Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания
.pdf
61
Для системы с отказами представляют интерес среднее число обслуживаемых
tP
k
*
tP
k
*
mksP
kmss
m
P
skP
kkm
m
P
kmss
m
km
m
P
k
sk
k
k
k
s
k
m
sk
k
sk
k
1;
!!
!
1;
!!
!
!!
!
!
!
*
0
*
*
0
*
1
0 1
*
0
61
201
602
1
,сек
19
0
20
0
20
*
20
*
!
!20/
11
k
i
i
kсв
i
PPP
требований и среднее число свободных приборов s. Эти величины могут быть
найдены по формулам (13.8), (13.9) и (13.13).
Рассмотрим теперь случай, когда общее число требований, участвующее в процессе
массового обслуживания, ограничено и равно некоторому m (в двух рассматриваемых
ранее задачах это число было потенциально неограниченно, бесконечно). Пусть по
прежнему s - число приборов, а - интенсивность обслуживания одним прибором, т.е.
другими словами, время обслуживания прибором одного требования подчиняется
экспоненциальному распределению с параметром . Если требование поступает в
систему, когда там есть свободные приборы, то оно немедленно поступает к одному из
приборов, иначе ждет своей очереди.
Обозначим через
вероятность того, что в момент t нуждаются в обслуживании
k требований. Типичный пример - s рабочих обслуживает m станков-автоматов. Здесь
- вероятность того, что в момент t k станков требуют внимания рабочих. Для этой
системы при любых и , существует стационарный режим работы и предельные
вероятности даются формулами (13.14):
(13.14)
ЗАДАЧИ
1. Рассматривается работа автоматической телефонной станции (АТС), рассчитанной на
одновременное обслуживание 20 абонентов (двадцатиканальная СМО). Известно, что
вызов на АТС поступает, в среднем, один раз в 6 секунд. Каждый разговор длится в
среднем 2 минуты. Если абонент застает АТС занятой, то он получает отказ. Если
абонент застает свободным хотя бы один канал, то он соединяется с нужным ему
номером. Определить: 1) вероятность того, что абонент, вызывая АТС, не застает ее
занятой; 2) определить среднее число занятых каналов.
Решение. АТС можно рассматривать как систему массового обслуживания с отказами.
Здесь s=20;
среднего экспоненциального распределения (11.4)).
Вероятность того, что система не будет занята (Рсв) можно вычислить так:
Используя таблицу для распределения Пуассона или калькулятор, можно получить Рсв
=0,841.
(1/сек);
. (Это следует из формулы для
62
Среднее число занятых каналов равно среднему числу обслуживаемых абонентов и
20
1
20
20
0
19
0
20
0
20
1
*
120
!/
!/
!
!/
n
n
n
n
n
i
i
n
n
n
P
n
n
i
n
nPn
816,
находится по формуле (13.8)
Вычисляя, находим, что
.
2. На автозаправочной станции (АТС) имеется 4 колонки. Заправка одной машины
длится в среднем 3 минуты. В среднем на АТС каждую минуту прибывает машина,
нуждающаяся в заправке. Если колонки заняты, то прибывающие машины встают в
очередь. Число мест в очереди практически не ограничено. Определить среднее время,
проходящее с момента прибытия машины на заправку, до момента ее заправки и среднее
число обслуживаемых на АТС машин.
Указание. Работа АТС может рассматриваться как работа системы массового
обслуживания с неограниченной очередью. У этой системы существует стационарный
режим (проверьте!). Здесь s=4, = 1 (1/мин.), = 1/3 (1/мин.).
3. В общежитии вечером работают два буфета, расположенные рядом так, что очередь в
эти буфеты общая. Обслуживание одного покупателя длится, в среднем, 2 минуты. В
среднем в буфеты прибывает 2 человека в 3 минуты. Определить среднее время, которое
затрачивает покупатель от момента прихода в буфет до приобретения покупки. Какова
вероятность того, что покупателю не придется стоять в очереди?
4. В учреждении три телефона-автомата, расположенных в вестибюле, в одном месте.
Известно, что средняя продолжительность телефонного разговора 3 минуты, а поток
людей, желающих поговорить по телефону, можно считать простейшим с параметром
=0,5 (1/мин.). Чему равно среднее время, которое люди проводят в очереди у
автоматов? Какова вероятность того, что человек, пришедший позвонить, застанет
свободным все три автомата?
5. Предположим, что в условиях предыдущей задачи, телефоны-автоматы в учреждении
переставили в разные части здания, так, что очередь стала у каждого автомата своя.
Считая, что к каждому автомату приходит третья часть всех желающих, определить,
чему равно среднее время ожидания в очереди. Сравните эту величину в задачах 5 и 4 и
объясните качественно причину различий.
