Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по основам механики недеформируемого твердого тела с решением типовых задач. Учебное пособие
.pdf
Задачи
1.1 Тело движется поступательно вдоль оси х так, что координата
его точки А меняется по закону
А
23
ttх
, где х выражена в сантиметрах, t
– в секундах определить скорость и ускорение тела, а также скорость и
ускорение точки В, принадлежащей данному телу, в момент времени t=2с.
1.2 Тело движется поступательно вдоль оси у так, что координата
его точки А меняется по закону
, где у выражена в сантиметрах, t
А
2
15 tу
– в секундах определить скорость и ускорение тела, а также скорость и
ускорение точки В, принадлежащей данному телу, в момент времени t=1с.
1.3 Тело движется поступательно вдоль оси z так, что координата
его точки А меняется по закону
sin155ttz
A
, где z выражена в
6
сантиметрах, t – в секундах определить скорость и ускорение тела, а также
скорость и ускорение точки В, принадлежащей данному телу, в момент
времени t=1с.
1.4 Тело движется поступательно вдоль оси х так, что координата
его точки А меняется по закону
3
8,12 tхА , где х выражена в сантиметрах, t
– в секундах определить скорость и ускорение тела, а также скорость и
ускорение точки В, принадлежащей данному телу, в момент времени t=1с.
Задачи II типа
Указание 1. Для нахождения углового положения твердого тела в
указанный момент времени при вращательном движении необходимо в
закон движения вместо параметра t подставить значение этого времени.
Указание 2. Угловая скорость твердого тела при вращательном
движении в указанный момент времени определяется проекцией угловой
скорости на ось вращения. Для этого необходимо продифференцировать
функцию закона движения по параметру t и подставить значение времени.
31
Указание 3. Угловое ускорение твердого тела при вращательном
3
3
3
Рис.
12
движении в указанный момент времени определяется проекцией углового
ускорения на ось вращения. Для этого необходимо продифференцировать
функцию изменения угловой скорости по параметру t и подставить
значение времени.
Пример II.1 Вращение маховика в период пуска машины
1
определяется уравнением
3
t
, где t измеряется в секундах, φ – в
радианах.
Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение
маховика для момента времени t=2с после начала движения.
Решение. По заданному уравнению движения тела, совершающего
вращательное движение, определяем закон изменения проекции угловой
скорости на ось вращения
1
3
22
tt
.
Для указанного момента времени t=2с значение проекции вектора
угловой скорости на ось вращения
z
22
срадt /42)2(
.
Так как угол поворота для указанного момента
времени принимает положительное значение, равное
1
3
22
tt
и 0
для указанного момента времени,
следовательно, тело вращается в положительном
направлении отсчета угла поворота. Если принять
положительное направление оси вращения тела вверх, то
угол поворота отсчитывается против часовой стрелки,
вектор угловой скорости сонаправлен с осью вращения,
дуговая стрелка угловой скорости направлена против часовой стрелки
(рис. 12).
32
Определяем закон изменения проекции углового ускорения на ось
вращения
.
t2
Для указанного момента времени t=2с значение проекции вектора
углового ускорения на ось вращения
2
/4222)2( срадt
.
Так как
для указанного момента времени, следовательно,
0
угловая скорость увеличивается, направление дуговой стрелки углового
ускорения совпадает с направлением дуговой стрелки угловой скорости,
вектора угловой скорости и ускорения соноправлены (рис. 12).
Задачи
2.1 Вращение якоря электродвигателя в период пуска машины
определяется уравнением 53
2
t
, где t измеряется в секундах, φ – в
радианах. Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение
якоря для момента времени t=1с после начала движения.
2.2 Вращение маховика в период пуска машины определяется
уравнением
23
25,0 tt
, где t измеряется в секундах, φ – в радианах.
Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение маховика для
момента времени t=2с после начала движения.
2.3 Вращение ротора двигателя в период пуска машины
определяется уравнением
tеt5,0
2
, где t измеряется в секундах, φ – в
радианах. Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение
ротора для момента времени t=1с после начала движения.
2.4 Вращение якоря электродвигателя в период пуска машины
определяется уравнением tt 7
3
, где t измеряется в секундах, φ – в
радианах. Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение
якоря для момента времени t=2с после начала движения.
