Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 71
=
X
1 −
(1 − px), X = X,
x∈X
1 − px, X = X \ {x}, x ∈ X,
0, иначе.
Следовательно,
p(X) = 0, для всех X ∈ X, |X| < |X| − 1;
p(X \ {x}) = 1 − px, для всех x ∈ X;
(3.15)
X
p(X) =
px− |X| + 1.
x∈X
Полученная функция множества (3.15) по лемме 2.1 будет распределением I рода конечного случайного множества, если вероятности
событий px= P(x), x ∈ X удовлетворяют системе из 2
|X|
− 1 неравенств
X
|X| − 1 <
px≤ |X|, X ⊆ X. (3.16)
x∈X
P
Покажем, что если выполняется неравенство |X| − 1 ≤
px≤ |X|, то
x∈X
справедлива вся система (3.16).
X
Оценка сверху
px≤ |X| для всех X ⊆ X следует из свойства
x∈X
вероятности px≤ 1. Оценка снизу для X ⊂ X получается следующим
образом:
X
px=
x∈X
⇒
X
x∈X
X
x∈X
X
px+
y∈X\X
py≥ |X| − 1 ⇒
px≥ |X| − 1 − (|X| − |X|) ⇒
X
px≥ |X| − 1 −
x∈X
X
px≥ |X| − 1.
x∈X
X
py⇒
y∈X\X
Из системы неравенств (3.16) также следует, что для получения
распределения требуется, чтобы все pX> 0, за исключением, мо-
жет быть pX. Действительно, пусть для некоторого X такого, что
1 < |X| < |X| вероятность pXравна нулю, а все остальные вероятно-
сти, полученные с помощью ассоциативной функции (3.11), отличны
от нуля. Из (3.13) и (3.16) вытекает, что
X
px= |X| − 1. Добавим к
x∈X
72 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
множеству X любое событие y из X \ X. Тогда для множества X ∪ {y}
из (3.16) следует, что
X
|X| ≤
px+ py≤ |X| + 1 ⇒ |X| ≤ |X| − 1 + py≤ |X| + 1 ⇒ 1 ≤ py≤ 2,
x∈X
а это противоречит свойству вероятности 0 ≤ py≤ 1.
СЛУЧАЙ 3. Рассмотрим ситуацию, когда в (3.15) pX= 0. Это означает, что
X
px= |X| − 1, а все остальные значения функции pXполо-
x∈X
жительны, то есть pX> 0 для X ⊂ X. С учётом этого предположения
применим формулу (1.22) к функции множества (3.13). Далее, используя принципы сет-суммирования [11], получаем
p(X) = 0, для всех X ∈ X мощности |X| < |X| − 1,
X
p(X \ {x}) =
y∈X\{x}
py− |X| + 2, для всех x ∈ X,
p(X) = 0.
Очевидно, найденная функция является распределением вероятностей
I рода конечного случайного множества.
Из теоремы 3.3 можно сделать следующий вывод: рекуррентное построение распределения вероятностей конечного случайного множества с использованием ассоциативной функции (3.11) возможно только при выполнении определенных ограничений на входные вероятности событий. При этом возникают только три вида результирующих
конечных случайных множеств с соответствующими распределениями
вероятностей. Этот результат зафиксируем в виде следствия 3.5.
Следствие 3.5. Распределение вероятностей, рекуррентно построенное с использованием ассоциативной функции (3.11), опре-
деляет:
1) конечное случайное множество KXнепересекающихся собы-
тий, если
X
px≤ 1;
x∈X
2) конечное случайное множество KX, принимающее значения с
ненулевой вероятностью лишь на подмножествах мощности
|X| − 1 и |X|, если |X| − 1 <
X
px≤ |X|;
x∈X
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 73
3) конечное случайное множество KX, принимающее значения с
ненулевой вероятностью лишь на подмножествах мощности
|X| − 1, если
X
px= |X| − 1.
x∈X
Следствие 3.6. Все арные ковариации конечного случайного мно-
жества KX, построенного рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на
основе ассоциативной функции (3.11), отрицательны.
