Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по основам механики недеформируемого твердого тела с решением типовых задач. Учебное пособие
.pdf
2
t ,
Следовательно, траектория точки парабола, координаты вершины
(0,0), ветви направлены вверх.
Определяем положение точки на траектории для указанного
момента времени в условии t=1с
x
y
5,1 x
.
2
x
2
3
2
8
Траектория точки и положение точки на траектории (точка М)
показаны на рис. 1.
мtх 2122)1(
, мty 5,115,15,1)1(
22
М
.
Рис. 1
Задачи
1.1 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
2
132
tty , где х, у выражены в метрах, t – в секундах. Определить
,
tх 2
уравнение траектории точки и положение точки на траектории для
момента времени t=1с, показать положение точки на траектории.
1.2 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
2
1263
ttх , 62
2
ttу , где х, у выражены в метрах, t – в секундах.
Определить уравнение траектории точки и положение точки на
11
траектории для момента времени t=1с, показать положение точки на
1
t
траектории.
1.3 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
tх
cos2 ,
tуsin2 , где х, у выражены в метрах, t – в секундах.
Определить уравнение траектории точки и положение точки на
траектории для момента времени
1
, показать положение точки на
ct
3
траектории.
1.4 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
y , где х, у выражены в метрах, t – в секундах. Определить уравнение
3
33
tх
траектории точки и положение точки на траектории для момента времени
t=1с, показать положение точки на траектории.
Указание 2. Для нахождения скорости точки в конкретный момент
времени при координатном способе задания движения точки необходимо
определить проекции компонент вектора скорости по осям системы
координат на соответствующие оси.
,
Пример I.2. По данным примера 1 определить скорость точки.
Решение. При координатном способе задания движения точки
скорость точки определяем проекциями компонент вектора скорости по
осям x, y декартовой системы координат, на соответствующие оси
поскольку точка движется в плоскости ху
х
2 х
, ttу
у
325,1
.
Для указанного момента времени t=1с в примере 1, проекции
примут значения
смх/2)1(
, смt
у
/3133)1(
,
тогда модуль скорости точки для указанного момента времени t=1с в
примере 1
12
2222
смух/1332)1()1()1(
.
Вектор скорости для указанного момента времени показан на рис. 2, с
учетом полученных положительных значений проекций компонент
вектора скорости на оси х и у.
у
М
х
Рис. 2
Задачи
2.1 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
15,1
ty , где х, у выражены в сантиметрах, t – в секундах. Определить
2
tх ,
уравнение траектории точки, положение точки на траектории, скорость
точки для момента времени t=1с, показать положение точки на
траектории.
2.2 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
782 tх , 1112
2
tу , где х, у выражены в сантиметрах, t – в секундах.
Определить уравнение траектории точки, положение точки на траектории,
скорость точки для момента времени t=1с, показать положение точки на
траектории.
13
2.3 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
1
tх
cos2
,
tу
3
sin5
, где х, у выражены в сантиметрах, t – в секундах.
3
Определить уравнение траектории точки, положение точки на траектории,
скорость точки для момента времени t=1с, показать положение точки на
траектории.
2.4 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
,
22
tх
4
ty , где х, у выражены в сантиметрах, t – в секундах.
Определить уравнение траектории точки, положение точки на траектории,
скорость точки для момента времени t=1с, показать положение точки на
траектории.
Указание 3. Для нахождения ускорения точки в конкретный момент
времени при координатном способе задания движения точки необходимо
определить проекции компонент вектора ускорения по осям системы
координат на соответствующие оси.
Пример I.3. По данным примера 2 определить ускорение точки.
Решение. При координатном способе задания движения точки
ускорение точки определяем проекциями компонент вектора ускорения по
осям x, y декартовой системы координат, на соответствующие оси
поскольку точка движется в плоскости ху
а
0
, 3
хх
а
.
уу
Для указанного момента времени t=1с в примере 1, проекции
примут значения
,
х
2
/0)1( сма
,
у
2
/3)1( сма
тогда модуль ускорения точки для указанного момента времени t=1с в
примере 1
22222
/330)1()1()1( смааа
ух
14
.
Вектор ускорения точки для указанного момента времени показан на рис.
3, с учетом полученного положительного значения проекции компонента
вектора ускорения на ось у.
аа
у
М
Рис. 3
Задачи
3.1 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
422 ty , где х, у выражены в миллиметрах, t – в секундах. Определить
13
tх
уравнение траектории точки, положение точки на траектории, скорость,
ускорение точки для момента времени t=2с, показать положение точки на
траектории.
3.2 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
3
1282
ttх , 34
3
ttу , где х, у выражены в миллиметрах, t – в
секундах. Определить уравнение траектории точки, положение точки на
траектории, скорость, ускорение точки для момента времени t=1с,
показать положение точки на траектории.
,
3.3 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
tх
15
cos4
3
,
3
tу
sin9
, где х, у выражены в миллиметрах, t – в
3
секундах. Определить уравнение траектории точки, положение точки на
1
7
7
траектории, скорость, ускорение точки для момента времени t=1с,
показать положение точки на траектории.
3.4 Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям
8
ty , где х, у выражены в миллиметрах, t – в секундах. Определить
17
tх
уравнение траектории точки, положение точки на траектории, скорость,
ускорение точки для момента времени t=
4
с, показать положение точки на
траектории.
