Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
3.5. Анализ и демонстрация применения метода 111
проживающие в городе, с формами заболевания: диссеминированный
туберкулез, инфильтративная форма, казеозная пневмония, очаговый
туберкулез, туберкулема (1452 чел.).
Задача исследования лекарственной устойчивости является актуальной в связи с тем, что в последние годы установлено увеличение
числа больных туберкулезом легких, что в значительной мере связано с устойчивостью возбудителя к противотуберкулезным препаратам. Известны подходы решения этой задачи с применением методов
многомерной математической статистики и интеллектуального анализа данных [56, 57]. Все они направлены на выявление скрытых закономерностей в данных и принятие решений с учетом оценки рисков. Однако применение этих методов на практике осложняется проблемой хранения и обработки больших массивов данных. Переход от
эмпирических распределений к теоретическим распределениям снижает остроту этой проблемы. С этой целью могут быть использованы
случайно-множественное моделирование и метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств
на основе ассоциативных функций.
Рассмотрим множество препаратов, к которым у больных наблюдается лекарственная устойчивость X = {H, R, S, E, K, P t, Ofl}, где
основные препараты: H — изониазид, R — рифампицин; S — стрептомицин, E — этамбутол; резервные препараты: K — канамицин, P t —
протионамид, Of l — офлоксацин. Конечное случайное множество, заданное на носителе X, будет выступать в качестве математической
модели случайного пациента с лекарственной устойчивостью к противомикробным препаратам, используемым для лечения болезни. Для
каждого набора X ⊆ X вероятность I рода p(X) интерпретируется
как вероятность того, что случайный пациент будет обладать лекарственной устойчивостью точно к набору препаратов X, а вероятности
II рода pXинтерпретируются как вероятность того, что среди препаратов, на которые у случайного пациента присутствует лекарственная
устойчивость, есть набор препаратов X.
На основе статистической БД были вычислены эмпирические распределения вероятностей I рода {q(X), X ⊆ X} и II рода {qX, X ⊆ X}.
112 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
Вероятности qx= P(x) того, что у случайного пациента присутствует лекарственная устойчивость к препарату x ∈ X, представлены в
табл. 3.5.
Таблица 3.5
Эмпирические вероятности событий
P (H) P (R) P (S) P (E) P (K) P (P t) P (Ofl)
0, 17011 0, 13843 0, 18664 0, 13085 0, 06612 0, 0489 0, 0186
Именно маргинальные вероятности являются входными данными
для метода рекуррентного построения. Были построены теоретические
распределения на основе однопараметрических ассоциативных функций Франка, Али—Михаэля—Хака, Гумбеля, Клейтона, Джо (табл. 3.4).
Для каждого из них найдено оптимальное значение параметра α. Их
значения указаны в табл. 3.6. Подбор параметра α осуществлялся исходя из формулы (3.47), которая отражает минимальное расстояние
между теоретическим и эмпирическим распределением. В качестве меры близости между теоретическим и эмпирическим распределениями
использовалось расстояние Кульбака—Лейблера (3.48). Выбор этого
расстояния обусловлен тем, что оно удовлетворяет принципу минимальной различающей информации [37].
Таблица 3.6
Результаты численной аппроксимации
AF
α 30, 70263 1 6, 710429 2, 814419 27, 267973
D
KL
Франк Али-Михаэль-Хак Гумбель Клейтон Joe
α
0,0439765 0, 225445 0, 063657 0, 095653 0,041714
Из табл. 3.6 следует, что наилучшие приближения к эмпирическому распределению дают теоретические распределения, построенные по
функциям Франка и Джо. Однако вычисление распределения по функции Франка является менее трудоемким, потому что известно его аналитическое представление.
Таким образом, от исходной выборки объёмом 1142 перешли к эмпирическому распределению, описываемому 2N= 128 вероятностями.
3.5. Анализ и демонстрация применения метода 113
Переход от эмпирических распределений к теоретическим распределениям позволяет оперировать при N = 7 только восемью числовыми
величинами, семь из которых являются исходными вероятностями q
событий x ∈ X и параметром α ассоциативной функции Джо.
Найденное теоретическое распределение вероятностей случайного
пациента с лекарственной устойчивостью к противомикробным препаратам может быть использовано в качестве входных данных при
решении задачи классификации факторов, оказывающих влияние на
риск развития туберкулёза [57], в задачах исследования зависимостей между основными и резервными препаратами и в моделях сетрегрессионного анализа медицинских данных [4,78].
