Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по основам механики недеформируемого твердого тела с решением типовых задач. Учебное пособие
.pdf
Вектор центростремительного ускорения направлен к центру
В
В
В
В
В
Рис.
23
описываемой точкой окружности (к центру барабана) (рис. 22).
Полное ускорение точки М для указанного момента времени
22222
МММ
/9,108,108,1)1()1()1( смааа
.
Вектор ускорения точки М показан на рис. 59 как геометрическая
сумма ускорений
,
а
М
.
а
М
Для определения ускорения точки С необходимо определить
вращательное ускорение точки
А,
равны; ускорение точки
барабана, так как ускорения точек С,
равно вращательному ускорению точки
, следовательно для указанного момента времени
В
2
ВВАС
2
/3 смаааа
, в результате ускорение точки С
.
2
/35,06)1()1( смRа
Вектор ускорения точки С направлен вниз т.к. вектор
вращательного ускорения точки
направлен по касательной к
описываемой точкой окружности по дуговой стрелки углового ускорения
(рис. 22).
М
Задачи
4.1 Груз 1 подвешен на нерастяжимой нити,
r
R
намотанной на составной барабан 2 (рис. 23).
Требуется:
а) по известным кинематическим
2
характеристикам движения груза 1 – проекциям
скорости и ускорения точки С на вертикальную ось
х (т.к. груз перемещается вертикально)
смСх/25,0
,
2
/6,0 смаСх , определить скорость и
C
1
ускорение точки М, принадлежащей внешнему ободу барабана 2 (рис. 23);
б) по заданному уравнению движения груза 1 – точки С
3
8,12 tхС
определить скорость и ускорение точки М, принадлежащей внешнему
51
ободу барабана 2, а также скорость и ускорение груза 1 для момента
Рис.
24
времени t=0,25c после начала движения;
в) по заданному уравнению движения барабана 2
2
23
25,0 tt
определить скорость и ускорение точки М, принадлежащей внешнему
ободу барабана 2, а также скорость и ускорение груза 1 для момента
времени t=2c после начала движения;
если геометрические параметры составного барабана R=0,2м, r=0,15м.
4.2 Груз 1, лежащий на наклонной плоскости, подвешен на
нерастяжимой нити, намотанной на составной барабан 2 (рис. 24).
Требуется:
а) по известным кинематическим характеристикам движения груза
1 – проекциям скорости и ускорения
М
точки С на ось х (ось параллельна
наклонной плоскости) см
2
/0,1 смаСх , определить скорость и
Сх
/5,0
,
r
R
ускорение точки М, принадлежащей
внешнему ободу барабана 2 (рис.
1
C
2
24);
б) по заданному уравнению
движения груза 1 – точки С
3
6,042 ttх
С
определить скорость и ускорение точки М, принадлежащей
внешнему ободу барабана 2, а также скорость и ускорение груза 1 для
момента времени t=5c после начала движения;
в) по заданному уравнению движения барабана 2
2
tеt5,03
2
определить скорость и ускорение точки М, принадлежащей внешнему
ободу барабана 2, а также скорость и ускорение груза 1 для момента
времени t=1c после начала движения;
если геометрические параметры составного барабана R=0,4м, r=0,3м.
52
4.3 Груз 1 подвешен на нерастяжимой нити АВ, намотанной на
Рис.
25
Рис.
26
составной барабан 2 (рис. 25). Требуется:
а) по известным кинематическим характеристикам движения груза
1 – проекциям скорости и ускорения точки С на вертикальную ось х (т.к.
груз перемещается вертикально) см
Сх
/6,0
,
, определить
Сх
2
/9,0 сма
скорость и ускорение точки М, принадлежащей внутреннему ободу
барабана 2 (рис. 25);
б) по заданному уравнению движения груза 1 – точки С
8,0 t
)1(4
ех
С
определить скорость и ускорение точки М, принадлежащей
внутреннему ободу барабана 2, а также скорость и
М
ускорение груза 1 для момента времени t=1c после
начала движения;
r
R
в) по заданному уравнению движения
барабана 2
2
2
5,04 tt
определить скорость и
2
ускорение точки М, принадлежащей внутреннему
ободу барабана 2, а также скорость и ускорение
груза 1 для момента времени t=3c после начала
движения;
C
1
если геометрические параметры составного
барабана R=0,15м, r=0,1м.