33
Задачи III типа
Указание 1. Для определения окружной скорости точки твердого
тела при вращательном движении в указанный момент времени
необходимо найти модуль вектора окружной скорости точки как
произведение угловой скорости в данный момент времени на кратчайшее
расстояние от точки до оси вращения; вектор окружной скорости точки
направить по касательной к описываемой данной точкой окружности по
направлению движения.
Указание 2. При вращательном движении твердого тела каждая
точка движется с ускорением (полным ускорением) равным
геометрической сумме вращательного ускорения точки и
центростремительного ускорения точки. Для определения вращательного
ускорения точки твердого тела при вращательном движении в указанный
момент времени необходимо найти модуль вектора вращательного
ускорения точки как произведение углового ускорения в данный момент
времени на кратчайшее расстояние от точки до оси вращения; вектор
вращательного ускорения точки направить по касательной к описываемой
данной точкой окружности по направлению дуговой стрелки углового
ускорения.
Для определения центростремительного ускорения точки твердого
тела при вращательном движении в указанный момент времени
необходимо найти модуль вектора центростремительного ускорения точки
как произведение квадрата модуля вектора угловой скорости в данный
момент времени на кратчайшее расстояние от точки до оси вращения;
вектор центростремительного ускорения точки направить по радиусу,
описываемой точкой окружности при движении, к оси вращения.
34
Пример III.1. По данным примера II.1 определить окружную
Рис.
13
скорость и ускорение точки М, отстоящей от оси вращения на расстоянии
0,5м.
Решение. Модуль вращательной скорости точки М для указанного в
примере II.1 момента времени
смh /25,04)2()2(
.
Вектор окружной скорости точки М направлен по касательной к
описываемой данной точкой окружности по направлению движения (рис.
13).
Модуль центростремительного ускорения точки М для указанного
момента времени
22
2
/85,04)2()2( смhа
.
Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу
описываемой точкой окружности при
z
движении (рис. 13).
Модуль вращательного ускорения
h
à
à
à
точки М для указанного момента
времени
2
/25,04)2()2( смhа
.
направлен по касательной к траектории
движения точки М твердого тела в
сторону дуговой стрелки углового
ускорения (рис. 13).
Модуль полного ускорения точки М для указанного момента
времени
Вектор полного ускорения точки М показан на рис. 13.
35
Вектор вращательного ускорения
22222
/23,828)2()2()2( смааа
.
Задачи
3.1 Вращение якоря электродвигателя в период пуска машины
определяется уравнением ttt 5
23
, где t измеряется в секундах, φ – в
радианах. Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение
якоря, окружную скорость и ускорение точки М, отстоящей от оси
вращения на расстоянии 15см для момента времени t=1с после начала
движения.
3.2 Вращение маховика в период пуска машины определяется
t
уравнением
2
еt
, где t измеряется в секундах, φ – в радианах.
Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение маховика,
окружную скорость и ускорение точки М, отстоящей от оси вращения на
расстоянии 10см для момента времени t=0,5с после начала движения.
3.3 Вращение ротора двигателя в период пуска машины
определяется уравнением
2
210 tt
, где t измеряется в секундах, φ – в
радианах. Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение
ротора, окружную скорость и ускорение точки М, отстоящей от оси
вращения на расстоянии 20см для момента времени t=2с после начала
движения.
3.4 Вращение якоря электродвигателя в период пуска машины
определяется уравнением
t
sin8
, где t измеряется в секундах, φ – в
3
радианах. Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение
якоря, окружную скорость и ускорение точки М, отстоящей от оси
вращения на расстоянии 15см для момента времени t=1с после начала
движения.
Задачи IV типа
В качестве основного исходного данного в задачах этого типа
может выступать:
36
– 1 случай: закон вращательного движения ведущего вала (диска,
шкива) )(tf
;
– 2 случай: закон движения твердого тела, движущегося
поступательно (закон движения точки твердого тела, совершающего
поступательное движение) )(tfх
;
– 3 случай: проекции компонент вектора скорости и ускорения
точки, принадлежащей твердому телу, на ось вдоль которой движется это
твердое тело, совершающее поступательное движение, например
,
а .
х
х
Требуется для всех трех случаев определить скорость и ускорение
точки N, принадлежащей ведомому диску (шкиву), скорость и ускорение
тела, движущегося поступательно, для указанного момента времени;
Рассмотрим каждые из трех случаев.
