Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

         

212121









,,K

,D,K















169140104

140144108

144108100

 

  















0011

000

yиxприee

yиxпри

y,xF

 

2131  y,x



 

 

 



 



 







222

yxaln

y,xf



222

ayx 

 

 



 





 



 







1 yx

y,xf

 

11  y,x

   





eyfexf





11. Пусть 1 - рост мужчины (мальчика) в возрасте 12, 15, 20 лет. В некоторой стране средние значения этих случайных величин равны 140, 170 и 180 см, соответственно, а матрица ковариации такова:

В баскетбольной секции занимаются два 15-летних мальчика, у которых рост в 12 лет

был 150 и 155 см, а в 15 – 180 и 182 см. Тренер считает, что уровень игры примерно одинаков. Он может одного из спортсменов рекомендовать в спортивную школу и решил рекомендовать более рослого. Правильно ли он поступил? Указание: Предскажите рост 1-го и 2-го спортсмена в 20 лет.

12. Функция распределения случайных величин  и  определяется по формуле

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

13. Определить вероятность попадания точки с координатами (x, y) в область, определяемую неравенством

, если координаты случайной точки (x, y)

подчинены закону распределения:

при

во всех остальных точках плоскости.

14. Плотность распределения системы двух случайных величин  и  заданы функцией

Найти: а) коэффициент а; б) интегральную функцию; в) вероятность попадания точки (x, y) в квадрат

;

г) плотности распределения компонент.

15. Орудие стреляет в цель. Начало координат помещено в точку прицеливания. Координаты x, y точки попадания независимы и имеют плотности

Какова вероятность попадания в круг радиуса R с центром в начале координат?

 

 

 









Ryxпри

y,xf



 

 

 









Ryxпри

y,xf



 

eyxky,xf





 x0

 y0

 



 



 



 





,,,

   

yxsiny,xf 

xyyxyx

K,D,D,m,m

 

 

 







 

  







222

22222

0 Ryxпри

RyxприyxRc

y,xf

 

Rrr 

 







aa, 



ba, 









0,e





0,ln





,arctg

 

0xP



 





 x,





1

16. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения

. Найти функции плотности x и y.

17. Система случайных величин ( и ) равномерно распределена внутри круга R;

Найти плотности распределения этих случайных величин относительно друг друга.

Вычислить ковариацию.

18. Плотность распределения двумерной случайной величины ( и ) имеет вид

при

. Найти К.

19. Плотность вероятностей случайных величин  и , распределенных на интервалах имеет вид

числовые характеристики

. Определить интегральную функцию F(x,y) и

20. Вероятность первого обнаружения самолета на круглом, радиуса R экране

радиолокатора, случайная величина с плотность распределения

где (x,y) – координаты точки обнаружения. Надо найти: а) постоянную с; б) вероятность обнаружения цели в круге радиуса

с центром в начале координат (он совпадает с

центром экрана).

21. Задана плотность

случайной величины . Найти плотность случайной

величины , если

Вне указанных промежутков плотность

22. Случайная величина  распределена по закону

. Найти закон распределения величины

23. Случайная величина  распределена по закону

 





 x,







arctg

ck 





D,m

 

exP











 







ey,xP









sinty,cosrx 





 

exP







 

xP,x0

 







ey,xP







yxz 

   

eyP,exP







 









 y,x,

yP,

2222





. Найти закон распределения

24. Случайная величина  равномерно распределена на (a,b). Найти плотность

распределения вероятностей случайной величины

. Найти

25. Случайная величина  распределена в интервале (0,) с плотностью

Найти плотность случайной величины

27. Системы случайных величин ( и ) распределена нормально

. Найти плотность распределения (r, ), если

28. Случайная величина  зависит от  так, что

экспоненциальному закону распределения

при

, где  подчиняется

=0 при x<0.

Найти математическое ожидание и дисперсию x и y.

29. Индикатор кругового обзора навигационной станции представляет собой круг

радиуса R. Отраженный от ориентира сигнал с равной вероятностью может появиться в виде пятна в любой точке этого круга. Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния центра пятна от центра круга.

30. Система случайных величин подчинена нормальному закону

Определить математическое ожидание случайной величины

31. Брак изделий вызывается двумя причинами: нарушением размеров и низким

качеством материала. Плотности вероятностей брака от этих причин соответственно равны

где x и y (x>0, y>0) – процент бракованных деталей вследствие каждой из этих причин. Определить вероятности бракованных деталей вследствие обеих причин и средний процент бракованных деталей.

