Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
2.3. Уточнение границ Фреше 51
Tеорема 2.4 (Уточненные достаточные условия существова-
ния распределения вероятностей II рода). Функция множества
f : 2X→ [0, 1], заданная на системе событий {K
⊇ X}, яв-
X
ляется распределением вероятностей II рода конечного случайного
множества KX, если одновременно выполнены следующие условия:
(i) f(∅) = P({KX⊇ ∅}) = 1;
(ii) f(x) = P({x ∈ KX}) — значения функции множества на собы-
тиях x ∈ X совпадают с вероятностью этих событий;
(iii) значения функции множества удовлетворяют системе нера-
венcтв Фреше для вероятностей пересечений событий при всех
X ∈ 2X, |X| ≥ 2:
max
{t1,t2}⊆X
0,
2
X
f(X \ {ti}) − f(X \ {t1, t2})!≤ f (X) ≤ min
i=1
Y ⊆X,
f(Y );
|Y |=|X |−1
(iv) значения функции множества
X
p(X) =
Y ∈2X:X⊆Y
(−1)
|Y |−|X |
f(Y ), X ∈ 2X,
полученной из f(X) по формуле обращения М¨ебиуса, неотри-
цательны.
Доказательство теоремы 2.4 проводится аналогично доказательству
теоремы 2.1.
2.3.2. Распределение вероятностей V рода
Распределение вероятностей V рода (1.19) конечного случайного
множества KXудовлетворяет системе 2N− N − 1 неравенств вида
−
u
≤ uX≤ u
X
+
, X ⊆ X, |X| ≥ 2, (2.16)
X
которую формируют границы Фреше (1.20) для вероятностей объединения событий. Это является необходимым условием существования
распределения вероятностей V рода (табл. 1.3). При этом для вероятности uXлюбого события {KX* Xc} =
[
x, X ⊆ X, |X| ≥ 2
x∈X
52 Глава 2. Достаточные условия существования распределений
верхняя u
+
и нижняя u
X
−
граница неравенств Фреше (1.20) опреде-
X
ляется только вероятностями самих событий P(x) = px, x ∈ X. Зависимость верхней u
+
и нижней u
X
−
границы Фреше для uXтолько
X
от вероятностей событий px, x ∈ X является фактором, влияющим на
нарушение условия (iv) теоремы 2.2 о достаточных условиях существования распределения вероятностей V рода. Поэтому предлагается
−
данные границы модифицировать путем сужения интервала [u
X
; u
+
X
для всех X ⊆ X, |X| ≥ 2.
Tеорема 2.5 (Уточненные необходимые условия существования
распределения вероятностей V рода). Если функция множества
{uX, X ⊆ X}, заданная на системе событий {KX* Xc}, является
распределением вероятностей V рода конечного случайного мно-
жества KX, то она удовлетворяет системе неравенств для всех
]
X ⊆ X, |X| ≥ 2:
uX≥ max
uX≤ min
Y ⊆X,
|Y |=|X |−1
{t1,t2}⊆X
где выражение max
Y ⊆X,
|Y |=|X |−1
Фреше по объединению, а min
uY,
(2.17)
1, u
X\{t1}
+ u
X\{t2}
− u
X\{t1,t2}
;
uYопределяет уточненную нижнюю границу
{t1,t2}⊆X
1, u
X\{t1}
+ u
X\{t2}
− u
X\{t1,t2}
—
уточненную верхнюю границу Фреше по объединению.
Доказательство. Доказательство теоремы, аналогично доказательству теоремы 2.3 об уточненных необходимых условиях существования распределения вероятностей II рода. Проводится методом индукции по мощности проекций базового множества X, |X| = N на множества Y ⊆ X, |Y| = n, 2 ≤ n < N и соответствующих им проекций
KYконечного случайного множества KX.
Ограничимся рассмотрением случая для проекции KY, |Y| = n и
n < N. Считаем, что для всех Y таких, что |Y | < n уточненные
границы Фреше получены. Пользуясь формулой обращения М¨ебиуса
(1.23), формулой (1.42) и свойством неотрицательности вероятности,
модифицируем границы для uY. Уточненная нижняя граница следует
2.3. Уточнение границ Фреше 53
из системы n неравенств для всех t ∈ Y:
p({t}//Y) = uY− u
и имеет вид uY≥ max
Y ⊆Y,
|Y |=n−1
Y\{t}
uY.