6. В читальном зале института 10 одинаковых методических пособий для заочников по
теории случайных процессов. В период сессии заочники приходят за этими пособиями в
среднем один человек в двадцать минут и работают с этим пособием в среднем по два
часа. Если студент не застает пособия в читальном зале, то он уходит. Найти вероятность
того, что студент, обратившийся за пособием в читальный зал, сможет его получить.
7. В парикмахерской 2 мастера. В среднем за час в парикмахерскую приходит 4 клиента,
а время обслуживания одного посетителя занимает, в среднем, 20 минут. Если оба
63
мастера заняты, то прибывший клиент ждет обслуживания. Сколько, в среднем,
*
2
*
1
2PP
*
2
P
*
i
P
n
n,s
парикмахеров будут свободны?
8. В грузовом порту три причала для судов. Судно, прибывающее в порт, сразу встает
под разгрузку и погрузку к свободному причалу, если же такого нет, то встает в очередь
и ждет освобождения одного из причалов. Поток прибывающих судов можно считать
простейшим с параметром = 1,5 (штук/сутки). Время разгрузки и погрузки (суммарное)
у причала, подчиняется экспоненциальному (или показательному) распределению =0,8.
Определить, сколько, в среднем, кораблей находится у причала?
9. Рабочий обслуживает два станка-автомата. Среднее время между поломками одного
станка равно 4 часам, среднее время устранения неисправности равно 3 часам.
Определить среднее время простоя станков и среднее время простаивающих без ремонта
станков.
Указание. Первая величина равна
, вторая
, где
определены в (13.14).
10. Группа из трех рыболовных траулеров обслуживается одной плавучей базой.
Траулеры сдают пойманную рыбу на базу. Среднее время плавания траулера равно
четырем суткам. Среднее время обслуживания траулера - сутки. Определить среднее
время ожидания разгрузки траулером, если время плавания и время разгрузки –
случайные величины, подчиняющиеся экспоненциальному распределению.
11. Доказать, что для системы обслуживания с s приборами и неограниченной очередью
для среднего числа требований в системе
,0 среднего числа обслуживаемых требований
приборов
справедливы соотношения:
, среднего числа требований в очереди
и среднего числа свободных
Указание: Воспользоваться определениями (13.6) – (13.9).
12. Составить граф состояний для системы с отказами и по этому графу получить
систему уравнений (13.12). (Подробное описание системы дано перед этими
уравнениями). Получить из этих уравнений стационарные вероятности (13.13).
64
ОТВЕТЫ
BA
BBA
А
10
10
5
B B 2
10
1
1
5
C
2
5
10
3
A
10
10
5
3
6
B
B
3
6
2
2
6
C
3
6
20
В
С
A
CBA
CAB
CBA
1
1. ={ГГ, ГЦ, ЦГ,ЦЦ}, A={ГГ,ГЦ}, А и В совместны.
2. А={(i,j), i,j=1,…,20, i j; C=A+B.
3. ={(i,j), i=1,…,6, j=1,…,6}, A={i, j); i =2,4,6; j=1,…,6.
4. ={Г, ЦГ, ЦЦГ,…}, A={ЦГ}, B={Г, ЦГ, ЦЦГ}.
5. а) да; б) нет; в) нет; г) да.
6. А={МММ, ММД, МДМ, МДД}, B={ММД, МДД}.
7. ={ТТНН, ТНТН, ТННТ, ННТТ, НТНТ, НТТН}, A={ТННТ}, B={ННТТ,
ТНТН, НТТН}.
8. A= A1A2+ A1A3
9. a) A= A1A2+ A3A4 б) A= (A1 + A3) ( A4 + A2)
в) A= A1A2 (A3 +A4 ) г) A= A1 (A2+ A3 +A4)
10. А +В= , А В=,
11.
12.
14.
,
.
16. А + =А, А + ,= , А + А =А, А =, А = A, A A=A.
17. а)
18.
б)
в) АВС г) А+В+С д) АВ+ВС+СА
– курящий юноша, не проживающий в общежитии.
19. 1 – да, 2 – нет, 3 – нет.
20. А+В=В, АВ= А, В+С=В, В С= С, Д+E+F=C, B F= F.
65
1. 1/90. 2. 0 . 3. 12/35. 4. 0,75. 5. 2/9. 6. 3/8. 7. 0.032.
131415
8910
AP
131415
345
131415
8910
BP
3
7
1
AP
4
7
4567
BP
536
374
3
52637
4
3
7
340
3
241
3
C/CCCC
585960
181960
AP
585960
204060
BP
5
33
1
C
4880/
3
100
1302
70
,CCC
3
25
2101
15
1102
15
/CCCCC
1000
4
8
1
2
1
CP;BP;AP
4
36
0
32
4
4
1
32
3
4
C/CCCC
5
10
3
6
2
4
C/CC
19
14
20
15
AP
20
15
BP
131415
345
131415
8910
AP
282930
8910
AP
282930
181920
1BP
7
1
8
2
9
3
7
4
8
5
9
6
19
9
20
10
1;
19
9
20
10
1250
22
1
23
22
24
23
23
1
24
23
24
1
,
8. 14/63. 9. 1/8. 10. А и В совместимы.
