Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
2.1. Достаточные условия для распределений V рода 41
Неотрицательность p(X) следует из условия (iv). Заменим в (2.2)
суммирование по всем X ⊆ Y, Y ∈ 2Xна двукратную сумму: внутреннее суммирование организуем по X ⊆ Yn, где Yn— подмножества
фиксированной мощности |Yn| = n, а внешнее суммирование — по
возможным значениям мощности n = |X|, . . . , |X|. Тогда (2.2) примет
вид
p(X) =
|X|
X
n=|X|
X
X⊆Y
(−1)
n
n−|X|
f(Yn) =
|X|
X
n=|X|
(−1)
n−|X|
X
X⊆Y
Действительно, сумма всех значений p(X) равна единице:
X
X⊆X
= f(∅) +
p(X) =
|X|
X
n=1
X
X⊆X
n
X
m=0
C
m
n
|X|
X
n=|X|
(−1)
(−1)
n−m
n−|X|
X
Y ∈C
X⊆Y
f(Y )
n
X
X
f(Yn)
n
=
= f(∅) = 1,
где
n
C
= {Y ⊆ X : |Y | = n} – n-слои множества X [18, стр. 50];
X
=
1, n = 0;
0, n > 0.
n
X
m=0
C
m
n
(−1)
n−m
f(Yn).
n
(2.3)
Отсюда по лемме 2.1 следует, что функция множества p(X) определяет
распределение вероятностей I рода конечного случайного множества
KX. Функции множества, являющиеся распределениями вероятностей
I и II рода конечного случайного множества KX, попарно связаны взаимно обратными формулами обращения М¨ебиуса. А поскольку функция множества p(X) определяет распределение вероятностей I рода,
то функция множества f(X) является распределением вероятностей II
рода.
2.2. Достаточные условия существования распределений V рода
Функция множества f(X), заданная на системе событий
{KX* Xc}, значения которой удовлетворяют границам Фреше (1.20),
42 Глава 2. Достаточные условия существования распределений
также не всегда определяет распределение вероятностей V рода конечного случайного множества. Этот факт демонстрирует следующий
пример.
Пример 2.2. Пусть на системе событий {KX* Xc}, X = {x, y, z}
задана функция множества f (X):
f(∅), f (x), f (y), f (z), f(xy), f(xz), f(yz), f (xyz)=
2
3
4
4
5
6
=0,
,
,
,
8
8
,
8
8
8
5
,
,
8
. (2.4)
8
Нетрудно показать, что все значения функции множества из (2.4) удовлетворяют границам Фреше (1.20). Действительно, например, для
5
f(xyz) =
имеем
8
max {f(x), f (y), f (z)} ≤ f(xz) ≤ min {1, f (x) + f (y) + f(z)} =⇒
4
≤ f (xyz) ≤ 1.
8
Применим формулу обращения Ме¨биуса (1.24) к функции (2.4).
В результате получим следующую функцию множества p(X), заданную на системе событий {KX= X}:
6
p(x) = −f(yz) + f (xyz) = −
+
8
8
5
5
p(y) = −f(xz) + f (xyz) = −
+
8
4
p(z) = −f(xy) + f (xyz) = −
+
8
p(xy) = −f(z) + f (xz) + f(yz) − f (xyz) = −
p(xz) = −f(y) + f (xy) + f(yz) − f(xyz) = −
p(yz) = −f (x) + f (xy) + f(xz) − f(xyz) = −
= −
5
8
5
8
4
+
8
3
+
8
2
+
8
1
8
= 0;
1
=
8
5
8
4
8
4
8
< 0;
;
+
+
+
6
5
−
−
−
=
8
5
=
8
5
=
8
8
6
8
5
8
2
;
8
2
;
8
2
;
8
p(xyz) = f (x) + f (y) + f(z) − f(xy) − f(xz) − f (yz) + f (xyz) =
2
3
4
4
5
6
=
+
+
−
−
8
8
8
8
−
8
p(∅) = 1 − f(xyz) = 1 −
5
+
8
8
5
8
= −
=
1
< 0;
8
3
.
8
2.2. Достаточные условия для распределений V рода 43
Поскольку нарушено условие неотрицательности для значений
p(xyz) < 0 и p(x) < 0, то полученная функция множества p(X), задан-
ная на системе событий {KX= X}, не является распределением веро-
ятностей I рода конечного случайного множества KX. Следовательно,
функция множества f (X), заданная на системе событий {KX* Xc},
не может быть распределением вероятностей V рода конечного случайного множества KX.
