Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
Введение 11
А. И. Орлова [60], О. Ю. Воробьева [14–16, 18], D. Stoyan [146–148]
и др. Эти исследования тесно связаны с математическими теориями
неопределенности, такими как теория нечетких множеств, теория возможностей, теория свидетельств Демпстера-Шейфера и другие. В работах I. Goodman [101], H. T. Nguyen [126], T. Matsuyama [129],
J. Goutsias, R. Mahler [130], G. Rogers [108], D. Dubois [93], А. И. Орлова [60, 62], О. Ю. Воробьева [18] и многих других показано, что
некоторые положения теорий неопределенности могут быть формально выражены в терминах теории случайных множеств. Например,
I. Goodman, А. И. Орлов представляют нечеткие множества как «проекции» случайных множеств. H. T. Nguyen [126], T. Matsuyama [129]
в своих работах предлагают случайно-множественную трактовку теории свидетельств Демпстера-Шейфера [90, 144, 145]. Случайные множества в качестве фундамента для теории экспертных систем рассматривают D. Dubois [93], I. Goodman, H. T. Nguyen [102], J. Goutsias,
R. Mahler [130], G. Rogers [108].
Итак, современная теория случайных множеств охватывает достаточно широкий круг прикладных задач: анализ изображений (J. Goutsias, R. Mahler и H. T. Nguyen [130]), моделирование неопределенности (H. T. Nguyen [126]), статистика неполных данных (D. F. Heitjan
и D. B. Rubin, [107]), управление запасами и ресурсами (в логистике)
(А. И. Орлов [60]), моделирование роста раковой опухоли (N. Cressie
и G. M. Laslett [88], [89]), процесс случайного распространения пожара (О. Ю. Воробьев и Э. Н. Валендик [14], О. Ю. Воробьев [149],
А.О. Воробьев [12]), исследование индикаторных случайных процессов (Ю. П. Вирченко, О. Л. Шпилинская [9,10]) и др. Однако отметим,
что объекты нечисловой природы хорошо описываются на языке событий. Это составляет основу событийного подхода. Автором случайномножественного подхода с базовым множеством в виде конечного множества случайных событий является О. Ю. Воробьев (1976–2018). В
рамках этого подхода в работах A. A. Новоселова [19], Э. Н. Валендик [14], И. В. Барановой [3], А. О. Воробьева [12], Е. Е. Голденок [20, 21, 28], Т. В. Куприяновой [38], О. Ю. Тарасовой [75],
А. Ю. Фомина [78], К. А. Белова [4], Д. В. Семеновой [23, 68],
12 Введение
J. Goldblatt [150] были поставлены и решены многие прикладные задачи различного характера: социально-экономические (исследование
потребительского спроса, моделирование финансовых рисков, портфельный анализ, банковский скоринг), экологические и медицинские
(прогнозирование распространения лесных пожаров, анализ уровня заболеваемости в зависимости от районов проживания, обнаружение закономерностей в медицинских данных и их извлечение). В этих задачах модели реальных систем представлены с помощью конечных
случайных множеств, признаками которых является булевский конечный вектор. Каждый такой вектор можно представить как подмножество некоторого конечного множества. Например, при группировке
больных по множеству препаратов, на которые у пациентов выявлена
лекарственная устойчивость, при изучении спроса покупателей некоторой сети супермаркетов на ассортимент товаров. Подобные объекты
можно характеризовать наличием или отсутствием у него какого-либо
признака из конечного набора характерных признаков. Если число таких признаков N, то различных возможных состояний системы — 2
N
с соответствующими вероятностями их реализаций. Возникает актуальная задача построения законов распределений конечных случайных
множеств в аналитическом виде, поскольку это позволяет снизить число параметров, необходимых для описания распределений, и исследовать их аналитическими методами. Попытки отыскать универсальные
методы решения данной задачи не дали пока общих результатов. Наоборот, каждый конкретный метод характеризуется набором процедур,
соответствующих его специфическим свойствам, и во многом зависит
от выбранных законов распределений и целей их анализа. В своих
исследованиях мы развиваем конструктивную идею построения распределений конечных случайных множеств. Основная ее мысль состоит в следующем: функционально выражать вероятности пересечений
множества событий через маргинальные вероятности событий. Этот
подход позволяет представить статистические данные в наиболее компактном виде с помощью аналитических зависимостей.
В настоящем издании систематизированы некоторые результаты исследований авторов, касающиеся решения проблемы построения и ана-
Введение 13
лиза распределений вероятностей конечных случайных множеств. Решение этой проблемы связано со стремлением расширить область применения случайно-множественного подхода. В известной мере это требование практики и поиск наиболее эффективных способов выявления
и анализа на качественном уровне закономерностей из нечисловых
данных.
ГЛАВА 1
Конечные случайные множества
и способы их представления
В данной главе определяются необходимые понятия из теории конечных случайных множеств, такие как «базовое множество случайных событий и порожденные им системы событий», «конечное случайное множество», «функция множества», «распределения вероятностей
конечных случайных множеств». Вводятся и обсуждаются концептуальные основы анализа распределений вероятностей конечных случайных множеств. Приводятся обозначения и свойства распределений
вероятностей конечных случайных множеств, применяемые в последующих главах.
