемых изделий первого сорта. Если на станке в месяц выпускают
больше 9060 изделий первого сорта, то наладчики получают премию в 50 руб., если
первосортных изделий от 9000 до 9060, то премия 20 рублей, если же первосортных
меньше 9000, то премии нет. Построить ряд распределения случайной величины «размер
премии» в случае, когда наладчики работают «средне».
13. В некотором городе среди студентов 20% близоруких. Сколько в среднем будет
близоруких среди двухсот случайно отобранных студентов ?
14. Известно, что число аварий в год на некотором предприятии подчиняется
распределению Пуассона с показателем А= 1,5 (год-1). Сколько в среднем происходит
аварий в год? Какова вероятность того, что в течение года не будет аварий?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]