Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 91
Поскольку lim
α→−∞
p(∅) = −
, то условие неотрицательности может быть
8
нарушено только для pα(∅). Разрешая неравенство pα(∅) ≥ 0 относительно параметра α, получаем α ≥ −6. Следовательно, при α ∈
[−6; 0) ∪ (0; +∞) функция множества {pα(X), X ⊆ X} является рас-
пределения вероятностей конечного случайного множества.
На рис. 3.3 демонстрируется пример численного анализа, показывающий необходимость проведения в рекуррентном методе второго
этапа, а именно проверку достаточных условий существования распределений. Каждый вертикальный срез является распределением вероятностей I рода. В табл. 3.3 приведены примеры распределений вероятностей конечных случайных множеств и их характеристик при
фиксированных значениях параметра ассоциативной функции Франка, соответсвующих «срезам» на рис.3.3 при α = −3 и α = 2. Отме-
1
тим, всё что лежит левее «среза» α = −6 не является распределением
вероятностей.
0.6
p(X)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
pα(∅)
pα(x)
pα(y)
pα(z)
pα(xy)
pα(xz)
pα(yz)
pα(xyz)
α
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12 14
−0.1
Рис. 3.3. Зависимость значений функции множества {pα(X), X ⊆ X} от параметра α
(α 6= 0) при px=
3
, py=
8
1
и pz=
8
5
8
92 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
Таблица 3.3
Распределения вероятностей и арные ковариации конечных случайных множеств
при фиксированных значениях параметра α
X
2
α = −3 α = 2
p
X
p(X) Kov
X
p
X
p(X) Kov
X
∅ 1 0.085 1 0.275
{x} 0.375 0.207 0.375 0.076
{y} 0.125 0.072 0.125 0.011
{z} 0.625 0.432 0.625 0.297
{x, y} 0.016 0.011 −0.031 0.073 0.013 0.026
{x, z} 0.157 0.152 −0.077 0.286 0.227 0.051
{y, z} 0.041 0.036 −0.037 0.101 0.042 0.023
{x, y, z} 0.005 0.005 −0.025 0.059 0.059 0.03
Рисунок 3.4 иллюстрирует следствие 3.8. Действительно, из рис. 3.4
видно, что знак арных ковариаций (3.34) определяется знаком параметра ассоциативной функции Франка α.
0.15
KovX(α)
0.1
−2
5 · 10
α
−6 −4 −2 2 4 6 8 10
−5 · 10
−2
−0.1
−0.15
Рис. 3.4. Зависимость арных ковариаций семейства распределений вероятностей
Франка от параметра α ∈ [−6; ∞] \ {0} при px=
3
, py=
8
1
8
, pz=
Kov
Kov
Kov
Kov
5
8
xy
xz
yz
xyz
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 93
Пример 3.4. Распределение вероятностей I родаp(X), X ⊆ X
конечного случайного множества KXможно рассматривать как точку
в 2N-вершинном симплексе|X| = N:
(
X
p(X) = 1).
X⊆X
SX=
p(X), X ⊆ X: p(X) ≥ 0,
На рис. 3.5 представлен симплекс распределений вероят-
ностей I рода S
. Каждая точка в симплексе имеет координаты
{x,y}
(p(∅), p(x), p(y), p(xy)) и является распределением I рода некоторого
конечного случайного множества KX, заданного на дуплете событий
X = {x, y}. Вершины симплекса занумерованы вероятностями событий
и соответствуют вырожденным распределениям.
вершина p(∅) соответствует (p(∅), p(x), p(y), p(xy)) = (1, 0, 0, 0);
вершина p(x) соответствует (p(∅), p(x), p(y), p(xy)) = (0, 1, 0, 0);
вершина p(y) соответствует (p(∅), p(x), p(y), p(xy)) = (0, 0, 1, 0);
вершина p(xy) соответствует (p(∅), p(x), p(y), p(xy)) = (0, 0, 0, 1).