1.1. Случайные множества как случайные элементы
Во многих практических областях, например в медицине, социологии, экономике и компьютерной лингвистике, актуальны задачи моделирования и исследования случайных объектов произвольной природы, представляемых случайными элементами [79, с. 221].
Определение 1.1. Пусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство,
а (U, A) — измеримое пространство, где U — произвольное множество, а A — некоторая σ-алгебра его подмножеств. Будем говорить,
что функция K = K(ω), определенная на Ω и принимающая значения
в U, есть F/A-измеримая функция, или случайный элемент (со зна-
чениями в U), если для любого A ∈ A верно {ω : K(ω) ∈ A} ∈ F.
1.1. Случайные множества как случайные элементы 15
В качестве случайных элементов рассматриваются случайные величины, вектора, функции, процессы, множества. Рассмотрим несколько
частных случаев этого определения (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Виды случайных элементов
U A (U, A) Случайный элемент
R B(R) (R, B(R)) Случайная величина
n
R
B(Rn) (Rn, B(Rn)) Случайный вектор
M B(M) (M, B(M)) Случайное множество
M
2M, |M | < ∞ 2
2
2M, 2
M
2
Конечное случайное множество (к.с.м.)
– Если (U, A) = (R, B(R)), где R – числовая ось, а B(R) – бо-
релевская σ-алгебра её подмножеств, то определение случайного
элемента совпадает с определением случайной величины.
– Если (U, A) = (Rn, B(Rn)), то измеримая функция K : Ω → R
называется n-мерным случайным вектором относительно борелевской σ-алгебры на Rn.
– Если рассмотреть некоторое пространство M, элементами кото-
рого являются множества, тогда измеримое отображение K элементарных исходов произвольного вероятностного пространства
(Ω, F, P) в M называют случайным множеством [54, 125]. Су-
n
ществуют различные уточнения понятия случайного множества
в зависимости от структуры множества значений K [8, с. 596].
Так, если M — топологическое пространство, то измеримость
понимается в борелевском смысле. Наиболее распространенными
являются замкнутые случайные множества, открытые случайные
множества, случайное непустое компактное множество, случайное выпуклое множество и другие [8,122, 123, 125].
– Под конечным случайным множеством понимается случайное под-
множество некоторого конечного множества M . Более точно, пусть
(U, A) =2M, 2
M
2
. Тогда измеримая функция K : Ω → 2M, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого конечного множества M , называется конечным
случайным множеством [8, с. 254].
16 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
1.2. Конечные случайные множества событий
Изложение результатов моделирования и исследования случайных
объектов произвольной природы можно вести на языке конечных случайных множеств. Под конечным случайным множеством понимается случайный элемент со значениями из совокупности всех подмножеств некоторого конечного множества M . При этом множество M
будем называть базовым множеством, а значения конечного случай-
ного множества образуют полную решетку относительно теоретикомножественного включения и теоретико-множественных операций объединения и пересечения. Конечные случайные множества — удобная математическая модель представления и исследования (на количественном и качественном уровнях) множеств случайных объектов,
когда число описывающих их признаков конечно и появление любого
из этих признаков представляется как случайное событие. Если число
признаков равно N, то возможное число различных состояний объекта равно 2N. Если каждому из этих состояний сопоставить некоторую
вероятность появления, то набор всех 2Nвероятностей будет задавать
при определенных условиях распределение, называемое распределением вероятностей конечного случайного множества.
В настоящем издании исследуются специфические случайные множества, базовым множеством которых выступают конечные множества
случайных событий X ⊂ F, выбранных из алгебры F вероятностного
пространства (Ω, F , P).
Определение 1.2. Случайное множество K, заданное на конечном
множестве случайных событий X ⊂ F определяется как отображение
K : Ω → 2X, измеримое относительно пары алгебрF, 2
X
смысле, что для всякого X ∈ 2
2
справедливо K−1(X) ∈ F .
2
X
в том
Поясним определение 1.2. Пусть (Ω, F , P) — исходное вероятностное пространство. Обозначим ω элементарный исход из Ω. Строчными
буквами латинского алфавита будем обозначать случайные события:
x = {ω : ω ∈ x} ⊆ Ω. Для произвольных случайных событий x, y ∈ F
могут быть установлены любые теоретико-множественные отношения
1.2. Конечные случайные множества событий 17
и операции. Например, x ∩ y =ω : (ω ∈ x) ∧ (ω ∈ y), xc= Ω \ x.
Вероятность случайного события x есть P(x) =
X
P(ω) [79].
ω∈x
Зафиксируем конечное множество случайных событий X из алгебры F. Отображение K : Ω → 2Xпорождает новое вероятностное
пространство
K(Ω), K(F), PK−1(•)
=
2X, 2
, P
, (1.1)
K
X
2
где образ K(Ω) содержится в 2Xи представляет собой новое про-
странство элементарных исходов Ω0, образ σ-алгебры K(F) = 2
2
является σ-алгеброй в пространстве 2X, а PK(X) = P(K−1(X)) —
вероятностной мерой, индуцируемой на K(Ω) = 2Xпосредством отображения K.
