Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
1.5. Аддитивные свойства распределений к.с.м. 31
Доказательство. Набор из 2Nсобытий {KX= X}, порождаемых
базовым множеством X, образует конечное разбиение Ω. Поскольку
{KX= X} ∩ {KX= Y } = ∅, то P{KX= X} ∩ {KX= Y }= 0.
Следовательно для любых X, Y ⊆ X верно равенство
P{KX= X} ∪ {KX= Y }+ P{KX= X} ∩ {KX= Y }=
= P{KX= X}+ P{KX= Y },
из которого следует аддитивность распределения вероятностей I рода
конечного случайного множества KX.
Лемма 1.3. Распределение вероятностей II рода конечного слу-
чайного множества KXудовлетворяет свойству (1.12), т.е. явля-
ется супераддитивной функцией множества на 2X.
Доказательство. Для распределения вероятностей II рода свойство
(1.12) принимает вид
p
X∪Y
+ p
≥ pX+ pY, X, Y ⊆ X. (1.30)
X∩Y
Использовав формулу обращения М¨ебиуса (1.21), выразим в (1.30)
вероятности II рода через вероятности I рода и докажем, что
X
p(Z) +
X∩Y ⊆Z
Заметим, что для Z ∈ 2
X
p(Z) =
X∩Y ⊆Z
X∪Y ⊆Z
X
X⊆Z
X
p(Z) ≥
X
p(Z) +
X
Y ⊆Z
X
p(Z) +
X⊆Z
p(Z) −
X
X∪Y ⊆Z
X
p(Z), Z ∈ 2X. (1.31)
Y ⊆Z
X
p(Z) +
X∩Y ⊆Z ;
X*Z ; Y *Z
p(Z), (1.32)
где суммирование в последнем слагаемом распространяется на все пересечения X ∩Y ⊆ Z такие, что X * Z и Y * Z. Так как сумма (1.32)
неотрицательна, то верно равенство
X
p(Z) +
X∩Y ⊆Z
X
X∪Y ⊆Z
p(Z) =
X
X⊆Z
p(Z) +
X
Y ⊆Z
p(Z) +
X
p(Z), Z ∈ 2X,
X∩Y ⊆Z ;
X*Z ; Y *Z
из которого следует справедливость (1.31).
Лемма 1.4. Распределение вероятностей V рода конечного слу-
чайного множества KXудовлетворяет свойству (1.11), т.е. явля-
ется субаддитивной функцией множества на 2X.
32 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
Доказательство. Для распределения вероятностей V рода свойство
(1.11) принимает вид
u
X∪Y
+ u
≤ uX+ uY, X, Y ⊆ X. (1.33)
X∩Y
Использовав формулу обращения М¨ебиуса (1.23), выразим в (1.33)
вероятности V рода через вероятности I рода и докажем, что
1 −
Z∈2X: X∩Y ⊆Z
X
p(Zc) + 1 −
X
p(Zc) ≤
Z∈2X: X∪Y ⊆Z
(1.34)
≤ 1 −
X
p(Zc) + 1 −
Z∈2X: X⊆Z
X
p(Zc).
Z∈2X: Y ⊆Z
Здесь
X
p(Zc) +
Z∈2X: X∩Y ⊆Z
X
Поскольку
Z∈2X: X⊆Z
X
Z∈2X: X∪Y ⊆Z
p(Zc) =
p(Zc) ≥
X
Z∈2X: Z⊆X
X
p(Zc) +
Z∈2X: X⊆Z
X
p(Zc).
Z∈2X: Y ⊆Z
p(Z), то последнее неравенство
c
имеет вид
X
Z⊆(X∩Y )
p(Z) +
c
X
Z⊆(X∪Y )
p(Z) ≥
c
X
Z⊆X
p(Z) +
c
X
p(Z), Z ∈ 2X. (1.35)
c
Z⊆Y
X
Нетрудно доказать, что функция множества f(Xc) =
X
пераддитивна, если f(X) =
p(Z) супераддитивна. Покажем,
Z∈2X: Z⊆X
p(Z) су-
c
Z∈2X: Z⊆X
что
X
p(Z) +
Z⊆X∩Y
Заметим, что для Z ∈ 2
X
p(Z) =
Z⊆X∩Y
X
Z⊆X
X
Z⊆X∪Y
p(Z) +
p(Z) ≥
X
X
Z⊆Y
X
p(Z) +
Z⊆X
p(Z) −
X
Z⊆X∪Y
X
p(Z), Z ∈ 2X. (1.36)
Z⊆Y
X
p(Z) +
Z⊆X ∩Y ;
Z*X ; Z*Y
p(Z), (1.37)
где суммирование в последнем слагаемом распространяется на все пересечения Z ⊆ X ∩Y такие, что Z * X и Z * Y . Так как сумма (1.37)
неотрицательна, то приходим к равенству
X
p(Z) +
Z⊆X∩Y
X
Z⊆X∪Y
p(Z) =
X
Z⊆X
p(Z) +
X
Z⊆Y
p(Z) +
X
p(Z), Z ∈ 2X,
Z⊆X ∩Y ;
Z*X ; Z*Y
1.5. Проекции конечного случайного множества 33
из которого вытекает справедливость (1.36), что доказывает (1.35).