(0, 0, 0, 1)
(0, 0, 1, 0)
(1, 0, 0, 0)
(0, 1, 0, 0)
Рис. 3.5. Симплекс распределений вероятностей I рода S
множества K, заданного на дуплете событий X = {x, y}
Пусть область ΛAF⊂ SXсостоит из точек, соответствующих распре-
делениям I рода конечного случайного множества, которые сформиро-
конечного случайного
{x,y}
94 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
ваны методом рекуррентного построения с ассоциативной функцией AF:
(
X
Y ⊇X
(−1)
|Y |−|X |
AF(px, x ∈ Y )).
ΛAF=
p(X), X ⊆ X: p(X) =
Заметим, что для любых 0 ≤ px, py≤ 1 и любой ассоциативной функ-
ции AF(px, py) всегда существует распределение вероятностей конечного случайного множества KX, заданного рекуррентным методом на
дуплете событий X = {x, y}.
На рис. 3.6 представлена визуализация предельных случаев (теорема 3.6) на примере дуплета: структура зависимости дуплета событий
от непересекающихся событий до вложенных и симплекс распределений вероятностей I рода на основе однопараметрической ассоциативной функции Франка.
x
y
(0, 0, 0, 1)
(0, 0, 1, 0)
(1, 0, 0, 0)
(0, 1, 0, 0)
Ω
(0, 0, 0, 1)
(1, 0, 0, 0)
x
(0, 1, 0, 0)
y
(0, 0, 1, 0)
Ω
(0, 0, 0, 1)
(1, 0, 0, 0)
Ω
x
y
(0, 0, 1, 0)
(0, 1, 0, 0)
AF(px, py) = max{px+ py− 1, 0} AF(px, py) = px· p
y
AF(px, py) = min{px, py}
Рис. 3.6. Визуализация метода на примере дуплета на основе однопараметрической
ассоциативной функции Франка
На рис. 3.7 представлена область Λ
F rank
⊂ S
распределений ве-
{x,y}
роятностей I рода конечного случайного множества K, построенных
рекуррентным методом с ассоциативной функцией Франка с различными значениями параметра α.
3.3. Построение распределений вероятностей V рода 95
α = −10 α = −5 α = −1 α = −0.001
α = 0.0001 α = 1 α = 5 α = 10
Рис. 3.7. Область Λ
чайного множества K, построенных рекуррентным методом с ассоциативной функцией Франка с различными значениями параметра α
F rank
⊂ S
распределений вероятностей I рода конечного слу-
{x,y}
Итак, использование однопараметрического семейства ассоциативных функций Франка дает набор распределений, структура зависимостей событий которых описывается параметром ассоциативной функции Франка.
3.4. Построение распределений вероятностей V рода на основе
двойственных ассоциативных функций
Спектр рассматриваемых ассоциативных функций может быть увеличен за счет двойственных ассоциативных функций [82, 124]. Двойственной к рассмотренной ранее ассоциативной функции является ассоциативная функция по объединению (или ассоциативное объединение). Эти ассоциативные функции связаны законом Де Моргана. В
этом параграфе представлено расширение рекуррентного метода, суть
которого состоит в построении распределений вероятностей V рода конечных случайных множеств путём связывания вероятностей объеди-
S
нения множества событий P
xс вероятностями самих событий
x∈X
P(x), x ∈ X, X ⊆ X с помощью ассоциативных объединений.
96 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
3.4.1. Ассоциативные функции по объединению
Определение 3.2. Ассоциативная функция по объединению (или
ассоциативное объединение, AU – Associative Union) определяется как
двуместная функция AU : [0, 1]2→ [0, 1], удовлетворяющая следующим
свойствам:
B1. Граничные условия:
AU(a, 0) = AU(0, a) = a, AU(a, 1) = AU(1, a) = 1, ∀a ∈ [0, 1].
B2. Монотонность: ∀a1, a2, b1, b2∈ [0, 1] таких, что a1≤ a2, b1≤ b
справедливо AU(a1, b1) ≤ AU(a2, b2).
B3. Коммутативность: AU(a, b) = AU(b, a), ∀a, b ∈ [0, 1].
B4. Ассоциативность: AU(AU(a, b), c) = AU(a, AU(b, c)), ∀a, b, c ∈ [0, 1].