– 1 случай:
Указание 1.1. Определить угловую скорость и угловое ускорение
ведущего вала для указанного момента времени, методику смотрите выше.
Если точка N принадлежит ведущему валу, то необходимо определить ее
окружную скорость и ускорение, в противном случае перейти к
следующему указанию.
Указание 1.2. Определить угловую скорость и угловое ускорение
промежуточного или ведомого вала (диска, шкива), которому принадлежит
точка N, при этом необходимо учитывать следующее:
а) вариант 1 – передача посредством дополнительного тела (ремня,
нити, троса) (рис. 14):
– на участке АНВН ремень (нить, трос) перемещается поступательно,
а значит скорости и ускорения точек АН и ВН равны;
– поскольку точка А принадлежит барабану 2, а точка В барабану 1,
то:
1) скорости точек А2 и В1 равны
,
ВВАА
12
НН
37
следовательно rR
Рис.
14
2ААН
2ААН
а)
б)
2) вращательные ускорения точек А2 и В1 равны
ВА
НН
;
12
r
12
,
R
аааа
,
НН
ВВАА
12
следовательно rааR
2
2
2
Н
ВА
НН
А
Н
А
2
а
А
2
;
12
R
Н
r
12
,
R
аа
АА
2
В
Н
В
1
r
1
а
В
1
Н
ВВ
1
аа
ВВ
Н
1
1
1
2
аа
А
АА
2
Н
А
2
а
А
2
R
аа
ВВ
Н
1
1
В
Н
В
1
r
а
В
1
Н
ВВ
1
2
1
1
2
– центростремительные ускорения точек А2 и В1 различны!
Направление дуговых стрелок угловой скорости и углового
ускорения ведомого вала определяется направлением дуговых стрелок
угловой скорости и углового ускорения ведущего вала (рис. 14).
38
б) вариант 2 – непосредственная передача движения (оба тела
а)
б)
имеют общую точку, точку соприкосновения – точку А, эта точка
принадлежит как телу 1 – точка А1 так и телу 2 – точка А2) (рис. 15):
– в точке соприкосновения скорость точки А1 тела 1 и скорость
точки А2 тела 2 равны
,
АА
12
следовательно rR
2
2
2
;
12
R
а
r
,
12
R
1
r
А
А
1
2
А
2
а
А
1
1
АА
21
1
2
аа
АА
21
аа
АА
21
1
R
А
а
А
2
r
А
1
2
а
А
1
2
АА
21
2
Рис. 15
– в точке соприкосновения вращательное ускорение точки А1 тела 1
и вращательное ускорение точки А2 тела 2 равны
аа ,
АА
12
следовательно rR
;
12
39
r
,
12
R
1
1
– центростремительные ускорения точек А2 и А1 различны!
Направление дуговых стрелок угловой скорости и углового
ускорения ведомого вала определяется направлением дуговых стрелок
угловой скорости и углового ускорения ведущего вала (рис. 14).
Указание 1.3. Если точка N принадлежит промежуточному или
ведомому валу (диску, шкиву, барабану) угловую скорость и угловое
ускорения которого определили, используя рекомендации указания 1.2., то
определить окружную скорость и ускорение точки N. В противном случае
повторить процедуру определения угловой скорости и углового ускорения
промежуточного или ведомого вала (диску, шкиву, барабану) до тех пор,
пока не будут определены угловая скорость и угловое ускорение
промежуточного или ведомого вала (диска, шкива, барабана), которому
принадлежит точка N.
Указание 1.4. Определить скорость и ускорение тела, при этом
необходимо учитывать следующее:
а) вариант 1 – тело 1, движущееся поступательно подвешено на
тросе (нити), наматываемом на вал 2 (шкив, барабан, диск) (рис. 16):
– так как тело 1 движется поступательно, то скорость и ускорение
твердого тела определяются скоростью и ускорением любой его точки –
точки С; при поступательном движении все точки тела 1 описывают
одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и в каждый момент
времени имеют геометрически равные скорости и ускорения,
следовательно, скорость и ускорение точек С и А1 будут равны
,
АС
1
аа ;
АС
1
– тело 1 и трос (нить) имеют общую точку А, принадлежащую как
телу 1 – точка А1, так и тросу (нити) точка АН, скорости и ускорения точек
А1 и АН равны
,
Н
АА
1
ааН ;
АА
1
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]