Из лемм 1.2–1.4 следует, что выбор той или иной системы событий определяет свойства аддитивности (1.10)–(1.12) рассматриваемых распределений вероятностей конечных случайных множеств. Заметим, что только распределение вероятностей I рода удовлетворяет
вероятностной нормировке, поскольку оно определено на полной группе несовместных событий {KX= X}. Вероятностная нормировка для
распределений вероятностей II рода и V рода, заданных на системах
совместных событий {KX⊇ X} и {KX* Xc}, соответственно, не вы-
полняется.
1.6. Распределения вероятностей конечного случайного
множества, заданного на подмножестве базового множества
В прикладных задачах достаточно часто возникает необходимость
анализировать помимо всего базового множества событий некоторую
его часть Y ⊂ X. При этом приходится оперировать двумя случайными
множествами KXи KY, распределения которых связаны аналитическими формулами [51, 117].
Для упрощения формы изложения введем дополнительные понятия.
Определение 1.6. Под проекцией базового множества X (|X| = N )
на множество Y ⊆ X (|Y| = n, n = 1, . . . , N ) будем понимать систему
несовместных событий {KY= Y }, порожденную множеством Y. Каж-
дое событие в этой системе есть сумма из 2
N−n
событий {KX= X}
системы (1.13), порожденной базовым множеством X:
X
{KY= Y } =
{KX= Y + Z}, (1.38)
Z⊆X\Y
где Y ∩ Z = ∅, X = Y + Z ⊆ X.
Будем условно называть конечное случайное множество KYпроекцией конечного случайного множества KX.
В ситуациях, когда рассматриваются два и более конечных случайных множества, определенных на различных базовых множествах
событий, будем использовать следующее обозначение Y //Y. Это обо-
34 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
значение указывает, что рассматривается некоторое подмножество Y
из множества случайных событий Y.
Утверждение 1.1. Распределение вероятностей I рода проекции
KYконечного случайного множества KXвыражается через распре-
деление вероятностей I рода конечного случайного множества K
по формуле
X
p (Y//Y) =
Z⊆X\Y
p (Y + Z//X) , ∀ Y ⊆ Y. (1.39)
Доказательство. Представим некоторое подмножество X ⊆ X в
виде X = Y + Z, где Y ∩ Z = ∅, Y ⊆ Y, Z ⊆ X \ Y. Тогда для любого
события из системы событий (1.13), порожденной базовым множеством
X, справедливо следующее соотношение:
{KX= X} = {KX= Y + Z} =
v∈(Y +Z)
\
v
c
=
\
x!∩
x∈Y +Z
\
x!∩
x∈Y +Z
c
=
\
x!∩
x∈Y +Z
\
v∈X\(Y +Z)
\
v∈(X\Y ) ∩ (X\Z)
c
v
=
c
v
.
X
Следовательно, для любого Y ⊆ Y формулу (1.38) можно записать в
виде
{KY= Y } =
X
Z⊆X\Y
\
x!∩
x∈Y +Z
\
v∈(X\Y ) ∩ (X\Z)
c
v
.
Поскольку Y ⊆ X, то справедливо следующее равенство:
X
Z⊆X\Y
x∈Y +Z
\
x!∩
\
v∈(X\Y ) ∩ (X\Z)
c
v
=
\
x!∩
x∈Y
\
v∈Y\Y
c
v
. (1.40)
По определению (1.14)–(1.13) распределение вероятностей I рода конечного случайного множества KY— это набор из 2nвероятностей
вида
p (Y//Y) = P({KY= Y }) = P
\
x!∩
\
v
c
, Y ⊆ Y.
x∈Y
v∈Y\Y
1.6. Проекции конечного случайного множества 35
Учитывая (1.40), получаем выражение для распределения вероятностей I рода проекции KYконечного случайного множества KXчерез
распределение вероятностей I рода конечного случайного множества
KX:
P
p (Y//Y) = P ({KY= Y }) = P
Z⊆X\Y
{KX= Y + Z}=
P
=
Z⊆X\Y
p (Y + Z//X) .
Очевидно, что набор из 2nвероятностей (1.39) удовлетворяет соотношению вероятностной нормировки:
X
p (Y//Y) =
Y ⊆Y
X
Y ⊆Y
X
Z⊆X\Y
p (Y + Z//X) =
X
p (X//X) = P (Ω) = 1.