> > >
В этой главе изложен метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций и обосновано применение понятия ассоциативной
x
функции к распределению вероятностей конечного случайного множества. Данный метод сокращает число параметров, необходимых для
описания распределения с 2Nдо N + 1 параметра и порождает новые
классы распределений вероятностей конечных случайных множеств.
Рекуррентный метод частично решает проблему размерности, однако
порождает другую проблему, а именно: построенные с помощью данного метода функции множества могут не являться распределением
вероятностей, поэтому для каждого рассматриваемого семейства ассоциативных функций возникает необходимость исследования области
применимости метода. Доказаны теоремы, устанавливающие аналитический вид и условия существования результирующего распределения.
Данные условия являются конкретизацией достаточных условий с учетом особенностей вида ассоциативной функции (табл. 3.7). Важно, что
с помощью предложенного метода получены ранее известные законы
распределений вероятностей (законы с независимо точечной, вложенной и непересекающейся структурой зависимостей событий), а также
выявлены новые классы распределений вероятностей конечных случайных множеств. Заметим, что использование однопараметрических
114 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
семейств ассоциативных функций позволяет получать спектр распределений, описывающих конечные случайные множества, структура зависимостей которых регулируется параметром используемой ассоциативной функции. Также метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств распространен на
двойственные ассоциативные функции.
Таблица 3.7
Соответствие между ассоциативными функциями и результирующими
распределениями
Вид ассоциативной функции Доказанные
утверждения
AF(a, b) = a · b Теорема 3.1
AU(a, b) = a + b − a · b Теорема 3.7
AF(a, b) = min{a, b} Теорема 3.2
AU(a, b) = max{a, b} Теорема 3.8
AF(a, b) = max{a + b − 1, 0} Теорема 3.3
AU(a, b) = min{a + b, 1} Теорема 3.9
AF(a, b) =
a · b
Теорема 3.4 Новое распределение
a + b − a · b
Результирующие распределения
РВ независимо-точечного
случайного множества
(известное)
РВ случайного множества
вложенных событий
(известное)
РВ случайного множества
непересекающихся событий
(известное). Два новых
распределения
функция Франка (3.26) Теорема 3.5 Новый класс распределений,
определяемый параметром α
Предложенный метод не является универсальным, однако полученные новые классы распределений вероятностей конечных случайных
множеств расширяют область применения случайно-множественного
моделирования. Тем не менее возможности метода далеко не исчерпаны, и круг задач, где целесообразно его применение, продолжает
расширяться.
К решению математической задачи более всего побуждает призыв, всегда
звучащий внутри нас: вот задача, ищи решение, ты можешь найти его
одной только силой мысли, — в математике нет непознаваемого.
Давид Гильберт
Список литературы
1. Абдушукуров А. А. Статистика неполных наблюдений / А. А. Аб-
душукуров. — Ташкент: Изд-во «Университет», 2009. — 269 с.
2. Амбарцумян Р. В. Введение в стохастическую геомет-
рию / Р. В. Амбарцумян, Й. Мекке, Д. Штойян. — М.: Наука,
1989. — 400 с.
3. Баранова И. В. Метод двудольных множеств событий в эвентоло-
гическом анализе сложных систем: дис. ... канд. физ.-мат. наук /
И. В. Баранова. — Красноярск, 2006. — 139 с.
4. Белов К. А. Методы и алгоритмы случайно-множественного анали-
за медицинских данных: дис. ... канд. техн. наук / К. А. Белов. —
Воронеж, 2005. — 121 с.
5. Биркгоф К. Теория решеток: пер. с англ. / К. Биркгоф. — М.: Нау-
ка. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. —
568 с.
6. Боровков A. A. Математическая статистика. Проверка гипотез.
Оценка параметров / A. A. Боровков. — М.: Наука, 1984. — 472 с.
7. Быкова В. В. Теоретические основы анализа параметризованных алгоритмов: монография / В. В. Быкова. — Красноярск, 2011. — 180 с.
8. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия / гл. ред.
Ю. В. Прохоров. — М.: БРЭ, 1999. — 910 c.
9. Вирченко Ю. П. Индикаторные случайные процессы и сепарабельные случайные замкнутые множества / Ю. П. Вирченко,
О. Л. Шпилинская // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика.
Физика. — 2010. Выпуск 20. — №17 (88). — С. 124–140.
116 Список литературы
10. Вирченко Ю. П. Построение распределения вероятностей случайных множеств. I. Аддитивные меры на булевской решетке /
Ю. П. Вирченко, О. Л. Шпилинская // Научные ведомости БелГУ.
