Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по основам механики недеформируемого твердого тела с решением типовых задач. Учебное пособие
.pdf
– на участке АНВН трос (нить) перемещается поступательно, а
2
Рис.
16
Н
2
СС
а
Н
В
В
2
НА1
Н
2
СС
а
Н
Н
1
а)
б)
значит скорости и ускорения точек АН и ВН равны
2
В
В
а
В
2
аа
ВВ
Н
R
аа
Н
2
В
В
а
В
2
ВВ
R
ВВ
Н
2
2
А
А
1
аа
А
1
А
АА
1
Н
2
2
2
АА
1
Н
А
1
аа
А
1
А
C
C
1
1
,
ВА
НН
аа ;
ВА
НН
– тело 2 и трос (нить) имеют общую точку В, принадлежащую как
телу 2 – точка В2, так и тросу (нити) точка ВН, скорости точек В2 и ВН равны
,
ВВ
Н
2
вращательное ускорение точки В2 равно ускорению точки ВН
аа
,
ВВ
Н
2
следовательно
, R
ВС
2
С
и
2
aa , Ra
ВС
2
С2
,
– направление векторов скорости и ускорения тела 1 совершающего
поступательное движение определяется направлением дуговых стрелок
41
угловой скорости и углового ускорения тела 2, совершающего
Рис.
17
1
2
СС
а
1
2
СС
а
а)
б)
вращательное движение относительно неподвижной оси (рис. 16),
б) вариант 2 – непосредственный контакт двух тел (тело 1, движется
поступательно, тело 2 (шкив, барабан, диск, вал), совершает вращательное
движение), оба тела имеют общую точку, точку соприкосновения – точку
А, эта точка принадлежит как телу 1 – точка В1 так и телу 2 – точка В2 (рис.
17):
R
2
2
ВВ
21
В
В
а
В
2
аа
ВВ
21
2
В
В
а
В
2
аа
ВВ
21
ВВ
21
2
R
2
2
1
C
C
1
– так как тело 1 движется поступательно, то скорость и ускорение
твердого тела определяются скоростью и ускорением любой его точки –
точки С; при поступательном движении все точки тела 1 описывают
одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и в каждый момент
времени имеют геометрически равные скорости и ускорения, то скорость и
ускорение точек С и В1 будут равны
,
ВС
1
аа ;
ВС
1
– тело 2 и тело 1 имеют общую точку В, принадлежащую как телу
2– точка В2, так и телу точка В1, скорости точек В2 и В1 равны
42
,
ВВ
12
вращательное ускорение точки В2 равно ускорению точки В1
аа
,
ВВ
12
следовательно
, R
ВС
2
С
и
2
aa , Ra
ВС
2
С2
,
– направление векторов скорости и ускорения тела 1,
совершающего поступательное движение, определяется направлением
дуговых стрелок угловой скорости и углового ускорения тела 2,
совершающего вращательное движение относительно неподвижной оси
(рис. 17).
– 2 случай:
Указание 2.1. При поступательном движении твердого тела все
точки данного тела описывают одинаковые (совпадающие при наложении)
траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные
скорости и ускорения. Общие для всех точек твердого тела, движущегося
поступательно, в данный момент времени, скорость и ускорение называют
скоростью и ускорением поступательного движения твердого тела. Данное
свойство поступательного движения позволяет свести изучение
поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной
точки этого тела, решение подобной задачи мы рассмотрели выше.
Указание 2.2. Используя указание 1.4 для случая 1 определить
угловую скорость и угловое ускорение промежуточного, ведомого вала
(диска, шкива), непосредственно находящегося в контакте с телом,
совершающим поступательное движение, или связанным с ним
посредством троса (нити).
Указание 2.3. Если точка N принадлежит промежуточному или
ведомому валу (диску, шкиву, барабану) угловую скорость и угловое
ускорения которого определили, используя рекомендации указания 2.2.,
определить окружную скорость и ускорение точки N. В противном случае
повторить процедуру определения угловой скорости и углового ускорения
43
промежуточных или ведомых валов (дисков, шкивов, барабанов),
Рис.
18
используя рекомендации указания 1.2. для случая 1, до тех пор, пока не
будут определены угловая скорость и угловое ускорение промежуточного
или ведомого вала (диска, шкива, барабана), которому принадлежит точка
N, и только после этого определить окружную скорость и ускорение точки.
– 3 случай:
Указание 3.1. Методика решения задачи по случаю 3 не отличается
особым образом от методики решения задачи по случаю 2, с той лишь
разницей, что уже даны проекции вектора скорости и ускорения
конкретной точки твердого тела, совершающего поступательное
движение. Поэтому порядок решения будет таким же, как и в случае 2.