≥ 0 ⇒ uY≥ u
Y\{t}
Уточненную оценку сверху для uYдает система из C
uY≤ 1;
uY≤ u
Y\{t1}
которые следуют из C
+ u
Y\{t2}
2
+ 1 соотношений
n
− u
Y\{t1,t2}
для всех t ∈ Y,
p(∅//Y) = 1 − uY≥ 0;
p({t1, t2}//Y) = −u
Y\{t1,t2}
+ u
Y\{t1}
+ u
Y\{t2}
− uY≥ 0, для всех t ∈ Y.
А сама уточненная оценка сверху представима в виде
uY≤ min
{t1,t2}⊆Y
1, u
Y\{t1}
+ u
Y\{t2}
− u
Y\{t1,t2}
,
2
+1 неравенств
n
.
Уточним достаточные условия существования распределения вероятностей V рода путем изменения условия (iii) теоремы 2.2 на основе модифицированных границ Фреше для вероятностей объединений
(2.17).
Tеорема 2.6 (Уточненные достаточные условия существова-
ния распределения вероятностей V рода). Функция множества
f : 2X→ [0, 1], заданная на системе событий {KX* Xc}, яв-
ляется распределением вероятностей V рода конечного случайного
множества KX, если одновременно выполнены следующие условия:
(i) f(∅) = P({KX* Xc}) = 0;
(ii) f(x) = P({x ∈ KX}) — значения функции множества на собы-
тиях x ∈ X совпадают с вероятностью этих событий;
(iii) значения функции множества удовлетворяют системе нера-
венcтв Фреше для вероятностей объединения событий при
всех X ∈ 2X, |X| ≥ 2:
max
Y ⊆X,
|Y |=|X |−1
f(Y ) ≤ f (X) ≤ min
{t1,t2}⊆X
0,
2
X
f(X \ {ti}) − f(X \ {t1, t2})!;
i=1
54 Глава 2. Достаточные условия существования распределений
(iv) значения функции множества
X
p(X) =
Y ∈2X:Y ⊆X
(−1)
|X|−|Y |
(1 − f(Yc)) , X ∈ 2X, (2.18)
полученной из f(X) по формуле обращения М¨ебиуса, неотри-
цательны.
Доказательство теоремы 2.6 проводится аналогично доказательству
теоремы 2.2.
> > >
В этой главе сформулированы и доказаны достаточные условия, при
выполнении которых функция множества определяет распределение
вероятностей конечного случайного множества II и V рода. Найденные условия дополняют известные необходимые условия существования распределения вероятностей конечного случайного множества II и
V рода. Полученные в теоремах 2.3, 2.5 модифицированные границы
Фреше для вероятностей пересечений и объединения событий уточняют необходимые условия существования распределений вероятностей
II рода и V рода конечного случайного множества. Теоремы 2.4, 2.6
уточняют достаточные условия существования этих распределений на
основе модифицированных границ Фреше.
ГЛАВА 3
Метод рекуррентного построения
распределений вероятностей конечных
случайных множеств на основе
ассоциативных функций
На сегодняшний день сдерживающим фактором применения случайно-множественного моделирования объектов нечисловой природы
является ограниченный спектр выявленных законов распределений вероятностей конечных случайных множеств и проблема размерности
этих распределений. В общем случае количество параметров, задающих распределения вероятностей конечного случайного множества,
зависит от мощности базового множества. Современные приложения
требуют повышения мощности базового множества и увеличения объема выборки данных для построения статистической оценки параметров
распределения. Однако эти факторы значительно увеличивают время
формирования и исследования этих распределений. Так, при мощности базового множества N приходится оперировать 2Nвероятностями
событий. В этом суть проблемы размерности.
Проблема размерности может быть решена путем уменьшения числа
параметров, необходимых для описания законов распределения вероятностей конечных случайных множеств. Для решения этой проблемы
в работах А. О. Воробьева [13], О. Ю. Воробьева [15, 25, 151, 152],
Д. В. Семеновой [116, 135], E. E. Голденок [27, 99] использованы энтропийные и среднемерные методы построения распределений вероятностей конечных случайных множеств. Кроме уменьшения числа па-
56 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
раметров данные методы позволили выделить некоторые классы распределений вероятностей конечных случайных множеств для ряда конкретных экономических приложений. Расширение области применения
случайно-множественного моделирования требует увеличения спектра
законов распределений вероятностей конечных случайных множеств.