Сер. Математика. Физика. — 2012. Выпуск 28. — №17 (136). —
С. 16–27.
11. Воробьев А. О. Суммирование сет-аддитивных функций и формула
обращения М¨ебиуса / А. О. Воробьев, О. Ю. Воробьев // Доклады
РАН. — 1994. — Т. 336. — № 4. — С. 417–420.
12. Воробь¨ев А. О. Прямые и обратные задачи для моделей распро-
странения пространственных рисков: автореф. дис. ... канд. физ.-
мат. наук / А. О. Воробь¨ев. — Красноярск, 1998. — 23 с.
13. Воробьев А. О. Мультиковариации и многоточечно зависимые
распределения случайных множеств / А. О. Воробьев // Труды I
Всерос. ФАМ конференции. — Красноярск, 2002. — T. 1. — С. 21–
24.
14. Воробьев О. Ю. Вероятностное множественное моделирование распространения лесных пожаров / О. Ю. Воробьев, Э. Н. Валендик.
— Новосибирск, 1978. — 160 с.
15. Воробьев О. Ю. Среднемерное моделирование / О. Ю. Воробьев.
— М.: Наука, 1984. — 133 с.
16. Воробьев О. Ю. Сет-суммирование / О. Ю. Воробьев. — Новосибирск, 1993. — 137 c.
17. Воробьев О. Ю. Cет-функции и их свойства / О. Ю. Воробьев //
e∼Записки ФАМ Семинара’2004. — Красноярск, 2004. — № 8. —
С. 30–72.
18. Воробьев О. Ю. Эвентология / О. Ю. Воробьев. — Красноярск,
2007. — 435 c.
19. Воробьев О. Ю. Случайно-множественное моделирование финансовых рынков / О. Ю. Воробьев, A. A. Новоселов // Нестандартные
Список литературы 117
и случайно-множественные методы измерения рисков в социальноэкономических системах: материалы семинара. — Красноярск, 1998.
— С. 60–86.
20. Воробьев О. Ю. Случайно-множественное измерение спроса и
предложения на товарных рынках / О. Ю. Воробьев, Е. Е. Голденок.
— Красноярск, 2002. — С. 225–230.
21. Воробьев О. Ю. Структурный сет-анализ зависимостей случайных
событий / О. Ю. Воробьев, Е. Е. Голденок. — Красноярск, 2004. —
106 c.
22. Воробьев О. Ю. Регрессионный сет-анализ случайных событий /
О. Ю. Воробьев, А. Ю. Фомин. — Красноярск, 2004. — 116 c.
23. Воробьев О. Ю. Портфельный сет-анализ случайных событий /
О. Ю. Воробьев, Д. В. Семенова. — Красноярск, 2005. — 106 c.
24. Воробьев О. Ю. Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем / О. Ю. Воробьев, И. В. Баранова. — Красноярск, 2007. — 132 c.
25. Воробьев О. Ю. Широкая зависимость событий и аппроксимация
эвентологических распределений широко-мультипликативными сетфункциями / О. Ю. Воробьев // VIII международ. ФАМ конференция: сб.тр. — Красноярск: СФУ, 2009. — Ч. 1. — С. 101–122.
26. Гнеденко Б В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. — М.:
Наука, 1988. — 406 с.
27. Голденок Е. Е. Моделирование структур зависимостей и взаимодействий случайных событий с статистических системах:
дис. . . . канд. физ.-мат. наук / Е. Е. Голденок. — Красноярск, 2002.
— 138 с.
28. Голденок Е. Е. Экономическая эвентология и эвентологическая
экономика / Е. Е. Голденок. — М.: Экономическое образование,
2010. — 193 с.
118 Список литературы
29. Грэхем Р. Конкретная математика. Основание информатики: пер.
с англ. / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. — М.: Мир, 1998. —
703 с.
30. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения / М. Де Гроот.
— М.: Мир, 1974. — 492 с.
31. Деза Е. И. Энциклопедический словарь расстояний / Е. И. Деза,
М.-М. Деза; пер. с англ. В. И. Сычева. — М.: Наука, 2008. — 444 c.
32. Загоруйко Н. Г. Прикладные методы анализа данных и знаний /
Н. Г. Загоруйко. — Новосибирск, 1999. — 270 с.
33. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика / А. И. Кобзарь. — М., 2006. — 816 с.
34. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального
анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 4-е изд. — М.: Наука,
1976. — 544 c.
35. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. Сер.:
Теория вероятностей и математическая статистика / А. Н. Колмогоров. — М., 1974. — 120 с.