11. А и В несовместны.
12.
13. А и В несовместны.
;
;
.
;
14. 0,0175; 15. а) 0,4; б) 0,6; в) 30/91.
16. а) 1/336; б) 1/70; 17. 1/18; 1/90.
18. 4/9. 19.
.
20. (12 8 4)(52 5150) (порядок извлечения не учитывается).
21. 1/1296 22. 99/455. 23.
25. а) 0,6 б) 0,3 в) 0,9. 26.
. 24. 0,3
.
27. Р(А)=2/5, Р(В)=1/5; А и В совместны.
28. 2/3. 29.
; А и В совместны, А и С
несовместны.
30.
31.
. 32. 0,225.
33. 5/9. 34. 0,01849. 36. 2/. 37. 1/3 +2/9 ln 2 0,487.
38. 0,9025.
3
1. Р(А)= Р(В)= 1/2; зависимы.
2.
3.
4. Зависимы. 5.
6. 1/3960. 7.
8.
;
; зависимы.
; зависимы.
;
.
9. 0,42 10. 0,72. 11. 0,1352. 12. 0,224.
13. 0,9 0,8 0,95 +0,1 0,8 0,95 + 0,9 0,2 0,95+ 0,9 0,8 0,05= 0,967.
14. 0,64. 15. 0,42. 16.
66
17. 0,424 22.
80
4
2
5
3
6
4
5
2
6
4
6
2
,
917,0
859
4
10
5
9
5
10
5
10
5
9744060406040604060
32
,,,,,,,,
150
15
6
16
7
10
5
15
6
16
6
10
5
,
46
9
56
3
38
4
3
1
14
8
15
9
15
10
14
9
15
10
15
5
4960450
446
320
60
446
120
90
446
6
,,,,
990/131
11
5
12
6
5
1
6
2
11
4
12
5
526
4
2
11
3
12
4
536
4
40
24
0
20
5
5
2
2
1
20
15
5
2
20
5
5
3
1
20
15
5
3
9
210394105
9
310495
10
5
2
9
410594105
31424
1
32434
1
1
4
1
36
16
6
1
33
13
6
1
32
12
6
1
31
11
6
1
/
33
13
6
1
333
8501504802049010450 ,,;,,,,,
729
224
10
910,
23.
25.
24. 3/8
. 26. 0,988.
27. 21/22. 28. 12/125. 29. 0,992. 30. 0,88.
31. 0,58 32. 0,41 33. 0,76 34. 0,6
4
1. 0,38 2. 0,03 3. 0,964 4. 0,857
5.
6.
8.
10.
11.
7.
9. 0,12
12.
13.
14. 387/640 , 175/387. 15. 0,225; 1/9. 16. 0,68
17.
18. 6/7 19. 0,07 20. 6/11 21. 0,19; 80/99.
22. 0,8 23. 71/90 24. 0,83; 14/83.
25. 0,74; 18/14 26. 2,16% 27. 13/132.
5
1. 0,0595; 0,0705 2. 0,317; 0,683. 3. 0,0256; 0,9728.
4. а) 0,254 б) 0,5506 5. 0,2048; 0,058; 0,95. 6. 0,92
7. а) 0,0512 б) 0,256 в) 0,9933
8. а) 0,246 б) 0,9011 9.
10. а) второе; б) первое; в) второе. 11. 0,875; 7.
12. 0,001 13. 2;
. 14. 0,36.
.
6
1. 0, 047 ; 0,066 2. 0,1; 0,9 3. 0,841; 0,994.
4. 0,159; 0,3085 5. 128 6. а) 0,5 б) 0,9772 в) 0,8664 7. 0,38; 388.
9. 0,47 10. 0,27; 0,3233 11. 0,1924 12.
13. 0,18
67
14. 0,2; 0,71; 0,082 15. 0,55 16. 0,184; 0,63; 0,37.
0 1 2
3
P
0,512
0,384
0,096
0,008
0 5 10
P
0,36
0,48
0,16
Значения
0 1 2
Вероятность
0,02
0,26
0,72
31
324,0
2116,0
10064,0
00
x
x
x
x
x
xF
Значения
0 1 2 3 4
Вероятности
1/16
1/4
3/8
1/4
1/16
0 1 2 3 4
P
0,3969
0,4284
0,1534
0,0204
0,0009
Значения
0
10
40
Вероятности
0,512
0,384
0,104
Значения
1 2 3
4
Вероятности
0,5
0,3
0,15
0,05
Значения
0 1 2
3
Вероятности
18
3
19
4
20
5
18
4
19
5
20
15
3
18
5
19
18
20
15
3
18
13
19
14
20
15
7 Дискретные случайные величины
1.