32. Найти плотность распределения суммы x+y, если

33. Найти распределение суммы двух равномерно распределенных на интервале (-1; 1)

независимых случайных величин.

34. Две независимые случайные величины  и  имеют плотности распределения

 





 













 









yey

yP,

e,x,



 

x,,x,x 



210



x



 

n,,sx

1

 

 ,2,1,,,1,,x/





tnjixPP

tjt



PP 















nnnn

PPP

22221

11211











jiji

njiприPP

,,1,,0,1 

 

q,,q 

q

 

xPq 



0

 

   

kjiijPnP

nji

,,1,,/





Найти плотность распределения произведения x y.

35. Две независимые случайные величины  и  равномерно распределены на интервале

(0;1). Найти вероятность того, что их произведение не превосходит

9 ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА (ДИСКРЕТНОЕ ВРЕМЯ)

Рассмотрим некоторую систему, которая может находиться в одном из состояний

. В моменты t, равные 0, 1, 2, 3,… система переходит из одного состояния в

другое. Определим случайные величины системы в моменты t=0, 1, 2,….

, если система в момент t находится в состоянии

, соответствующие состояниям

Вероятность

(9.1)

называется вероятностью перехода из состояния i в состояние j за один шаг. Марковская цепь называется однородной, если величины

не зависят от t (т.е.

при всех

i,j=1,…,n). В дальнейшем рассматриваются только такие цепи и величина (9.1) обозначается через

. Матрица переходов за один шаг определяется соотношением

(9.2)

Для этой матрицы

Вектор начальных вероятностей

, где

(9.3)

Часто Марковскую цепь удобно задавать при помощи графа переходов. При

построении такого графа каждому состоянию ставится в соответствие вершина. Если из состояния xi система переходит в состояние x

с ненулевой вероятностью

, то из

вершины, соответствующей xi, проводится стрелка в вершину xj, помечаемая величиной

; если

Вероятности

, то стрелку не проводят.

, определяемые равенством

называют вероятностями перехода за n шагов.

Матрица

   

 

nPnPji

 

PnP 

 



 







 





 







 





 





021

100

001

0141

414121

1021

321

PPP

E,,E 

называется матрицей перехода за n шагов. Справедливо

равенство

1. Даны матрицы:

(9.4)

ЗАДАЧИ

Какие из них могут задавать вероятности перехода Марковской цепи, какие не могут? Почему?

2. В зависимости от атмосферных условий связь между двумя станциями может быть

хорошей, удовлетворительной или плохой (состояния А1, А2, А3). Известно, что если в течение данного часа связь хорошая, то в течение следующего часа с вероятностью 0,6 связь остается хорошей, а с вероятностью 0,3 становится удовлетворительной. Если связь в течение часа удовлетворительная, то в течение следующего часа она с вероятностью 0,4 становится хорошей и с вероятностью 0,1 плохой. Если же связь была плохая, то в следующем часу она с равной вероятностью может стать хорошей, удовлетворительной или плохой. Считая состояния связи Марковской цепью, построить ее матрицу переходов. Сделать тоже для двух состояний связи - плохая, неплохая, понимая под последним состоянием - хорошая или удовлетворительная.

3. На окружности расположены шесть точек

равноотстоящих друг от друга.

Частица движется из точки в точку следующим образом. Из данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью 1/4 или диаметрально противоположную точку с вероятностью 1/2. Выписать матрицу вероятностей перехода и построить граф, соответствующий этой матрице.

4. В мастерскую для ремонта поступают моторы двух типов. Ремонт мотора типа М1

требует одного дня, типа М2 - двух дней. Каждое утро вероятность поступления на ремонт мотора типа М1 равна 1/2 и типа М2 - 1/3. Если день занят ремонтом мотора М2, то отказывают любому заказу. Составить матрицу переходов в двух случаях: при возможности выбора заказа предпочтение отдается: а) ремонту мотора М2, б) ремонту мотора М1.

5. В учениях участвуют два корабля, которые одновременно производят выстрелы друг в

друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль А поражает выстрелами корабль В с вероятность 1/2, а корабль В поражает корабль А с вероятностью 3/8. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Найти матрицу вероятностей перехода, если состояниями цепи являются комбинации кораблей, оставшихся в строю: Е1 - оба корабля в строю, Е2 - в строю корабль А, Е3 - в строю корабль В, Е4 - оба корабля поражены.