Доказательство. Для конечного случайного множества непересекающихся событий это утверждение очевидно, так как для всех X ⊆ X
Q
KovX= −
px< 0.
x∈X
Пусть выполняется условие (ii) теоремы 3.3. Тогда, воспользовавшись формулами (3.5) и (3.14), получим рекуррентные соотношения
для арных ковариаций:
Kov
= px+ py− 1 − pxpy= px(1 − py) − (1 − py) = (px− 1)(1 − py) < 0;
{x,y}
Kov
{x,y,z}
= px+ py+ pz− 2 − pxpypz= (px+ py− 1 − pxpy)+
+(pz+ pxpy− 1 − pxpypz) = Kov
Kov
{x,y,z,v}
= px+py+pz+pv−3 − pxpypzpv= (px+py+pz−2 − pxpypz)+
+(pv+ pxpypz− 1 − pxpypzpv) = Kov
· · ·
Kov
X\{x}
= Kov
X\{x,v}
+ pv+
t∈X\{x,v}
Y
= Kov
X\{x,v}
KovX= Kov
+ (pv− 1)
X\{v}
1 −
t∈X\{x,v}
+ (pv− 1) 1 −
{x,y}
{x,y,z}
Y
p
t
Q
t∈X\{v}
+ (pz− 1)(1 − pxpy) < 0;
+ (pv− 1)(1 − pxpypz) < 0;
Y
pt− 1 −
t∈X\{x}
pt=
< 0, для всех v ∈ X \ {x};
!
p
< 0, для всех v ∈ X.
t
Для иллюстрации теоремы 3.3 и следствия 3.5 рассмотрим следующий пример.
74 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
Пример 3.2. В табл. 3.2 сведены результаты построения рас-
пределений конечных случайных множеств рекуррентным методом
(3.2)–(3.3) на основе ассоциативной функции (3.11) для трех возможных ситуаций, указанных в следствии 3.5.
Таблица 3.2
Распределения вероятностей конечных случайных множеств, построенных
рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на основе ассоциативной функции (3.11)
X
2
P
px≤ 1 3 <
x∈X
p
X
p(X) p
X
P
px≤ 4
x∈X
p(X) p
P
px= 3
x∈X
X
∅ 1 0.0625 1 0 1 0
{x} 0.0625 0.0625 0.75 0 0.625 0
{y} 0.25 0.25 0.875 0 0.875 0
{z} 0.125 0.125 0.875 0 0.75 0
{w} 0.5 0.5 0.75 0 0.75 0
{x, y} 0 0 0.625 0 0.5 0
{x, z} 0 0 0.625 0 0.375 0
{x, w} 0 0 0.5 0 0.375 0
{y, z} 0 0 0.75 0 0.625 0
p(X)
{y, w} 0 0 0.625 0 0.625 0
{z, w} 0 0 0.625 0 0.5 0
{x, y, z} 0 0 0.5 0.25 0.25 0.25
{x, y, w} 0 0 0.375 0.125 0.25 0.25
{x, z, w} 0 0 0.375 0.125 0.125 0.125
{y, z, w} 0 0 0.5 0.25 0.375 0.375
{x, y, z, w} 0 0 0.25 0.25 0 0
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 75
3.3.4. Ассоциативная функция AF(a, b) =
ab
a + b − ab
Рассмотрим рекуррентный метод на основе ассоциативной функции
ab
AF(a, b) =
. (3.17)
a + b − ab
Данная функция является частным случаем однопараметрической фукции Али—Михаэля—Хака [82] при значении параметра α = 1.
Tеорема 3.4. Если значения функции множества {f (X), X ⊆ X}
вычисляются рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на основе ассоциативной функции (3.17), то {f(X), X ⊆ X} является распределением
вероятностей II рода конечного случайного множества KX.