M= 0,6 D = 0,48
2.
3.
4.
5.
6.
M= 0,8 D = 0,6
7.
8
8.
M= 1,75 D = 0,79
9.
M= 2,25 D = 2,81
68
10.
Значения
1 2 3
4
Вероятности
0,4
0,3
0,2
0,1
Значения
1 2 3
4
Вероятности
0,2
0,16
0,128
0,512
Значения
0
20
50
Вероятности
0,5
0,48
0,02
511,e
Значения
-1 3 5
Вероятности
0,5
0,3
0,5
11
10
00
2
xпри
xприx
xпри
xF
90037110 /,MP
9
24
3
1
2
DMP
1
1
1
10
xпри
x
xпри
xF
11
10
1
xприe
xпри
xF
x
21
22150
20
xпри
xприxsin,
xпри
xF
85218 ,,x
Q
M= 2; D = 1; P{>2}=0,3.
11.
M= 2,952; P{>2}=0,64.
12.
13. 40. 14. 1,5;
15. 5; 0,128; 0,488.
16.
17. 0,027; 1,42.
7 Непрерывные случайные величины
1.
а) с=2 б)
г) M= 2/3 D = 1/18
д) P(<M )= 4/9 ,
2. c=1;
M= ∞ D =∞; P{ <∞}= 0.
3. c=1;
M= 2 D = 1; P{ <M}= 1 – e-1;
P{ >M+0,1}= e
4. c=1/2;
5. Mx=2; Dx= 4/3.
6. c= 1/9;
7. 1. Нет P{ <310}= 0,977. Надо записать 311б65 тонны.
8. 0,023; призывать тех, у кого рост больше 192,8 см.
-1,1
69
9. 0,0668; посылать ревизора, если стоимость больше 1828 руб.
61,e
31
1
22
/P,ax;
xa
xP
arctgxxF;/P;/a
1
2
1
211
27018
3
,P;xxP
125
x
y / x
0
10
15
7
1/5
1/10
1/5
14
1/15
1/30
1/15
25
2/15
1/15
2/15
Значения
1
3 4 5
Вероятности
0,38
0,34
0,28
Значения
2
2 3 4
5
Вероятности
0,08
0,37
0,29
0,26
68021,r
0 1 2 3 4
Р
1/6
11/24
1/4
1/24
1/12
1217 /)(M
10. 0,0062; отправлять в ремонт при расходе, превышающем
19,66 кг.
11.
13. M= 1; D= 3; x
. 12. M= 1,5; D= 100; x
=3,88; x
0,96
0,5
0,96
=1.
=19
14. M= – 1; P= 0,75. 15. 0,32; =0,036
16. 0,477; 0,954 17. 0,01 18. 0,023
19. 1 – e-2; - ln 0,2 20. 1 – e
-0,75
21. a= 1/4; P(1x 2)= ½.
22. 22. A= 1/2; B=1/;
23.
24. M= 0; D = 1/16.
25.
26. mx=435;
8
1. x : 0 1 y : - 1 0 1
P : 0,45 0,55 P : 0,25 0,40 0,35
Mx= 0,55; My= 0,10
2.
3. Mx= 2,1; My= 0,9; Dx=Dy= - K xy =0,63.
4.
6.
70
7. 49,375; 0,54 8. M() = - 6; D()= 73; r=0,5
;,
ˆ
;,r 37670
2
36
70
60
175
41
100
175
021
1
8422
2
22
1
y
x
,
x
,
exp,y,xP
0063,0
6362
eeee
21720 ln/lnln
4/1;
2
11
*
2
111
,;
1
2
arctgyarctgxyxFa
22
21
/Rexp
2
1
222
2
1
,0)(
,
2
)(
Rxxf
RxxR
R
xf
Ryyf
RyyR
R
yf
,0)(
,
2
)(
2
222
2
2
Rxxf
RxxR
R
xf
,0)(
,
2
)(
1
222
2
1
22
2
22
22
2
,0)(
,
2
1
)(
yRxyxf
yRx
xR
yxf
4K
16
1
2
2
216
4
22
xyyx
K;DyDx;mm
r
rr
P,RC
3
2
1
12
3
3
2
2
3
y,yPyP 1
aya,
y
PyP 22
22
1
ayb,
y
PyP 22
22
1
y,ylnPyP 1
2
1
y,ePeyP
yy
22
1
2
y,ytgP
ycos
yP
y,yyyP
1
3
22
3
1113
9.
11. Нет. 12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
22.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]