6. Пусть Е1, Е2, Е3- возможные состояния системы и Р - матрица вероятностей перехода



 





 





31032

21021

001

321

EEE















212100

210021

021210

 



 





6040

3070

СД

 

  





2121

3231



 





 





304030

202060

405010

,,,

из состояния в состояние за один шаг:

Найти матрицу переходов за два и три шага.

7. Вероятности перехода за один шаг в цепи Маркова заданы матрицей:

. Требуется построить граф переходов. Найти матрицу

переходов за два шага.

8. Погода на некотором острове бывает дождливой (Д) и сухой (С). Вероятности ежедневных изменений погоды заданы матрицей:

а) если сегодня дождь, то какова вероятность, что послезавтра будет сухо? б) если в среду ожидается дождливая погода, с вероятностью 0,3 , то какова вероятность

того, что она будет дождливой в ближайшую пятницу?

9. Марковская цепь с двумя состояниями A1 и А2 задана матрицей переходов:

а) найти вероятность перехода из состояния А1 в А2 за два шага; б) найти вероятность того, что через два шага цепь будет в состоянии А2, если сначала

цепь находилась с вероятностью 1/2 в состоянии А2.

10. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид:

Распределение по состояниям в момент времени t=0 определяется вектором Р0= (0,7;0,2;0,1). Найти:

а) распределение по состояниям в момент времени t =2; б) вероятность того, что в момент времени t=0,1,2,3 состояниями цепи будут

соответственно А1 , А2, Аз; в) стационарное распределение.

11. Для цепи, заданной матрицей вероятностей перехода

 



 





9010

4060

 



 







10 





 





 



101080

90100

01090

321

,,,

AAA

,,ji,,ec

210 





 

xtx 

 

tt,tx 

. Найти стационарное распределение.

12. Доказать, что цепи, задаваемые переходными матрицами вида:

при

имеют одно и тоже стационарное распределение.

13. Аппаратура может находиться в рабочем состоянии (А1), в ожидании ремонта (А2), в ремонте (А3). Вероятности перехода из состояния в состояние в течение суток даны в матрице:

В случае эксплуатации станции фирма получает ежедневно 500 руб.; при простое платит неустойку 50 руб. в сутки, сутки ремонта стоят 100 руб. Каков среднесуточный доход фирмы?

14. 60% детей выпускников СибГУТИ учатся в СибГУТИ. 30% в других вузах и 10% в вузы не поступают. Дети, родители которых окончили другие вузы, учатся в СибГУТИ 20%, в других вузах -70%, нигде не учатся - 10%. Для детей, родители которых не имеют высшего образования, эти проценты соответственно, 10, 40, 50. Какова вероятность, что в СибГУТИ будут учиться: а) сын выпускника СибГУТИ; б) его внук; в) его достаточно далекий потомок ?

15. В стране Ландии климат весьма изменчив. Здесь никогда не бывает двух ясных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с одинаковой вероятностью пойдет дождь или снег. Если сегодня дождь (или снег), то с вероятностью 1/2 погода не изменится. Если же она изменится, то в половине случаев снег заменяется дождем или наоборот и лишь в половине случаев на следующий день будет ясная погода. Требуется:

а) принимая в качестве состояний цепи различные виды погоды Д, Я, С, выписать матрицу перехода;

б) построить граф, соответствующий этой матрице; в) определить вероятности хорошей погоды через три дня после дождя; г) найти предельные вероятности.

16. Электрон может находиться на одной из счетного множества орбит в зависимости от энергии. Переход с i-й орбиты на j- происходит за одну секунду с вероятностью:

Найти вероятность перехода за две секунды и постоянные сi.

10 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Случайный процесс

называется марковским, если для любого момента времени

t0 при зафиксированном значении

случайные величины

, не зависят

от величины

 

0txi

 

 

,,,, 210

 

st,t,sP



      

isx/jtxPt,sP



 

t,sP

   

t,sPt,sP

jiji



 

      

ix/jtxPtP





       

tP,,tP,tP,tP



210

    

ktxPtP



2100 ,,k,t 

 

n,,,,i,P

2100

 

PP 

   

tPPtP





0

     

sPtPstP





0

 











jiпри

 

   

tttP

jiji







 

.t/t 00 



nji

iii

,,1,0,, 



, s < t0. Неформально это означает, что поведение системы,

описываемой случайной величиной только от величины

Пусть процесс

и не зависит от

может принимать только конечное или счетное число значений из

множества целых неотрицательных чисел

, после какого-либо момента времени t0 зависит

при s < t0.