Tеорема 2.2 (Достаточные условия существования распределения
вероятностей V рода). Функция множества f : 2X→ [0, 1], задан-
ная на системе событий {K
* Xc}, является распределением
X
вероятностей V рода конечного случайного множества KX, если
одновременно выполнены следующие условия:
(i) f(∅) = P({KX* Xc}) = 0;
(ii) f(x) = P({x ∈ KX}) — значения функции множества на собы-
тиях x ∈ X совпадают с вероятностью этих событий;
(iii) значения функции множества удовлетворяют системе нера-
венcтв Фреше для вероятностей объединения событий при
всех X ∈ 2X, |X| ≥ 2:
X
max
f(x) ≤ f(X) ≤ min(1,
x∈X
f(x));
x∈X
(iv) значения функции множества
X
p(X) =
(−1)
|X|−|Y |
(1 − f(Yc)) , X ∈ 2X, (2.5)
Y ∈2X:Y ⊆X
полученной из f(X) по формуле обращения М¨ебиуса, неотри-
цательны.
Доказательство. Условия (i) – (iii) являются необходимыми условиями существования распределения вероятностей V рода конечного
случайного множества KX, но не достаточными. В работах [11, 18]
показано, что формула (2.18) преобразует функцию множества, заданную на системе событий {KX* Xc}, в функцию множества, опре-
деленную на системе событий {KX= X}. Докажем, что результатом
такого преобразования является распределение I рода.
44 Глава 2. Достаточные условия существования распределений
Неотрицательность p(X) следует из условия (iv). Заменим в (2.18)
суммирование по всем Y ⊆ X, Y ∈ 2Xна двукратную сумму: внутреннее суммирование организуем по Yn⊆ X, где Yn— подмножества
фиксированной мощности |Yn| = n, а внешнее суммирование — по
возможным значениям мощности n = 0, . . . , |X|. Тогда (2.18) примет
вид
p(X) =
|X|
X
n=0
X
Yn⊆X
(−1)
|X|−n
(1 − f(Y
c
)) =
n
|X|
X
n=0
(−1)
|X|−n
X
Yn⊆X
(1 − f(Y
n
c
)) .
Докажем, что сумма всех значений p(X) равна единице:
X
X⊆X
p(X) =
X
X⊆X
|X|
X
n=0
(−1)
|X|−n
X
(1 − f(Y
Yn⊆X
c
))
n
= 1. (2.6)
Действительно, для конечного случайного множества, заданного на
базовом множестве единичной мощности X = {x}, формула (2.6) примет вид
X
p(X) = p(∅) + p(x) =
X⊆{x}
= (−1)
0−0
(1 − f(x)) +(−1)
1−0
(1 − f(x)) + (−1)
1−1
(1 − f(∅))=
=C
0
(−1)
1
0−0
+ C
1
1
(−1)
1−0
(1 − f(x)) + C
0
(−1)
0
1−1
(1 − f(∅)) = 1.
Все слагаемые взаимно удаляются, за исключением последнего, которое и дает в результате единицу.
Для X = {x, y} формула (2.6) примет вид
X
p(X) = p(∅) + p(x) + p(y) + p(xy) =
X⊆X
2
+
X
m=1
C
m−1
2−1
(−1)
m−1
X
(1 − f(Yc)) + C
1
Y ∈C
X
=
2
X
n=0
2
X
m=n
C
m−n
2−n
(−1)
m−n
2
X
m=0
X
(1 − f(Yc))
n
Y ∈C
X
C
2−2
2−2
m−0
2−0
(−1)
(−1)
2−2
m−0
(1 − f(xy)) +
(1 − f(∅)) =
= 1.
2.2. Уточнение границ Фреше 45
Аналогично для произвольного конечного множества X формула (2.6)
примет вид
X
X⊆X
p(X) =
X
X⊆X
|X|
X
n=0
(−1)
|X|−n
X
(1 − f(Y
Yn⊆X
c
))
n
=
=
|X|
X
n=0
|X|
X
m=n
= C
C
0
0
m−n
|X|−n
(−1)
(−1)
|X|−|X|
X
m−n
(1 − f(Yc))
n
Y ∈C
X
(1 − f(∅)) = 1,
=
где
n
C
= {Y ⊆ X : |Y | = n} – n-слои множества X;
X
=
1, |X| = n;
0, иначе.
|X|
X
n=0
|X|
X
m=n
C
m−n
|X|−n
(−1)
m−n
Согласно лемме 2.1 функция множества p(X) определяет распределение вероятностей I рода конечного случайного множества KX. Функции множества, являющиеся распределениями вероятностей I и V рода
конечного случайного множества KX, попарно связаны взаимно обратными формулами обращения М¨ебиуса. А поскольку функция множества p(X) определяет распределение вероятностей I рода, то функция
множества f(X) является распределением вероятностей V рода.