B5. Условие Липшиц-непрерывности:
AU(c, b) − AU(a, b) ≤ c − a, a ≤ c, a, b, c ∈ [0, 1].
Геометрически график ассоциативной функции по объединению — это
поверхность (рис. 3.8), которая «натянута» на четырехугольник с вершинами (0, 0, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) и (1, 1, 1). Согласно свойству B2 ассоциативная функция возрастает по вертикали и по горизонтали [82,
124], а по свойству B3 симметрична относительно плоскости a = b.
Свойства B1–B3, B5 гарантируют, что значение функции AU(a, b) бу-
2
дет обладать свойствами вероятности. Свойство B4 позволяет рекуррентно перейти к n-местной функции.
(1, 1, 1)
(0, 1, 1)
(1, 0, 1)
AU(a, b)
(1, 1, 0)
(0, 1, 0)
b
(0, 0, 0)
Рис. 3.8. График произвольной ассоциативной функции по объединению
a
(1, 0, 0)
3.4. Построение распределений вероятностей V рода 97
Заметим, что свойства ассоциативной функции B1–B4 соответствуют свойствам треугольной конормы (s-конормы). Понятие s-конормы
введено и используется в теории вероятностных метрических пространств [121, 134]. В настоящее время s-конормы получили применение в нечеткой логике в качестве операции дизъюнкции.
Некоторые семейства s-конорм известны как семейства дуальных
копул под различными именами. Известно [82, 112, 124], что любая
копула удовлетворяет границам Фреше—Х¨евдинга, которые, как следствие, справедливы и для ассоциативных функций (рис. 3.9).
AU(a, b) = min(a + b, 1)AU(a, b) = max(a, b)
(0, 1, 1)
(0, 1, 0)
(1, 1, 1)
(0, 1, 1)
(1, 0, 1)
AU(a, b)
(1, 1, 0)
b
(0, 0, 0)
a
(1, 0, 0)
AU(a, b)
(0, 1, 0)
b
(0, 0, 0)
(1, 1, 1)
a
(1, 0, 1)
(1, 1, 0)
(1, 0, 0)
Рис. 3.9. Нижняя и верхняя границы Фреше для ассоциативных функций по объединению
В работе используется следующая трактовка понятия ассоциативной функции по объединению: непрерывная s-конорма, удовлетворяющая условию Липшица, или, что тоже самое, ассоциативная и коммутативная дуальная копула [82, 112,124].
3.4.2. Построение функций множества на основе ассоциативных
объединений
Задача рекуррентного метода построения на основе ассоциативных
объединений формулируется так. Пусть заданы вероятности событий
P(x) = px, x ∈ X, |X| = N и ассоциативная функция AU(a, b). Необ-
ходимо найти распределение вероятностей V рода конечного случайного множества KXна основе ассоциативной функции AU(a, b). Суть
метода — это двухэтапное решение данной задачи. На первом этапе
98 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
осуществляется построение функции множества на системе событий
(1.18). На втором этапе выполняется проверка достаточных условий,
определенных теоремой 2.2, и построение аналитического вида распределения вероятностей.
Сначала для произвольного множества X = {x, y, z, . . . , u, v} ⊆ X,
|X| = n определим n-местную функцию на основе ассоциативной
функции AU(a, b) следующим образом:
G (pt, t ∈ X) = AUpx, gpt, t ∈ X \ {x}
= AUpx, AUpy, Gpt, t ∈ X \ {x, y}
= AUpx, AUpy, AUpz, AU. . . AU (pu, pv)
=
= . . . =
(3.35)
.
Для X = {x, y}, например, функция (3.35) примет вид 2-местной функции G (px, py) = AU (px, py) , а для X = {x, y, z} — 3-местной функции
G (px, py, pz) = AU (px, AF (py, pz)) .
Первый этап метода состоит в решении следующей задачи. Пусть
заданы P(x) = px, x ∈ X, |X| = N и AU(a, b). Найти функцию множества {f(X), X ⊆ X}, определенную на системе событий V рода (1.18)
как набор |X|-местных функций со следующими значениями:
f(∅) = 0; f({x}) = px; f({xy}) = G (px, py) ; . . . f (X) = G (px, x ∈ X) .