Доказательство. Сначала покажем, что применение рекуррентного
метода (3.2)–(3.3) на основе ассоциативной функции (3.17) приводит
к следующим соотношениям:
f(∅) = 1;
f(x) = px= P(x), для x ∈ X;
C
Q
p
x
x∈X
p
− (|X| − 1) ·
x
Q
x∈X
, ∀|X| > 1,
p
x
|X|−1
X
Q
x∈Y
f(X) =
P
Y ⊆C
n−1
= {Y ⊆ X, |X| = n, |Y | = |X| − 1} — (n − 1)-слои множества X.
X
(3.18)
Используя формулы (3.2) и (3.17), находим значения функции f на
подмножествах X ⊆ X, рассматривая их по возрастанию мощности
|X| = 2, . . . N.
Пусть |X| = 2. Для произвольного дуплета событий X = {x, y}
значение функции множества будет
pxp
f(xy) = P(x ∩ y) =
px+ py− pxp
y
.
y
Пусть |X| = 3. Для произвольного триплета событий X = {x, y, z}
найдем значение функции f, использовав значение функции множества f (x, y), полученное на предыдущем шаге:
f(xyz) = P(x ∩ y ∩ z) = AF (f (xy), pz) =
f(xy) p
f(xy) + pz− f(xy) p
z
=
z
76 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
pxp
y
y
pxpyp
z
px+ py− pxp
=
y
=
pxp
px+ py− pxp
pz·
px+ py− pxp
y
+ pz−
y
=
pxpyp
pxpy+ pxpz+ pypz− 2 pxpyp
z
.
z
Пусть |X| = 4. Для произвольного 4-плета событий X = {x, y, z, v}
значение функции f также выражается через значение функции множества f(xyz), полученное на предыдущем шаге:
f(xyzv) = P(x ∩ y ∩ z ∩ v) = AF(f(xyz), pv) =
pxpyp
z
pxpy+ pxpz+ pypz− 2pxpyp
=
pxpyp
pxpy+ pxpz+ pypz− 2pxpyp
=
z
+ pv−
z
pxpypzp
pxpy+ pxpz+ pypz− 2pxpyp
v
pxpypz+ pxpypv+ pxpzpv+ pypzpv− 3pxpypzp
f(xyz) p
f(xyz) + pv− f(xyz) p
p
v
z
pv· (pxpypz)
v
=
v
=
z
.
v
Пусть |X| = n, n ≤ N . Для произвольного n-плета событий X
значения функции множества f будем находить аналогичным образом,
используя значения, найденные на предыдущих n − 1 шагах:
\
f(X) = P
=
f(X \ {x}) + px− f(X \ {x})p
x!= AF(f(X \ {x}), px) =
x∈X
f(X \ {x})p
x
=
x
Q
p
x
x∈X
p
− (|X| − 1) ·
x
Q
x∈X
,
p
x
где C
|n|−1
X
Q
x∈Y
=
P
Y ∈C
n−1
= {Y ⊆ X, |X| = n, |Y | = |X|− 1} — (n−1)-слои множества X.
X
Укажем два свойства найденной функции множества f (X), которые
нам понадобятся для дальнейшего доказательства.
Для любого X ⊆ X и x ∈ X \ X справедлива формула
f(X) − f(X + {x}) =
1 − p
x
f(X) · f(X + {x}). (3.19)
p
x
Действительно,
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 77
f(X)−f (X +{x}) = f (X)−AF(f (X), px) = f(X)−
f(X)p
x
=
px+ f(X)(1 − px)
px+ f(X)(1 − px) − p
= f(X)
px+ f(X)(1 − px)
=
1 − p
p
x
x
f(X) · f(X + {x}).
x
Из (3.17) и ассоциативности функции вытекает второе свойство
f(X)f(Y )
f(X + Y ) = AF(f (X), f (Y )) =
(3.20)
f(Y ) + f(X)(1 − f (Y ))
для всех X, Y ⊆ X и X ∩ Y = ∅.