2.3. Уточнение границ Фреше для распределений вероятностей
конечного случайного множества
2.3.1. Распределение вероятностей II рода
Распределение вероятностей II рода (1.16) конечного случайного
множества KXудовлетворяет системе 2N− N − 1 неравенств вида
−
p
≤ pX≤ p
X
+
, X ⊆ X, |X| ≥ 2, (2.7)
X
которую формируют границы Фреше (1.17) для вероятностей пересечений событий. Это является необходимым условием существования распределения вероятностей II рода (табл. 1.3). При этом для вероятности
46 Глава 2. Достаточные условия существования распределений
pXлюбого события {KX⊇ X}, X ⊆ X, |X | ≥ 2 верхняя p
−
p
граница неравенств Фреше (1.17) определяется только вероятно-
X
стями самих событий P(x) = px, x ∈ X. Зависимость верхней p
нижней p
−
границы Фреше для pXтолько от вероятностей событий
X
+
и нижняя
X
+
X
и
px, x ∈ X является фактором, влияющим на нарушение условия (iv)
теоремы 2.1 о достаточных условиях существования распределения
вероятностей II рода. Поэтому предлагается данные границы модифи-
−
цировать путем сужения интервала [p
X
+
; p
] для всех X ⊆ X, |X| ≥ 2.
X
Tеорема 2.3 (Уточненные необходимые условия существования
распределения вероятностей II рода). Если функция множества
{pX, X ⊆ X}, заданная на системе событий {KX⊇ X}, является
распределением вероятностей II рода конечного случайного мно-
жества KX, то она удовлетворяет системе неравенств для всех
X ⊆ X, |X| ≥ 2:
pX≥ max
{t1,t2}⊆X
0, p
X\{t1}
+ p
X\{t2}
− p
X\{t1,t2}
;
(2.8)
pX≤ min
Y ⊆X,
|Y |=|X |−1
где выражение max
{t1,t2}⊆X
pY,
0, p
X\{t1}
+ p
X\{t2}
− p
X\{t1,t2}
определяет
уточненную нижнюю границу Фреше по пересечению, а выражение
min
Y ⊆X,
|Y |=|X |−1
pY— уточненную верхнюю границу Фреше по пересечению.
Доказательство. Проведем доказательство методом индукции по
мощности проекций базового множества X, |X| = N на множества
Y ⊆ X, |Y| = n, 2 ≤ n < N и соответствующих им проекций K
Y
конечного случайного множества KX. Согласно утверждению 1.2 распределение II рода проекции KYна всех Y ⊆ Y совпадает с распределением II рода конечного случайного множества KX. Поэтому будем
использовать единое обозначение pY= p
Y//Y
= p
, ∀ Y ⊆ Y для рас-
Y//X
пределений II рода проекции KYи конечного случайного множества
KX.
2.3. Уточнение границ Фреше 47
Пусть n = 2 и Y = {x, y} ⊂ X. Неравенство (2.7) для распределения
II рода проекции KYпримет вид
max {0, px+ py− 1} ≤ pxy≤ min {px, py} . (2.9)
Неравенство (2.9) можно непосредственно получить из формул обращения М¨ебиуса (1.22) и свойства неотрицательности вероятности.
Действительно,
p ({x, y}//Y) = pxy≥ 0;
p ({x}//Y) = px− pxy≥ 0 =⇒ pxy≤ px;
p ({y}//Y) = py− pxy≥ 0 =⇒ pxy≤ py;
p (∅//Y) = 1 − px− py+ pxy≥ 0 =⇒ pxy≥ px+ py− 1.