М
4.4 Груз 1, лежащий на
наклонной плоскости, подвешен
на нерастяжимой нити,
r
C
1
R
намотанной на составной барабан
2
2 (рис. 26). Требуется:
а) по известным
кинематическим характеристикам
движения груза 1 – проекциям скорости и ускорения точки С на ось х (ось
параллельна наклонной плоскости) см
Сх
/5,1
,
2
/5,4 смаСх , определить
53
скорость и ускорение точки М, принадлежащей внутреннему ободу
барабана 2 (рис. 26);
б) по заданному уравнению движения груза 1 – точки С
3
5,05 ttх
определить скорость и ускорение точки М, принадлежащей
С
внутреннему ободу барабана 2, а также скорость и ускорение груза 1 для
момента времени t=2c после начала движения;
в) по заданному уравнению движения барабана 2 )]6/cos(1[5
2
t
определить скорость и ускорение точки М, принадлежащей внутреннему
ободу барабана 2, а также скорость и ускорение груза 1 для момента
времени t=1c после начала движения;
если геометрические параметры составного барабана R=0,4м, r=0,3м.
Указание. Если трос (нить) перекинут (а) через блок (рис. 27), то
при определении кинематических характеристик необходимо учитывать
следующее:
– трос (нить) на участке АВН движется поступательно, в каждый
момент времени все точки на этом участке имеют геометрически равные
скорости и ускорения, скорость и ускорение точек А и ВН будут равны
,
ВА
Н
аа ;
ВА
Н
– блок и трос (нить) имеют общую точку В, принадлежащую как
блоку – точка Вб, так и тросу (нити) точка ВН, скорости точек Вб и ВН равны
,
ВВ
Нб
вращательное ускорение точки Вб равно ускорению точки ВН
аа
,
ВВ
Нб
иначе говоря с учетом выше изложенного
и
ВА
б
aa ;
ВА
б
– блок и вторая ветвь троса (нити) имеют общую точку D,
принадлежащую как блоку – точка Dб, так и второй ветки троса (нити)
точка DН, скорости точек Dб и DН равны
54
б
Рис.
27
Н
б
СС
а
А
а)
б)
б
б
Н
б
Н
б
СС
а
А
б
б
Н
б
,
DD
Нб
вращательное ускорение точки Dб равно ускорению точки DН
аа
;
DD
Нб
– точки Dб и Вб принадлежат блоку – твердому телу, совершающему
вращательное движение относительно неподвижной оси , равноудалены от
оси вращения, следовательно имеют равные по модулю скорости и
вращательные ускорения
и
ВD
бб
аа ;
ВD
бб
– трос (нить) на участке СDН движется поступательно, в каждый
момент времени все точки на этом участке имеют геометрически равные
скорости и ускорения, скорость и ускорение точек C и DН будут равны
,
DС
Н
аа ,
DC
Н
Следовательно, модули скорости и ускорения точки А и С равны
,
ВА
D
аа
DD
Н
DD
Н
В
В
аа
ВВ
Н
ВВ
бН
D
а
D
б
а
В
б
б
R
C
б
а
А
А
.
аа
ВА
D
DD
Н
аа
Н
D
аа
ВВ
бН
В
В
а
В
ВВ
бН
а
А
б
а
D
б
б
R
А
DD
C
б
– направление векторов скорости и ускорения тела 1,
совершающего поступательное движение, определяется направлением
дуговых стрелок угловой скорости и углового ускорения тела 2,
55
совершающего вращательное движение относительно неподвижной оси
М 1 2
1 2
М
Рис. 29
1
2
М
(рис. 16).
Задачи
4.5 Для приведенной схемы
механизма (рис. 28) по известным
характеристикам движения груза 1
– скорости υlx и ускорению a1x,
определить скорость и ускорение
точки М в данный момент времени,
если R2=60см, r2=45см, R3=36см,
2
11
xx
/7,0,/5,0 смaсм
.
Рис. 28
3
4.6 Для приведенной схемы механизма (рис. 29) по заданному
3
уравнению движения тела 1 – х(t),
определить скорость и ускорение
точки М, а также скорость и
уравнению движения вала 3 – φ3(t),
определить скорость и ускорение
точки М, а также скорость и
ускорение груза 1, в данный момент
времени, если R2=40см, r2=25см,
R3=20см, радt 53
2
3
, t=1c.
4.7 Для приведенной схемы
механизма (рис. 30) по заданному
ускорение груза 1, в данный
момент времени, если R2=20см,
r2=10см, R3=30см, r3=10см,
3
мtх25 , t=0,5c.
4.8 Для приведенной схемы
Рис. 30
механизма (рис. 31) по заданному уравнению движения вала 3 – φ3(t),
56
определить скорость и ускорение точки М, а также скорость и ускорение
1
2
М
груза 1, в данный момент времени, если R2=20см, r2=15см, R3=10см,
23
радtt
3
25,0
, t=2c.
3. СТАТИКА
3
Задачи по статике твердого
тела отличаются большим
разнообразием. Они могут
Рис. 31
включать в себя в комплексе или в
виде отдельных вопросов:
– преобразование систем сил в эквивалентные;
– установление кинематического состояния твердого тела, тел;
– определение сил действующих на тело, тела находящиеся в покое,
равновесии,
– определение центра параллельных сил.