Проверим для найденной функции множества {f(X), X ⊆ X} достаточные условия, определенные теоремой 2.1. Чтобы проверить выполнение условия (iv) теоремы 2.1 перейдем по формуле обращения
М¨ебиуса в виде (2.2) от функции множества (3.18) к новой функции
множества {p(X), X ⊆ X} и покажем, что последняя является распределением вероятностей I рода. Применение формулы (2.2) приводит к
следующим соотношениям для любого X ⊆ X:
p(X) =
= /(3.20)/ =
= f(X)
X
Y ∈2X: X⊆Y
X
Z⊆X
|Y |−|X |
(−1)
X
Z⊆X
f(Z) + f (X)(1 − f (Z))
c
(−1)
c
(−1)
f(Y ) =
|Z|
f(Z) + f (X)(1 − f (Z))
|Z|
f(Z)
X
(−1)
Z⊆X\X
f(X)f(Z)
.
|Z|
f(X + Z) =
=
(3.21)
Отсюда следует, что p(X) ≥ 0, если для всех X ⊆ X:
f(X)
X
Z⊆X
f(Z) + f (X)(1 − f (Z))
c
(−1)
|Z|
f(Z)
≥ 0. (3.22)
Поскольку f (X) всегда положительна, то условие (iv) теоремы 2.1
будет выполняться, если сумма в (3.22) неотрицательна.
Обозначим f(X) = C > 0, Xc= Z. С учетом обозначений получаем,
что
=
X
f(Z) + f (X)(1 − f (Z))
c
Z⊆X
X
f(Z) + C(1 − f (Z))
Z⊆Z
(−1)
|Z|
f(Z)
(−1)
|Z|
f(Z)
X
=
Z⊆Z
=
|Z|
(−1)
f(Z)
C + f(Z)(1 − C)
(3.23)
.
78 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
Рассмотрев множества Xc= Z по возрастанию мощности |Z| < |X|,
продемонстрируем общий принцип доказательства неотрицательности
суммы (3.23).
Пусть |Z| = 0, т.е. Z = ∅. Тогда (3.23) примет вид
X
(−1)
|Z|
f(Z)
= 1 > 0.
C + f(Z)(1 − C)
Z⊆∅
Пусть |Z| = 1, т.е. Z = {x}. Тогда (3.23) примет вид
X
C + f(Z)(1 − C)
Z⊆Z
(−1)
|Z|
f(Z)
= 1 −
p
x
C + px(1 − C)
C(1 − px)
=
C + px(1 − C)
> 0.
Пусть |Z| = 2, т.е. Z = {x, y}. Тогда (3.23) примет вид
X
(−1)
|Z|
f(Z)
=
C + f(Z)(1 − C)
1 −
C + px(1 − C)
Z⊆Z
p
x
−
C + py(1 − C)
p
y
+
f(xy)
.
C + f(xy)(1 − C)
(3.24)
Заметим, что для любого Z ⊆ Z и x ∈ Z \ Z справедлива формула
f(Z)
C + f(Z)(1 − C)
−
C + f(Z + {x})(1 − C)
f(Z + {x})
=
=
= /(3.19)/ =
(3.25)
(C + f(Z)(1 − C))(C + f(Z + {x})(1 − C))
C · (f(Z) − f(Z + {x}))
=
1 − p
p
x
x
C + f(Z) (1 − C)C + f(Z + {x}) (1 − C)
C · f(Z) · f(Z + {x})
.
С учетом (3.25) сгруппируем слагаемые, и сумма (3.24) примет вид
C(1 − px)
C + px(1 − C)
C(1 − px)
=
p
x
C + px(1 − C)
−
1 − p
p
x
x
p
(C + py(1 − C))(C + f(xy)(1 − C))
x
C · py· f(xy)
py· f(xy)
−
(C + py(1 − C))(C + f(xy)(1 − C))
=
.