Пусть теперь n = 3 и Y = {x, y, z} ⊆ X. Система неравенств (2.7)
для распределения II рода проекции KYпримет вид
max {0, px+ py− 1} ≤ pxy≤ min {px, py} ;
max {0, px+ pz− 1} ≤ pxz≤ min {px, pz} ;
(2.10)
Модифицируем верхнюю границу для вероятности p
max {0, py+ pz− 1} ≤ pyz≤ min {py, pz} ;
max {0, px+ pz+ py− 2} ≤ p
≤ min {px, pz, py} .
xyz
системы (2.10).
xyz
Применение формулы обращения М¨ебиуса (1.22), неравенства Фреше
(1.17) и свойства неотрицательности вероятности приводит к следующим соотношениям:
p ({x, y, z}//Y) = p
p ({x, y}//Y) = pxy− p
p ({x, z}//Y) = pxz− p
p ({y, z}//Y) = pyz− p
xyz
> 0;
≥ 0 ⇒ p
xyz
≥ 0 ⇒ p
xyz
≥ 0 ⇒ p
xyz
≤ pxy≤ min {px, py} ;
xyz
≤ pxz≤ min {px, pz} ;
xyz
≤ pyz≤ min {py, pz} .
xyz
48 Глава 2. Достаточные условия существования распределений
Объединив три последних неравенства, получим уточненную верхнюю
границу Фреше для вероятности p
p
≤ min {pxy, pxz, pyz} = min
xyz
xyz
в виде
pY. (2.11)
Y ⊆{x,y,z}
|Y |=2
Отметим, что в представлении (2.11) модифицированная верхняя граница Фреше для p
зависит от вероятностей парных пересечений
xyz
событий и не нарушает свойства монотонности вероятности1.
Далее, уточним нижнюю границу Фреше для p
. Применение фор-
xyz
мулы обращения М¨ебиуса (1.22) и свойства неотрицательности вероятности приводит к следующим соотношениям:
p ({x}//Y) = px− pxy− pxz+ p
p ({y}//Y) = py− pxy− pyz+ p
p ({z}//Y) = pz− pxz− pyz+ p
≥ 0 ⇒ p
xyz
≥ 0 ⇒ p
xyz
≥ 0 ⇒ p
xyz
≥ pxy+ pxz− px; (2.12)
xyz
≥ pxy+ pyz− py; (2.13)
xyz
≥ pxz+ pyz− pz. (2.14)
xyz
Оценим снизу (2.12), использовав нижнюю границу Фреше для вероятностей парных пересечений:
pxy+ pxz− px≥ max{0, px+ py− 1} + max{0, px+ pz− 1} − px= (∗).
Здесь возможны четыре варианта, три из которых всегда отрицательны:
(∗) =
0 + 0 − px,
0 + px+ pz− 1 − px,
px+ py− 1 + 0 − px,
px+ py− 1 + px+ pz− 1 − px,
−px< 0,
pz− 1 < 0,
=
py− 1 < 0,
px+ py+ pz− 2.
Следовательно, (2.12) примет вид
p
≥ pxy+ pxz− px≥ px+ py+ pz− 2.
xyz
Аналогичным образом получим оценки снизу для (2.13) и (2.14). Тогда
1
Для распределения вероятностей II рода конечного случайного множества KXсвойство монотонности вероятности примет следующий вид: для любого V ⊂ X, X ⊆ X всегда выполняется pX≤ pV.
Например, для (x ∩ y ∩ z) ⊆ (x ∩ y) ⊆ x справедливо p
≤ pxy≤ px.
xyz
2.3. Уточнение границ Фреше 49
систему неравенств (2.12) — (2.14) можно записать в виде
p
≥ max {0, pxy+ pxz− px} ≥ max {0, px+ py+ pz− 2} ;
xyz
p
≥ max {0, pxy+ pyz− py} ≥ max {0, px+ py+ pz− 2} ;
xyz
p
≥ max {0, pxz+ pyz− pz} ≥ max {0, px+ py+ pz− 2} .
xyz
Отсюда следует, что вероятность совместного наступления трех событий должна быть согласована с вероятностями парных пересечений
и вероятностями самих событий. Не нарушив свойства монотонности
вероятности, получим уточненную нижнюю границу Фреше для вероятности совместного наступления трех событий в виде
p
≥ max{0, pxy+ pxz− px, pxy+ pyz− py, pxz+ pyz− pz} =
xyz
= max
{t1,t2}⊆{x,y,z}
0, p
{x,y,z}\{t1}
+ p
{x,y,z}\{t2}
− p
{x,y,z}\{t1,t2}
. (2.15)
Пусть n = 4 и Y = {x, y, z, v} ⊆ X. Для всевозможных подмножеств Y из Y, (|Y | ≤ 3) уточненные границы Фреше вычисляются
по формулам (2.9), (2.11), (2.15) соответственно мощности Y . Найдем
модификацию границ в неравенстве Фреше для p
max {0, px+ py+ pz+ pv− 3} ≤ p
≤ min {px, py, pz, pv} .