X⊆X
Утверждение 1.2. Для всякой проекции KYконечного случайного
множества KXверны свойства:
(i) распределение вероятностей II рода проекции KYвыражается
через распределение вероятностей II рода конечного случайно-
го множества KXпо формуле
p
Y//Y
= p
, ∀ Y ⊆ Y; (1.41)
Y//X
(ii) распределение вероятностей V рода проекции KYвыражается
через распределение вероятностей V рода конечного случайно-
го множества KXпо формуле
u
Доказательство (1.41) непосредственно следует из соотноше-
\
ния p
Y//Y
= P
x∈Y ⊆Y
x
(1.42) — из соотношения u
Y//Y
= P
Y//Y
= u
= P
, ∀ Y ⊆ Y. (1.42)
Y//X
\
x∈Y ⊆X
x∈Y ⊆Y
x!= p
[
x
, а доказательство
Y//X
[
= P
x∈Y ⊆X
x!= u
Y//X
.
36 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
1.7. Арная ковариация множества событий
Одной из важнейших характеристик конечного случайного множества является арная ковариация множества событий, которая «определяет, насколько вероятнее (чаще) или невероятнее (реже) наступают
рассматриваемые события по сравнению с независимыми событиями,
имеющими те же вероятности» [18]. Для множества X, состоящего
из N событий, существует набор из 2N− N − 1 арных ковариаций,
которые определяются распределением вероятностей II рода конечного
случайного множества:
KovX= P
\
x!−
Y
px, X ⊆ X, |X| > 1. (1.43)
x∈X
x∈X
Арная ковариация множества событий (1.43) обращается в ноль, когда
события из X независимы; больше нуля, когда события из множества
X «статистически притягиваются»; меньше нуля, когда события из
множества X «статистически отталкиваются» [27].
> > >
Под конечным случайным множеством понимается случайный элемент со значениями из совокупности всех подмножеств некоторого конечного множества X или, другими словами, это случайные подмножества конечного множества X. Распределение вероятностей конечного
случайного множества KX— это набор из 2Nзначений вероятностной
меры P, определенной на системе событий 2X. Таким образом, распределения вероятностей конечного случайного множества моделируют
всевозможные способы теоретико-множественных отношений подмножеств конечного множества событий. Следовательно, для того чтобы
построить распределение, необходимо задать вероятностную меру на
различных системах событий, порожденных этим множеством.
В настоящей работе рассмотрены три системы событий, задающих
распределения I, II, V рода соответственно. На языке конечных случайных множеств эти системы событий представлены в первой строке табл. 1.3. Вторая строка содержит их эквивалентное теоретикомножественное описание.
1.7. Арная ковариация множества событий 37
Таблица 1.3
Распределения вероятностей (РВ) конечных случайных множеств и их
характеристики
Системы
{KX= X} {KX⊇ X} {KX* Xc}
событий
Теоретикомножественное
описание
\
x∈X
!\
x
\
v∈X
!
c
v
c
!
\
x
x∈X
!
[
x
x∈X
Вероятности p(X) = P{KX= X}pX= P{KX⊇ X}
uX= P{KX* Xc}
Тип РВ к.с.м. I-го рода II-го рода V-го рода
Формулы
обращения
(1.21)–(1.22) (1.21)–(1.22)
(1.23)–(1.24) (1.23)–(1.24)
Мёбиуса
(1.25)–(1.26) (1.25)–(1.26)
Необходимые
условия существования
РВ
X
p(X) = 1
X⊆X
границы Фреше (∩):
p−≤ pX≤ p
+
p−= max{0, 1 − |X | +
P
+
p
+
x∈X
px},
= min
x∈X
px, где
границы Фреше (∪):
u−≤ uX≤ u
u−= max
x∈X
px,
P
u+= min{1,
x∈X
px= P(x)
+
px}
Для полного определения распределения вероятностей конечного
случайного множества достаточно любого одного из этих трёх типов
распределений (третья строка табл. 1.3), каждое из которых задано на
соответствующей системе событий. Узнав одно распределение можно
получить два других по формулам обращения Мёбиуса. В последней
строке табл. 1.3 представлены необходимые условия существования
распределений I, II, V рода [11, 18].
ГЛАВА 2
Достаточные условия существования
распределений вероятностей конечных
случайных множеств
Известно, что распределение вероятностей конечного случайного
множества можно задать шестью эквивалентными способами (распределениями I — VI рода). Каждый из этих типов распределений вероятностей конечного случайного множества является функцией множества, заданной на соответствующей системе событий. Сформулированы и доказаны достаточные условия, при выполнении которых функция множества определяет распределение вероятностей конечного случайного множества II и V рода. Найденные условия дополняют необходимые условия существования распределения вероятностей конечного
случайного множества II и V рода, доказанные в работах [11,18]. Также получены модифицированные границы Фреше для вероятностей
пересечений и объединений событий, которые уточняют необходимые
и достаточные условия существования распределений вероятностей II
и V рода конечных случайных множеств. Результаты, изложенные в
данной главе, опубликованы в работах [46, 114].