Задачи II типа
Указание. Для нахождения положения точки при естественном
способе задания движения точки необходимо выбрать начало отсчета,
положительное направление отсчета дуговой координаты и определить
,
значение дуговой координаты для указанного момента времени.
Пример II.1. Точка движется по окружности, радиус окружности
R=8см, согласно уравнению
ts
sin4
, где s выражена в сантиметрах, t
3
– в секундах. Определить и показать положение точки на траектории для
момента времени t=0,5с.
Решение. При естественном способе задания движения точки
должны быть известны траектория движения, начало отсчета,
положительное направление дуговой координаты, а также уравнение
движения точки.
Для выполнения этого условия выберем в качестве начала отсчета
верхнюю точку окружности и положительное направление отсчета дуговой
координаты по часовой стрелке (рис. 4).
16
О
+
M
Рис. 4
Тогда положение точки на траектории определиться значением
дуговой координаты для момента времени t=0,5с
.
sin45,0
3
sin4
3
Эта длина дуги окружности соответствует углу
)5,0(
s
2
R
48
45
. Положение точки на траектории (точка М)
α=45o
ñìts
25,0
R=8см
показано на рис.4.
Задачи
1.1 Точка движется по окружности, радиус окружности R=10см,
согласно уравнению
tts 210
, где s выражена в сантиметрах, t – в
секундах. Определить и показать положение точки на траектории для
момента времени t=2с.
1.2 Точка движется по окружности, радиус окружности R=30см,
согласно уравнению
2
10 ts , где s выражена в сантиметрах, t – в
секундах. Определить и показать положение точки на траектории для
момента времени t=1с.
17
1.3 Точка движется в прямолинейном желобе согласно уравнению
3
2
5 ts , где s выражена в сантиметрах, t – в секундах. Определить и
показать положение точки на траектории для момента времени t=1с.
1.4 Точка движется в желобе прямолинейного стержня согласно
уравнению
2
20 ts , где s выражена в сантиметрах, t – в секундах.
Определить и показать положение точки на траектории для момента
времени t=1с.
Указание 2. Для нахождения скорости точки при естественном
способе задания движения точки необходимо определить проекцию на
касательную τ компонента вектора скорости по касательной τ.
Пример II.2. По данным примера 1 определить скорость точки.
Решение. При естественном способе задания движения точки
скорость точки определяется проекцией на касательную τ компоненты
вектора по касательной τ
tts
4
cos
3
3
4
3
2
cos
.
3
Для указанного момента времени t=0,5с в примере 2, проекция
примет значение
4
4
)5,0(
3
cos
3
4
3
cos
5,0
3
3
3
2
32
2222
3
ссмссмt /4,11/
.
Следовательно, величина скорости точки для указанного момента
32
времени ссмссм /4,11/
)5,0()5,0(
2
.
Вектор скорости для указанного момента времени показан на рис.
5, с учетом полученного положительного значения проекции компоненты
вектора скорости на касательную.
18
О
+
M
п
α=45o
R=8см
Рис. 5
Задачи
2.1 Точка движется по окружности, радиус окружности R=24см,
согласно уравнению
3
25 ts , где s выражена в сантиметрах, t – в
секундах. Определить и показать положение точки на траектории для
момента времени t=1с, а также скорость для указанного момента времени.
2.2 Точка движется по дуге окружности, радиус окружности
τ
R=20см, согласно уравнению
s
t
, где s выражена в сантиметрах, t – в
6
секундах. Определить и показать положение точки на траектории для
момента времени t=2с, а также скорость для указанного момента времени.
2.3 Точка движется в прямолинейном желобе согласно уравнению
tts 552 , где s выражена в сантиметрах, t – в секундах. Определить и
показать положение точки на траектории для момента времени t=1с, а
также скорость для указанного момента времени.
2.4 Точка движется в желобе прямолинейного стержня согласно
уравнению tts
3
2 , где s выражена в сантиметрах, t – в секундах.
Определить и показать положение точки на траектории для момента
времени t=1с, а также скорость для указанного момента времени.
19
1238
3
3
Указание 3. Для нахождения ускорения точки при естественном
способе задания движения точки необходимо определить касательное и
нормальное ускорение точки.
Пример II.3. По данным примера 2 определить ускорение точки.
Решение. При естественном способе задания движения точки
ускорение точки определяется как геометрическая сумма касательного и
нормального ускорений
ааа
. Проекция касательного ускорения на
n
касательную
4
ttsа
sin
33
3
4
9
32
sin
.
3
Для указанного момента времени t=0,5с в примере 2, проекция
примет значение
4
)5,0( ссмtа
9
sin
3
4
9
sin
6
2
9
22333
/9,6см/с
.
Модуль нормального ускорения для указанного момента времени
t=0,5с в примере 2
22
)5,0( ссм
а
п
)5,0()5,0(
R
2
32
8
32
2222
/4,1см/с
.
Вектора касательного и нормального ускорений показаны на рис. 6,
в частности вектор нормального ускорения направлен к центру кривизны
траектории в данной точке, вектор касательного ускорения направлен по
касательной к данной точке в противоположную сторону направлению
касательной τ естественной системы координат.
Модуль вектора ускорения точки для указанного момента времени
22222
п
/04,7)9,6(4,1)5,0()5,0()5,0( ссмааа
Вектор ускорения для указанного момента времени показан на рис.
6.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]