xyzv
xyzv
:
Для этого аналогично предыдущим случаям будем использовать формулу обращения М¨ебиуса (1.22) и свойство неотрицательности вероятности. Уточненная верхняя граница для p
непосредственно следует
xyzv
из системы неравенств
p({x, y, z, v}//Y) = p
p({x, y, z}//Y) = p
xyz
xyzv
− p
≥ 0;
xyzv
≥ 0 ⇒ p
xyzv
≤ p
xyz
;
p({x, y, v}//Y) = p
p({x, z, v}//Y) = p
p({y, z, v}//Y) = p
и имеет вид p
xyzv
≤ min {p
xyz
xyv
xzv
yzv
, p
− p
− p
− p
xyv
, p
xyzv
xyzv
≥ 0 ⇒ p
xyzv
, p
xzv
≥ 0 ⇒ p
≥ 0 ⇒ p
} = min
yzv
Y ⊆{x,y,z,v}
xyzv
xyzv
xyzv
|Y |=3
≤ p
≤ p
≤ p
xyv
xzv
yzv
pY.
;
;
50 Глава 2. Достаточные условия существования распределений
Анализ системы неравенств
p({x, y}//Y) = pxy− p
p({x, z}//Y) = pxz− p
p({y, z}//Y) = pyz− p
p({x, v}//Y) = pxv− p
p({y, v}//Y) = pyv− p
p({z, v}//Y) = pzv− p
xyz
xyz
xyz
xyv
xyv
yzv
− p
− p
− p
− p
− p
− p
xyv
xzv
yzv
xzv
yzv
xzv
+ p
+ p
+ p
+ p
+ p
+ p
xyzv
xyzv
≥ 0 ⇒ p
xyzv
xyzv
xyzv
≥ 0 ⇒ p
xyzv
≥ 0 ⇒ p
≥ 0 ⇒ p
≥ 0 ⇒ p
≥ 0 ⇒ p
xyzv
xyzv
xyzv
xyzv
xyzv
xyzv
≥ p
≥ p
≥ p
≥ p
≥ p
≥ p
приводит к уточненной нижней границе Фреше в виде
p
≥ max{0, p
xyzv
p
xyz
+ p
xyv
− pyz, p
yzv
+ p
xzv
xzv
− pxv, p
+ p
xyz
yzv
+ p
xzv
− pzv, p
− pxz, p
+ p
xyv
xyz
− pyv} =
yzv
= max
{t1,t2}⊆{x,y,z,v}
0, p
{x,y,z,v}\{t1}
+ p
{x,y,z,v}\{t2}
− p
+ p
xyz
xyz
xyz
xyv
xyv
yzv
+ p
{x,y,z,v}\{t1,t2}
+ p
+ p
+ p
+ p
+ p
xyv
xyv
xzv
yzv
xzv
yzv
xzv
− pxy,
− pxy;
− pxz;
− pyz;
− pxv;
− pyv;
− pzv;
.
Пусть получены уточненные границы Фреше для всех Y таких,
что |Y| = n ≤ N − 1. Модифицируем границы для pX. Аналогично
разобранным выше случаям уточненная верхняя граница следует из
системы N + 1 неравенств
p(X) = pX≥ 0;
p(X \ {t}) = p
X\{t}
и имеет вид pX≤ min
Y ⊆X,
|Y |=N −1
Уточненную оценку снизу для pXдает система из C
pX≥ p
X\{t1}
+ p
X\{t2}
− p
ношений p(X\{t1, t2}) = p
оценка снизу есть pX≥ max
− pX≥ 0 ⇒ pX≤ p
pY.
X\{t1,t2}
{t1,t2}∈X
, ∀t1, t2∈ X, которые следуют из C
X\{t1,t2}−pX\{t1}−pX\{t2}
0, p
X\{t1}
+ p
, для всех t ∈ X,
X\{t}
2
неравенств вида
N
+pX≥ 0. А уточненная
X\{t2}
− p
X\{t1,t2}
.
2
N
соот-
Уточним достаточные условия существования распределения вероятностей II рода путем изменения условия (iii) теоремы 2.1 на основе
модификации границ Фреше для вероятностей пересечений (2.17).