Пример IV.1. Груз 1 подвешен на нерастяжимой нити АВ,
намотанной на составной барабан 2 (рис. 18).
Требуется:
а) по известным кинематическим
B
r
М
R
характеристикам движения груза 1 – проекциям
скорости и ускорения точки С на вертикальную
2
ось х (т.к. груз перемещается вертикально)
смСх/5,0
,
, определить скорость и
Сх
ускорение точки М, принадлежащей
внутреннему ободу барабана 2 (рис. 19);
2
/7,0 сма
A
1
C
б) по заданному уравнению движения
груза 1 – точки С
2
5tхС определить скорость и ускорение точки М,
принадлежащей внутреннему ободу барабана 2, а также скорость и
ускорение груза 1 для момента времени t=0,5c после начала движения;
в) по заданному уравнению движения барабана 2 53
2
2
t
определить скорость и ускорение точки М, принадлежащей внутреннему
ободу барабана 2, а также скорость и ускорение груза 1 для момента
времени t=1c после начала движения;
если геометрические параметры составного барабана R=0,5м, r=0,3м.
44
Решение. В рассматриваемом примере груз 1 совершает
В
В
В
В
В
В
В
В
В
Рис.
19
В
В
поступательное движение; составной барабан 2 совершает вращательное
движение; часть нити, которая охватывает барабан по внешнему ободу,
совершает вместе с барабаном вращательное
движение, участок нити АВ совершает
поступательное движение вместе с грузом 1.
r
М
R
Точка В принадлежит как движущемуся
поступательно участку нити АВ – точка
, так и
2
внешнему ободу барабана совершающему
вращательное движение – точка
Скорости точек А, С,
ускорения точек А, С,
равны; ускорение точки
равно вращательному ускорению точки
(рис 19).
,
равны;
A
1
C
.
Кинематические параметры
поступательного движения груза определяются кинематическими
параметрами точки С.
а) Выбираем положительное направление отсчета координаты х
(рис. 20), тогда вектор скорости точки С направлен вверх, вектор
ускорения точки вниз согласно заданным проекциям.
Для определения скорости точки М необходимо определить
угловую скорость барабана. Так как скорости точек А, С,
следовательно см
СхСАВВ
/5,0
, в результате угловая скорость
,
равны,
барабана
5,0
В
2
R
5,0
срад
/1
.
45
Дуговая стрелка угловой
В
В
В
В
Рис.
20
В
В
х
С
СаААаВ
В
В
В
а
а
скорости направлена по часовой
стрелке по направлению вектора
а
М
а
М
2
М
скорости точки
(рис. 20).
Скорость точки М
смr
М
2
/3,03,01
.
Вектор скорости точки М
направлен по касательной к
описываемой точкой окружности
(касательно к внутреннему ободу) по
направлению движения (рис. 20).
Центростремительное ускорение
точки М
22
2
М
2
/3,03,01 смrа
.
Вектор центростремительного
A
C
r
а
М
М
R
2
2
1
ускорения направлен к центру описываемой точкой окружности (рис. 20).
Для определения вращательного ускорения точки М необходимо
определить угловое ускорение составного барабана. Так как ускорения
точек А, С,
точки
равны; ускорение точки
, следовательно
равно вращательному ускорению
2
СхСАВB
/7,0 смааааа
, в результате
угловое ускорение барабана
а
B
2
R
7,0
2
/4,1
срад
.
5,0
Дуговая стрелка углового ускорения направлена против часовой
стрелки (рис. 20) по направлению вращательного ускорения точки В.
Вращательное ускорение точки М
2
2
М
/42,03,04,1 смrа
.
Вектор вращательного ускорения точки М направлен по
касательной к траектории точки (по касательной к внутреннему ободу
барабана) в сторону дуговой стрелки углового ускорения (рис. 20).
46
Полное ускорение точки М
В
В
22222
МММ
/52,03,042,0 смааа
.
Вектор ускорения показан на рис. 20 как геометрическая сумма
ускорений
,
а
М
.
а
М
б) Выбираем положительное направление отсчета координаты х
(рис. 21). При координатном способе задания движения точки С скорость
точки определяем проекцией компонента вектора скорости по оси x, на
соответствующую ось х
tх
10
ССх
.
Для указанного момента времени t=0,5с, проекция примет значение
смСх/55,010)5,0(
.
Полученная проекция положительна, следовательно вектор
скорости точки С сонаправлен с осью х (рис. 21), груз перемещается вниз.
При координатном способе задания движения точки С ускорение
точки определяем проекцией компонента вектора ускорения по оси x, на
соответствующую ось х
а
10
СхСх
.
Для указанного момента времени t=0,5с, проекция примет значение
2
Сх
.