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 79
Первый множитель положителен, поскольку C = f(X) > 0, 0 < px≤ 1,
0 < py≤ 1. Проанализируем второй множитель:
pxp
y
pxpy(1 − C)
=
p
x
C + px(1 − C)
−
p
y
px+ py(1 − px)
(C + py(1 − C))C +
px+ py(1 − px)
px(1 − py)(C(px+ py) + 2pxpy(1 − C))
=
.
(px+ py(1 − px))(C + px(1 − C))1(C + f(xy)(1 − C))
Полученная дробь положительна, так как C = f(X) > 0, f(xy) > 0,
px> 0, py> 0. Следовательно, сумма (3.24) больше нуля.
Далее, используем аналогичные рассуждения, группируем в сумме
(3.24) соответствующие члены ряда и приводим дроби к общему знаменателю с учетом свойств (3.19) и (3.25). Для любого множества
Z = Xcможно показать, что сумма рекуррентного построения (3.23)
представима в виде произведения положительных дробей. Тогда значения функции множества, определяемые (3.21), положительны.
Следовательно, по лемме 2.1 о достаточных условиях существования распределения I рода функция множества {p(X), X ⊆ X} является
распределением I рода некоторого конечного случайного множества
KX. А значит, функция множества f(X), X ⊆ X, согласно теореме
2.1, удовлетворяет достаточным условиям существования и является
распределением вероятностей II рода конечного случайного множества
KX. Таким образом, метод рекуррентного построения (3.2)–(3.3) с ас-
социативной функцией (3.17) всегда позволяет построить распределение вероятностей конечного случайного множества.
Следствие 3.7. Все арные ковариации конечного случайного мно-
жества KX, построенного рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на
основе ассоциативной функции (3.17), имеют вид
KovX=
Y
x∈X
px·
X
Y ⊆C
|X|−1
X
"
Y
x∈Y
#
p
− (|X| − 1) ·
x
Y
x∈X
−1
p
x
− 1
где X ⊆ X, |X| > 1.
Доказательство следует непосредственно из формул (3.5) и (3.18).
,
80 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
3.3.5. Однопараметрическое семейство функций Франка
Ранее были исследованы ассоциативные функции, зависящие только от значений своих аргументов. При построении распределений особый интерес вызывают однопараметрические ассоциативные функции
[82]. Их использование в рекуррентном методе позволяет получать набор распределений вероятностей конечных случайных множеств при
одних и тех же значениях аргументов, структура зависимостей которых описывается параметром ассоциативной функции. Рассмотрим
рекуррентный метод на основе однопараметрического семейства ассоциативных функций Франка, введённого в 1979 г. в работе [94]:
− 1)
, (3.26)
AFα(a, b) = −
1
ln1 +
α
(e
−α·a
(e−α− 1)
− 1)(e
−α·b
где α 6= 0 параметр, определяющий зависимость между переменными
a и b.
Введем следующие обозначения:
F rank(px, py; α) = AFα(px, py);
F rank(px, x ∈ X; α) = AF
px, F rank(pt, t ∈ X \ {x}; α).
α
Tеорема 3.5. Если значения функции множества {f(X ), X ⊆ X},
|X| = N вычисляются рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на основе
ассоциативной функции (3.26), то {f(X), X ⊆ X} является распре-
делением вероятностей II рода конечного случайного множества
KXпри выполнении следующей системы из 2N− N − 1 неравенств:
|Y |−|X|+1
(−1)
α
≤ e, α 6= 0. (3.27)
1 ≤
Y
Y ∈2X: X⊆Y
1 +
Y
x∈Y
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
|Y |−1
Доказательство. Сначала покажем, что применение рекуррентного
метода (3.2)–(3.3) на основе ассоциативной функции (3.17) приводит