2.1. Достаточные условия существования распределений II рода
Следующая очевидная лемма позволяет рассматривать функцию множества f(X), определенную на системе событий {KX= X}, в качестве
распределения I рода.
2.1. Достаточные условия для распределений II рода 39
Лемма 2.1 (Достаточные условия существования распределения вероятностей I рода). Функция множества f : 2X→ [0, 1], заданная на
системе событий {KX= X}, является распределением вероятно-
стей I рода конечного случайного множества KX, если она удовле-
творяет условию
X
f(X) = 1.
X⊆X
Функция множества f (X), заданная на системе событий {KX⊇ X},
значения которой удовлетворяют границам Фреше (1.17), не всегда
определяет распределение вероятностей II рода конечного случайного
множества. Это объясняется тем, что преобразование f(X) по формуле
(1.22) может привести к функции множества p(X), определенной на
системе событий {KX= X}, со значениями не обязательно из [0, 1].
Этот факт демонстрирует следующий пример.
Пример 2.1. Пусть на системе событий {KX⊇ X}, X = {x, y, z}
задана функция множества f (X):
{f(∅), f (x), f (y), f (z), f(xy), f(xz), f(yz), f (xyz)} =
= {1, 0.375, 0.75, 0.625, 0.243, 0.19, 0.429, 0.118}. (2.1)
Нетрудно показать, что все значения функции множества из (2.1)
удовлетворяют границам Фреше (1.17). Действительно, например, для
f(xz) = 0.19 формула (1.17) примет вид
max {f(x) + f (z) − 1, 0} ≤ f (xz) ≤ min {f (x), f (z)} ⇒ 0 ≤ f(xz) ≤ 0.375.
Применим формулу обращения Ме¨биуса (1.22) к функции (2.1). В
результате получим следующую функцию множества p(X), заданную
на системе событий {KX= X}:
p(x) = f(x)−f(xy) −f (xz)+ f(xyz) = 0.375 −0.243 −0.19 +0.118 = 0.06;
p(y) = f(y)−f (xy)−f(yz)+f (xyz) = 0.75−0.243−0.429+0.118 = 0.196;
p(z) = f(z)−f(xz)−f(yz)+f(xyz) = 0.625−0.19−0.429+0.118 = 0.124;
p(xy) = f(xy) − f (xyz) = 0.243 − 0.118 = 0.125;
p(xz) = f(xz) − f(xyz) = 0.19 − 0.118 = 0.072;
p(yz) = f (yz) − f (xyz) = 0.429 − 0.118 = 0.311;
p(xyz) = f (xyz) = 0.118;
p(∅) = 1 − f(x) − f (y) − f (z) + f(xy) + f(xz) + f(yz) − f (xyz) = −0.006.
40 Глава 2. Достаточные условия существования распределений
Поскольку нарушено условие неотрицательности для значения
p(∅) < 0, то полученная функция множества p(X), заданная на систе-
ме событий {KX= X}, не является распределением вероятностей
I рода конечного случайного множества KX. Следовательно, функция
множества f(X), заданная на системе событий {K
⊇ X}, не мо-
X
жет быть распределением вероятностей II рода конечного случайного
множества KX.
Tеорема 2.1 (Достаточные условия существования распределения
вероятностей II рода). Функция множества f : 2X→ [0, 1], задан-
ная на системе событий {K
⊇ X}, является распределением
X
вероятностей II рода конечного случайного множества KX, если
одновременно выполнены следующие условия:
(i) f(∅) = P({KX⊇ ∅}) = 1;
(ii) f(x) = P({x ∈ KX}) — значения функции множества на собы-
тиях x ∈ X совпадают с вероятностью этих событий;
(iii) значения функции множества удовлетворяют системе нера-
венcтв Фреше для вероятностей пересечений событий при всех
X ∈ 2X, |X| ≥ 2:
X
max(0, 1 −
(1 − f(x)))≤ f (X) ≤ min
x∈X
f(x);
x∈X
(iv) значения функции множества
X
p(X) =
Y ∈2X:X⊆Y
(−1)
|Y |−|X |
f(Y ), X ∈ 2X, (2.2)
полученной из f(X) по формуле обращения М¨ебиуса, неотри-
цательны.
Доказательство. Условия (i) – (iii) являются необходимыми условиями существования распределения вероятностей II рода конечного
случайного множества KX, Однако их не достаточно. В работах [11,18]
показано, что формула (2.2) преобразует функцию множества, заданную на системе событий {KX⊇ X}, в функцию множества, опре-
деленную на системе событий {KX= X}. Докажем, что результатом
такого преобразования является распределение I рода.