Основная идея построения функции множества на системе событий V рода (1.18) заключается в том, чтобы формировать вероятности
объединений событий как n-местную функцию (3.35), в качестве аргументов которой выступают известные вероятности событий P(x) = px,
x ∈ X, т.е. использовать рекуррентные соотношения для всех X ⊆ X:
P
[
x!= AU
px, P
[
y
. (3.36)
x∈X
y∈X\{x}
Например,
P (x ∪ y) = AU (px, py) = G (px, py) ,
P (x ∪ y ∪ z) = AU (P (x ∪ y) , pz) = AU (AU(px, py), pz, ) = G (px, py, pz)
и далее аналогичным образом.
3.4. Построение распределений вероятностей V рода 99
Формула (3.36) позволяет функционально построить вероятность
объединения событий X ⊆ X, использовав в качестве входных параметров вероятности событий pxи вид ассоциативной функции по
объединению. В результате формируются 2N− N − 1 вероятностей
объединения событий, удовлетворяющих границам Фреше (1.20).
Таким образом, функция множества f(X), определенная на системе
событий {KX* Xc} есть набор n-местных функций со следующими
значениями:
f(∅) = 0;
f(x) = px= P(x), для x ∈ X;
(3.37)
f(xy) = G (px, py) ;
f(X) = G (px, x ∈ X) , |X| > 1.
Формулы (3.36) и (3.37) определяют метод рекуррентного построения
функции множества на системе событий {KX* Xc}, X ⊆ X с помо-
щью ассоциативных функций по объединению.
Функция множества, построенная рекуррентным методом
(3.36)–(3.37), является распределением вероятностей V рода конечного случайного множества, если только она удовлетворяет достаточным
условиям теоремы 2.2. Следовательно, на втором этапе рекуррентного
метода необходимо выполнять проверку достаточных условий существования распределений вероятностей V рода и получать их аналитический вид с учетом особенностей вида ассоциативной функции.
Дадим определение «двойственной» ассоциативной функции применительно к распределениям вероятностей конечных случайных множеств.
Определение 3.3. Ассоциативная функция по объединению AU(a, b)
называется «двойственной» к ассоциативной функции AF(a, b), если
функции множества, построенные на основе этих ассоциативных функций связаны взаимно обратными формулами обращения М¨ебиуса (1.25)
и (1.26) и являются распределениями II (1.16) и V рода (1.19) конечного случайного множество KX.
100 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
3.4.3. Построение распределений вероятностей V рода
Рассмотрим расширение рекуррентного метода для следующих ассоциативных объединений, изученных в работах [82,110, 112, 124]:
AU(a, b) = a + b − ab;
AU(a, b) = max{a, b};
AU(a, b) = min{a + b, 1}.
Для каждой из трех указанных выше функций докажем теоремы
3.7 – 3.9, устанавливающие аналитический вид и условия существования результирующего распределения. Доказательство каждой из этих
теорем осуществляется в два этапа. Первый этап доказательства конструктивен: с помощью рекуррентного метода (3.36)–(3.37) строится
функция множества f (X) для соответствующего ассоциативного объединения. Важно, что найденная функция множества f (X) по построению всегда удовлетворяет первым трем из четырех условий теоремы 2.2 о достаточных условиях существования распределения V рода.
На втором этапе доказательства теорем выполняется проверка условия (iv) теоремы 2.2, и в случае положительного ответа построенная
функция заявляется как распределение конечного случайного множества.
Tеорема 3.7. Если значения функции множества {f (X), X ⊆ X}
вычисляются рекуррентным методом (3.36)–(3.37) на основе ассо-
циативного объединения
AU(a, b) = a + b − ab. (3.38)
то {f(X), X ⊆ X} является распределением вероятностей V ро-
да конечного случайного множества KXи определяет независимо
точечное случайное множество.
Доказательство. Доказательство теоремы следует непосредственно
из определения независимо точечного случайного множества (см. 3.3.1.).