/10)5,0( сма
Полученная проекция положительна, следовательно вектор
ускорения точки С сонаправлен с вектором скорости точки С (рис. 21).
Для определения скорости точки М необходимо определить
угловую скорость барабана. Так как скорости точек А, С,
следовательно см
СхСАВВ
,
равны,
/5)5,0()5,0()5,0()5,0()5,0(
, в результате
угловая скорость барабана
2
R
В
)5,0(
5)5,0(
срад
/10
.
5,0
47
Дуговая стрелка угловой скорости направлена против часовой
В
В
В
В
ВВ
В
В
В
В
а
а
Рис.
21
х
С
СаÀА
а
A
М
а
М
а
М
стрелки по направлению вектора скорости
2
точки
(рис. 21).
Скорость точки М
М
смr
/33,010)5,0()5,0(
r
а
М
М
2
.
Вектор скорости точки М направлен
R
по касательной к описываемой точкой
окружности (касательно к внутреннему
2
2
ободу) по направлению движения (рис. 21).
Центростремительное ускорение
1
точки М
22
М
2
2
/303,0)5,0(10)5,0()5,0( смrа
.
C
Вектор центростремительного
ускорения направлен к центру описываемой
точкой окружности (рис. 21).
Для определения вращательного
ускорения точки М необходимо определить
угловое ускорение составного барабана. Так как ускорения точек А, С,
равны; ускорение точки
следовательно
равно вращательному ускорению точки
2
СхСАВB
/10)5,0()5,0()5,0()5,0()5,0( смааааа
, в
результате угловое ускорение барабана
а
B
)5,0( срад
2
R
10)5,0(
2
/20
.
5,0
Дуговая стрелка углового ускорения направлена против часовой
стрелки (рис. 21) по направлению вращательного ускорения точки В.
,
Вращательное ускорение точки М
М
48
2
.
2
/63,020)5,0()5,0( смrа
Вектор вращательного ускорения точки М направлен по
В
В
В
касательной к траектории точки (по касательной к внутреннему ободу
барабана) в сторону дуговой стрелки углового ускорения (рис. 21).
Полное ускорение точки М
22222
МММ
/6,30306)5,0()5,0()5,0( смааа
.
Вектор ускорения показан на рис. 21 как геометрическая сумма
ускорений
,
а
М
.
а
М
в) По заданному уравнению движения барабана, совершающего
вращательное движение, определяем закон изменения проекции угловой
скорости на ось вращения
tt 623
.
Для указанного момента времени t=1с значение проекции вектора
угловой скорости на ось вращения
срадt /6166)1(
.
Так как угол поворота для указанного момента времени принимает
положительное значение, т.е 0
, следовательно, тело вращается в
положительном направлении отсчета угла поворота. Если принять
положительное направление оси вращения барабана на нас, то угол
поворота отсчитывается против часовой стрелки, вектор угловой скорости
сонаправлен с осью вращения, дуговая стрелка угловой скорости
направлена против часовой стрелки (рис. 22).
Скорость точки М для указанного момента времени
смr
М
2
/8,13,06)1()1(
.
Вектор скорости точки М направлен по касательной к описываемой
точкой окружности (касательно к внутреннему ободу) по направлению
движения (рис. 22).
Для определения скорости точки С необходимо определить
скорость точки
барабана, так как скорости точек
,
, А, С равны,
следовательно для указанного момента времени
49
В
В
ВВ
В
В
В
В
а
а
Рис.
22
С
СаАА
а
2
ВВАС
см
/3
.
, в результате скорость точки С
смR
/35,06)1()1(
Вектор скорости точки С направлен вниз т.к. вектор скорости точки
направлен по касательной к
описываемой точкой окружности по
направлению движения (рис. 22).
Определяем закон изменения
М
а
М
а
М
2
М
проекции углового ускорения на ось
вращения
622
.
Для указанного момента времени
t=1с значение проекции вектора углового
ускорения на ось вращения
2
/6)6( срад
.
для указанного
Так как
2
0
момента времени, следовательно, угловая
скорость увеличивается, направление
дуговой стрелки углового ускорения
совпадает с направлением дуговой
A
C
r
а
М
R
2
2
1
стрелки угловой скорости, вектора
угловой скорости и ускорения соноправлены (рис. 22).
Вращательное ускорение точки М для указанного момента времени
2
М
2
/8,13,06)1()1( смrа
.
Вектор вращательного ускорения точки М направлен по
касательной к траектории точки (по касательной к внутреннему ободу
барабана) в сторону дуговой стрелки углового ускорения (рис. 22).
Центростремительное ускорение точки М для указанного момента
времени
М
2
50
22
2
/8,103,06)1()1( смrа
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]