36. Кормен Т. X. Алгоритмы : построение и анализ: пер. с англ. /
Т. X. Кормен [и др.]. — 2-е изд. — М., 2005. — 1296 с.
37. Кульбак С. Теория информации и статистика / С. Кульбак. — М.:
Наука, 1967. — 408 с.
38. Куприянова Т. В. Задача классификации подмножеств случайно-
го множества и её применение: дис. ... канд. физ. мат. наук. /
Т. В. Куприянова. — Красноярск, 2002. — 159 с.
39. Лемешко Б. Ю. Статистический анализ данных, моделирование
и исследование вероятностных закономерностей. Компьтерный подход: монография / Б. Ю. Лемешко, С. Б. Лемешко, С. Н. Постовалов
[и др. ]. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. — 888 с.
Список литературы 119
40. Лемешко Б. Ю. Методы оптимизации: конспект лекций /
Б. Ю. Лемешко. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. — 126 с.
41. Лукьянова Н. А. Ассоциативные функции Франка в построении семейств дискретных вероятностных распределений случайных
множеств событий / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Прикладная дискретная математика. — 2016. — № 2 (32). — C. 5–19.
42. Лукьянова Н. А. Комплекс программ «Вероятностные распределения случайных конечных множеств событий» [Электронный ресурс]
/ Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова. — Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование». — Свид. о рег. № 21892,
дата рег. : 01.06.2016 г.
43. Лукьянова Н. А. Программа для ЭВМ «Fitting distribution of finite
random set» [Электронный ресурс] / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова. — Официальный бюллетень Федеральной службы по интеллектуальной собственности (РОСПАТЕНТ) «Программы для ЭВМ.
Базы данных. Топологии интегральных микросхем», №3–2017,
21.02.2017-20.03.2017 — М.: ФИПС, 2017. — RU 2017613345, дата
рег.: 15.03.2017
44. Лукьянова Н. А. Краткий обзор по теории случайных множеств
/ Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ–2016): материалы
XV Международной конференции им. А. Ф. Терпугова. Катунь, 12–
16 сентября 2016 г. — Томск, 2016. — Ч.1. — С. 172–178.
45. Лукьянова Н. А. Ассоциативные функции в построении семейств распределений вероятностей конечных случайных множеств
/ Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий, Аль-Хорезми
2016: труды V Международной конференции. Бухара, 9–10 ноября
2016 г. — Бухара, 2016. — Т. 2. — С. 208–210.
46. Лукьянова Н. А. Уточненные границы Фреше для вероятностного
распределения случайного множества событий / Н. А. Лукьянова,
120 Список литературы
Д. В. Семенова // XIV Конференция по финансово-актуарной математике и эвентологии многомерной статистики (ФАМЭМС’2015):
труды конференции. Красноярск, 24–25 апреля 2015 г. — Красноярск, 2015. — C. 302–308.
47. Лукьянова Н. А. Применение ассоциативных функций для оценки
вероятности целевого события / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Статистика и ее применение: материалы респуб. науч.-практ.
конференции. Ташкент, 16–17 октября 2015 г. — Ташкент, 2015. —
С. 91–98.
48. Лукьянова Н. А. Применение ассоциативной функции Али—
Михаэля—Хака в событийном скоринге / Н. А. Лукьянова,
Д. В. Семенова // Проблемы оптимизации и экономические приложения : материалы VI Международной конференции. Омск, 28
июня–4 июля 2015 г. — Омск, 2015. — С. 139.
49. Лукьянова Н. Ассоциативные случайные множества событий в
скоринге / Н. Лукьянова, Д. Семенова, М. Мельникова // Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в сложных системах
(МАБР–2014): труды Двенадцатой междунар. науч. школы. СанктПетербург, 18–20 ноября 2014 г. — СПб., 2014. — C. 275–282.
50. Лукьянова Н. А. Информационно-энтропийное моделирование событийной безопасности / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур
: материалы Десятой Рос. конф. с междунар. участием. Алтайский
край, 9–11 июня 2014 г. — Томск, 2014. — С. 87–88.
51. Лукьянова Н. А. Энтропия множества событий и его подмножества / Н. А. Лукьянова // XII Международная конференция
по финансово-актуарной математике и эвентологии безопасности
(ФАМЭБ’2013): труды конференции. Красноярск, 19–20 апреля
2013 г. — Красноярск, 2013. — С. 264–271.
52. Лукьянова Н. А. Случайно-множественные разложения распределений дискретно-непрерывных случайных векторов / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Новые информационные технологии в