В этой главе предлагается метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций. Данный метод сокращает число параметров и порождает новые классы распределений вероятностей конечных случайных множеств. Доказаны теоремы, устанавливающие аналитический
вид и условия существования результирующего распределения. Данные условия являются конкретизацией достаточных условий с учетом
особенностей вида ассоциативной функции Результаты, изложенные в
данной главе, опубликованы в работах [41, 45,47, 49, 69–71, 115,136].
3.1. Ассоциативные функции
В современных теориях неопределенности широкое распространение получили классы ассоциативных функций (S. Alsina, M. Frank
и B. Schveizer [82]; M. Frank [94]), в частности треугольные нормы
(E.P. Klement [110,112], K. Menger [121]) и копулы (R.B. Nelsen [124],
B. Schveizer и A. Sclar [134]).
Приведем определение ассоциативной функции (AF– Associative
Function), используемое в работе.
Определение 3.1. Ассоциативная функция определяется как двуместная функция AF : [0, 1]2→ [0, 1], удовлетворяющая следующим
свойствам:
A1. Граничные условия: для любого a ∈ [0, 1] справедливо
AF(a, 0) = AF(0, a) = 0, AF(a, 1) = AF(1, a) = a.
A2. Монотонность: ∀a1, a2, b1, b2∈ [0, 1] таких, что a1≤ a2, b1≤ b
справедливо AF(a1, b1) ≤ AF(a2, b2).
A3. Коммутативность: AF(a, b) = AF(b, a), ∀a, b ∈ [0, 1].
2
3.1. Ассоциативные функции 57
A4. Ассоциативность: AF(AF(a, b), c) = AF(a, AF(b, c)), ∀a, b, c ∈ [0, 1].
A5. Условие Липшиц-непрерывности:
AF(c, b) − AF(a, b) ≤ c − a, a ≤ c, a, b, c ∈ [0, 1].
Геометрически график ассоциативной функции — это поверхность (рис. 3.1), которая «натянута» на четырехугольник с вершинами
(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0) и (1, 1, 1). На рис. 3.1 стороны четырехугольника выделены жирными линиями и соответствуют граничным условиям A1. Согласно свойству A2 ассоциативная функция возрастает по
вертикали и по горизонтали [82, 124], а по свойству A3 симметрична
относительно плоскости a = b. Свойства A1 — A3, A5 гарантируют,
что значение функции AF(a, b) будет обладать свойствами вероятности. Свойство A4 позволяет рекуррентно перейти к n-местной функции.
(1, 1, 1)
(0, 1, 1)
(0, 0, 1)
AF(a, b)
(0, 1, 0)
b
(0, 0, 0)
Рис. 3.1. График произвольной ассоциативной функции
a
(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
Заметим, что свойства ассоциативной функции A1 – A4 соответствуют свойствам треугольной нормы (t-нормы). Понятие t-нормы введено и используется в теории вероятностных метрических пространств
[121,134]. В настоящее время t-нормы получили широкое применение
в нечеткой логике в качестве операции конъюнкции. Они представляют интерес, потому что сохраняют основные свойства связки «и»,
которые выполняются одновременно, а именно: коммутативность, монотонность, ассоциативность и ограниченность. Таким образом, они
служат естественным обобщением классической конъюнкции для мно-
58 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
гозначных систем рассуждений [82, 110, 112]. Классом бинарных операций, которые связаны с t-нормами, являются копулы [124], введенные А. Скляром в 1959 г. Модели на основе копул чрезвычайно значимы для моделирования многомерных наблюдений в эконометрике.
Модели с использованием копул определяют функцию совместного
распределения случайных величин в виде двух частей, что позволяет отдельно рассматривать одномерные маргинальные распределения
и функцию, отвечающую за их зависимость [124]. В нашем случае
использование копул позволяет представить вероятность пересечения
множества событий через вероятности событий и функцию AF, отражающую их взаимосвязь. Некоторые семейства t-норм известны как
семейства копул под различными именами. В [82] доказано, что A5
дает условия, при которых t-норма является копулой. Однако [82],
любая коммутативная и ассоциативная копула является t-нормой. Известно [82, 112, 124], что любая копула удовлетворяет границам Фреше — Х¨евдинга, которые, как следствие, справедливы и для ассоциативных функций (рис. 3.2).