В соответствии с этим все задачи статики твердого тела делят на
следующие группы:
1. Задачи, в которых требуется, зная что тело, твердые тела,
находятся в равновесии под действием сходящейся системы сил,
определить реакции связей (обратная задача статики).
2. Задачи, в которых требуется, зная что тело, твердые тела,
находятся в равновесии под действием произвольной плоской системы
сил, определить реакции связей (обратная задача статики)..
3. Задачи, в которых требуется определить центр тяжести
однородного контура.
4. Задачи, в которых требуется определить центр тяжести плоской
фигуры.
5. Задачи, в которых требуется определить центр тяжести тела
(объема).
57
у
х
А B
А B
1 2
Задачи I типа
Указание 1. Выбрать объект, равновесие которого необходимо
рассмотреть (одно тело или система тел).
Указание 2. Показать все активные силы, действующие на
выбранный объект, и используя принцип освобождаемости от связей –
реакции связей.
Указание 3. Классифицировать полученную систему сил, и
записать условие равновесия в аналитической форме.
Указание 4. С любой точкой тела (пространства) связать
систему отсчета и в соответствии с условиями равновесия составить
уравнения.
Указание 5. Разрешить полученную систему уравнений
относительно неизвестных сил.
Пример I.1. Груз весом G = 15 кН (рис. 32),
подвешенный на тросе,
удерживается кронштейном,
1
состоящим из двух невесомых
стержней АВ и АС, в шарнирах В
и С кр онш тейн прикреплен к
2
вертикальной стене и составляет с
ней углы а1= 45° и а2 = 30°. Весом
троса можно пренебречь.
С
G
Определить усилия в стержнях
R
1
1
R
2
2
R
3
Решение. В качестве
Рис. 32
С
объекта равновесия рассмотрим
мысленно вырезанный шарнир в точке А, тогда
Рис. 33
стрежени АВ, ВС и трос – связи. Используя аксиому 6 освобождаем
58
шарнир в точке А от связей, а их действие заменяем реакциями связей;
тогда на этот шарнир будут действовать – реакция от троса
R и 2R от стержней АВ и АС соответственно. Реакции от стержней
1
R и реакции
3
направлены, как известно, вдоль этих стержней, реакция от троса
направлена вдоль троса. Представленная система сил – плоская
сходящаяся система сил. С точкой А связываем прямоугольную систему
координат, ось х направляем вправо, ось у вверх (рис. 33). Поскольку
система сил уравновешена, записываем условие равновесия в
аналитической форме и составляем уравнения согласно данному условию:
n
0
F
ix
1
i
n
F
1
i
,
0
iy
RRх
0sinsin:
2211
RRRу
.
0coscos:
32211
Получим систему уравнений для опредления усилий в стержнях.
RR
0sinsin
2211
RRR
.
0coscos
32211
Данная система уравнений содержит три неизвестных R3, R1 и R2.
Для определения реакции от троса рассмотрим
ó
находящийся в равновесии груз (рис. 34). В этом случае
R
трос выступает в качестве связи.
3
Используя аксиому 6 освобождаем груз от связи, а
õ
ее действие заменяем реакцией связи, тогда на груз будут
действовать – сила тяжести G и реакция от троса
точкой приложения силы тяжести груза связываем
R . С
3
G
Рис. 34
прямоугольную систему координат, ось х’ направляем
вправо, ось у’ вверх (рис. 34). Поскольку система сил уравновешена,
записываем условие равновесия в аналитической форме и составляем
уравнения согласно данному условию:
59
n
i
i
0
F
xi
1
n
0
F
yi
1
х
,
00:
.
0:
GRу
3
В итоге получим систему уравнений для опредления усилий в
стержнях
GR
3
RR
0
0sinsin
2211
0coscos
RRR
.
32211
Решая эту систему уравнений, находим R1=-1,74 кН, R2 = -9,4 кН.
Знак «минус» у величин реакций R1 и R2 означает, что они имеют
направление, противоположное принятому, то есть стержени не
растянуты, а сжаты.
Задачи
1.1 Груз весом G = 5 кН (рис.
35), подвешенный на тросе,
удерживается кронштейном,
состоящим из двух невесомых
Рис. 35
стержней 1 и 2 . Весом троса можно
пренебречь. Определить усилия в
стержнях.
1.2 Груз весом G = 10 кН
(рис. 36), подвешенный на тросе,
удерживается кронштейном,
Рис. 36
состоящим из двух невесомых
стержней 1 и 2. Весом троса можно пренебречь. Определить усилия в
стержнях.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]