. Через

обозначим

вероятность того, что система, находящаяся в момент s в состоянии i окажется в момент времени t в состоянии j:

(10.1)

Марковский процесс называется однородным, если при всех s, t вероятность

зависит только от разности t – s. Другими словами, при любом  и всех i, j, s, t

выполняется равенство

В дальнейшем будут рассматриваться только однородные марковским процессы и

через

будем обозначать вероятность того, что система за время t перейдет из

состояния i в j:

(10.2)

Для описания марковского процесса с состояниями 0, 1, 2,…, n, часто используют вероятности состояний

, т.е.

- вероятность того, что система, описываемая марковским

(10.3)

процессом в момент времени t, находится в состоянии k. Через обозначим начальное распределение вероятностей, т.е.

Величины (10.2) и (10.3) связаны равенствами:

(10.4)

Здесь по определению

(10.5)

Ниже рассматриваются только процессы, у которых переходные вероятности удовлетворяют следующим условиям:

(10.6)

Здесь из i;

называется плотностью или интенсивностью перехода из i в j; по определению,

Для марковского процесса с конечным числом состояний при выполнении условий (10.6) справедливы дифференциальные уравнения:

Величина

называется плотностью или интенсивностью выхода

   

njtPtP

jkkj

,,1,0; 







 

njPP

,,2,1,0,0





 

080204030

210220121001





;,;,;,;,

0,3

0,4

0.8

0,2

 



 

iji





 

iki





               

     

 

 















tPtPtP

tPtPtPtP

212

1101

0210

8,02,0

2,04,03,0

3,08,04,0

     

110 tPtPtP



 

     

 

tPtPtP

1 

 

tt,t 

 

tt  0



010,



(10.7)

Начальные данные для системы уравнений (10.7) задаются неравенствами

При составлении дифференциальных уравнений (10.7) удобно пользоваться графом

состояний системы, на котором состояния процесса изображены кружками. Если плотность перехода из состояния i в j не нулевая, то на графе из i в j ведет стрелка, над которой приведено значение

. Пример такого графа приведен на рисунке 6. У

системы, описываемой эти марковским процессом, три состояния (0,1,2), причем

Рисунок 6

Уравнения по графу состояний записываются по следующему правилу: в левой части стоит производная

, а в правой части стоит столько членов, сколько стрелок входит

и выходит из состояния j. Если стрелка ведет в j-ое состояние из i-го, то ей соответствует слагаемое

, если стрелка из j-го состояния в k-ое, то ей соответствует слагаемое

. Например, для графа на рисунке 1 получаем систему уравнений

(10.8)

Число уравнений системы может быть уменьшено на 1, если воспользоваться

условием нормированности вероятностей: для любого t

Например, из системы (10.8) можно убрать последнее уравнение, а равенства

(10.9)

найти из

1. Некто купил радиоприемник с двумя запасными предохранителями. В процессе работы приемника используется один предохранитель; перегоревший предохранитель заменяется на новый. Вероятность того, что предохранитель сгорит в промежутке времени

Найти вероятность того, что этих предохранителей не хватит на 400 часов работы. Решение. Введем состояния рассматриваемой системы: 0 – все предохранители

исправны, 1 – один предохранитель сгорел, 2 – и 3 – сгорели два и три предохранители,

, равна

ЗАДАЧИ

при

час-1.

соответственно. По условию задачи плотность перехода из состояния i в (i+1) равна 0,01

010

231201

,



 

400

         

     

   

tPtP

tPtPtP

tPtP

212

201

01,0

01,001,0

01,0

















       

000010

3210

 PPP;P

 

etP

0100



 

et,tP

010





   

et,tP

010





   

 



 





2010

010

01011 t,t,etP

   

808411400

,eP 



0,q

0,3

0,2

0,5

0,4

0,05

0,01

час-1 при i= 0,1,2, т.е.

. Требуется найти вероятность того, что

сгорят все предохранители менее, чем за 400 часов работы, т.е.

. Для этого

сначала нарисуем граф переходов рассматриваемой системы:

Рисунок 7

Затем по этому графу составим систему дифференциальных уравнений вида (1.7)

Т.к. в начальный момент (t=0) все предохранители целые, т.е. система находится в состоянии 0, то для системы уравнений получаем следующие начальные данные:

Решая первое уравнение, получаем уравнение, получаем

, затем, подставляя в третье и четвертое,

. Подставляя это решение во второе

находим:

Из последней формулы находим

2. В четырехэтажном здании есть пассажирский лифт. Если через i, i=1, 2, 3, 4 обозначить состояние «лифт находится на i-ом этаже», то граф переходов выглядит так:

Рисунок 8

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]