AF(a, b) = min(a, b)AF(a, b) = max(a + b − 1, 0)
(0, 1, 1)
(0, 1, 0)
(1, 1, 1)
(0, 1, 1)
(1, 0, 1)
(0, 0, 1)
AF(a, b)
(0, 1, 0)
b
(0, 0, 0)
a
(1, 0, 0)
(0, 0, 1)
AF(a, b)
b
(0, 0, 0)
(1, 1, 1)
a
(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
Рис. 3.2. Нижняя и верхняя границы Фреше — Хёвдинга для ассоциативных функций
Таким образом, с учетом [82, 112, 124] и вышеизложенного, определение можно выразить так: ассоциативная функция — непрерывная
t-норма, удовлетворяющая условию Липшица, или, что тоже самое,
ассоциативная и коммутативная копула. Именно такая трактовка понятия ассоциативной функции используется ниже в данной работе.
3.2. Построение функций множества на основе ассоциативных функций 59
3.2. Построение функций множества на основе
ассоциативных функций
Как уже говорилось выше, в настоящее время наиболее актуальна
задача построения законов распределений конечных случайных множеств в аналитическом виде, поскольку это позволяет снизить число
параметров, необходимых для описания распределения, и исследовать
эти распределения аналитическими методами. Одним из возможных
методов построения новых классов распределений вероятностей конечных случайных множеств является рекуррентный метод на основе
ассоциативных функций. Для рекуррентного метода задача построения формулируется так. Пусть заданы вероятности событий P(x) = px,
x ∈ X, |X| = N, и ассоциативная функция AF(a, b). Необходимо найти
распределение вероятностей II рода конечного случайного множества
KXна основе ассоциативной функции AF(a, b).
Суть метода — это двухэтапное решение данной задачи. На первом этапе осуществляется построение функции множества на системе
событий (1.15). На втором этапе выполняется проверка достаточных
условий, определенных теоремой 2.1, и построение аналитического вида распределения вероятностей.
Сначала для произвольного множества X = {x, y, z, . . . , u, v} ⊆ X,
|X| = n определим n-местную функцию на основе ассоциативной
функции AF(a, b) следующим образом:
g (pt, t ∈ X) = AFpx, gpt, t ∈ X \ {x}
= AFpx, AFpy, gpt, t ∈ X \ {x, y}
= AFpx, AFpy, AFpz, AF. . . AF (pu, pv)
=
= . . . =
(3.1)
.
Для X = {x, y}, например, функция (3.1) примет вид 2-местной функции g (px, py) = AF (px, py) , а для X = {x, y, z} — 3-местной функции
g (px, py, pz) = AF (px, AF (py, pz)) .
Первый этап метода состоит в решении следующей задачи. Пусть
заданы P(x) = px, x ∈ X, |X| = N и AF(a, b). Найти функцию множества {f (X), X ⊆ X}, определенную на системе событий II рода (1.15),
60 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
как набор |X|-местных функций со следующими значениями:
f(∅) = 1; f({x}) = px; f({xy}) = g (px, py) ; . . . f (X) = g (px, x ∈ X) .
Основная идея построения функции множества на системе событий
II рода (1.15) заключается в том, чтобы формировать вероятности пересечений событий как n-местную функцию (3.1), в качестве аргументов которой используются известные вероятности событий P(x) = px,
x ∈ X, т.е. использовать рекуррентные соотношения для всех X ⊆ X:
P
\
x!= g (px, x ∈ X) = AF
px, P
\
y
. (3.2)
x∈X
y∈X\{x}
Например, P (x ∩ y) = AF (px, py) = g (px, py), P (x ∩ y ∩ z) =
=AF (P (x ∩ y) , pz) = AF (AF(px, py), pz, ) = g (px, py, pz) и далее анало-
гичным образом.
Формула (3.2) позволяет функционально строить вероятности пересечений событий X ⊆ X, используя в качестве входных параметров n
вероятностей событий pxи вид ассоциативной функции. В результате
формируются 2N− N − 1 вероятностей пересечений событий, удовле-
творяющих границам Фреше (1.17).
Заметим, что формула (3.2) справедлива и для n < 2. Действительно, при n = 1 согласно свойству ассоциативной функции A1 имеем
P(x) = P(x ∩ Ω) = AF(px, 1) = px; а для n = 0 всегда справедливо
P(Ω) = P(Ω ∩ Ω) = AF(1, 1) = p∅= 1.
Таким образом, функция множества f(X), определенная на системе
событий II рода (1.15) есть набор n-местных функций со следующими
значениями:
f(∅) = 1;
f(x) = px= P(x), для x ∈ X;
(3.3)
f(xy) = g (px, py) ;
f(X) = g (px, x ∈ X) , X ⊆ X, |X| = n > 1.
Формулы (3.2) и (3.3) определяют метод рекуррентного построения
функции множества на системе событий (1.15) с помощью ассоци-