Элементарными событиями ω0в вероятностном пространстве (1.1)
X
являются подмножества X или, что эквивалентно, элементы 2X. При
отображении K образ элементарного исхода ω ∈ Ω есть
K (ω) = {x ∈ X : ω ∈ x} = X ∈ 2X. (1.2)
Выражение K(ω) = X, определяемое (1.2), может быть истолковано,
как «случайное множество наступивших событий», поскольку элементарному исходу эксперимента ω ∈ Ω ставится в соответствие некоторое
подмножество событий X ⊆ X, которое содержит все те и только те
события, которые наступили в данном испытании.
Образ случайного события x ⊂ Ω при отображении K определяется
выражением
[
K(x) =nK(ω) ∈ 2X: ω ∈ xo=
K(ω). (1.3)
ω∈x
Рассмотрим обратное отображение K−1: 2X→ Ω. Прообраз элемен-
тарного события ω0= X, X ∈ 2Xнового пространства Ω0есть
K−1(X) = {ω ∈ Ω : K(ω) = X} . (1.4)
Измеримое событие {ω : K(ω) = X, X ⊆ X} ∈ F , заключается в том,
что случайное множество K принимает одно из своих возможных значений X ⊆ X. Это означает, что наступившие случайные события из
18 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
X образуют подмножество X ⊆ X, а ненаступившие — подмножество
Xc= X \ X :
{ω : K(ω) = X, X ⊆ X} =
x∈X
\
!
x
\ \
v∈X
!
c
v
⊆ Ω. (1.5)
c
Для простоты далее вместо {ω : K(ω) = X, X ⊆ X} будем писать
{KX= X}, где нижний индекс X при K означает, что конечное слу-
чайное множество K задано на базовом множестве X. Множество всех
таких событий, порожденных множеством событий X, образует разбиение пространства элементарных исходов Ω =
Поскольку отображение K измеримо [58] относительно алгебр
F, 2
X
2
, то прообраз любого элемента X алгебры событий 2
X
{KX= X}.
X⊆X
X
2
(
)
:
[
K−1(X ) =
K−1(X), (1.6)
X∈X
является элементом F. Из (1.5)–(1.6) очевидно, что прообраз 2Xсовпадает с Ω:
K
−1
=
[
X∈2
X
K−1(X) =
X
2
[
X∈2
X
x∈X
!
\
x
\
v∈X\X
\
v
c
= Ω. (1.7)
Конечное множество случайных событий X ⊂ F и конечное случайное множество событий K, определенное на X, позволяют одни и
те же измеримые события относительно пары алгебрF, 2
X
2
записывать двумя способами: на языке событий — подмножеств Ω, на языке
множеств событий — подмножеств X [18, с. 62].
В пространстве (1.1) элементарными исходами ω0являются элементы множества 2X= {X : X ⊆ X}. Для конечного множества X мощ-
ности N = |X| пространство элементарных исходов 2Xбудет состоять
из 2Nнесовместных событий вида {KX= X}. По определению веро-
ятность элементарного исхода ω0= X ∈ 2Xопределяется выражением
PK(ω0) = PK−1(X)= P ({K = X}) . Учитывая (1.4) и (1.5) имеем
PK(ω0) = P
!
\
x
x∈X
\
\
v∈X\X
v
c
. (1.8)
1.2. Конечные случайные множества событий 19
Вероятность любого события X алгебры событий 2
PK(X ) = PK−1(X )= P
[
K−1(X)!=
X
X
2
определяется как
PK−1(X). (1.9)
X∈X
X∈X
Из (1.7) и (1.9) очевидно, что
P
K
X
2
= PK
−1
X
2
=
X
P(K−1(X)) = P(Ω) = 1.
X
X∈2
Пример 1.1. Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, F, P),
где Ω =ωi, i = 1, 7. Зафиксируем базовое множество случайных
событий X = {x, y} ⊂ F , где x = {ω1, ω2, ω3, ω4} и y = {ω4, ω5, ω6}. Со-
гласно (1.2) определим отображение K из Ω в 2X=∅, {x}, {y}, {x, y}
следующим образом (рис. 1.1): K(ω1) = K(ω2) = K(ω3) = ω
K(ω4) = ω
0
= {x, y}, K(ω5) = K(ω6) = ω
3
0
= {y}, K(ω7) = ω
2
0
= {x},
4
0
1
= ∅.
Использовав формулу (1.3), выпишем образы интересующих нас случайных событий из Ω:
0
K(x) = K(ω1) ∪ K(ω2) ∪ K(ω3) ∪ K(ω4) = {ω
0
, ω
} =n{x}, {x, y}o;
3
4
K(y) = K(ω4) ∪ K(ω5) ∪ K(ω6) = {ω
K(x ∩ y) = K(ω4) = ω
0
=nx, yo; K (xc∩ yc) = K(ω7) = ω
3
K(Ω) =
ω∈Ω
x
ω
ω
2
1
ω
3
ω
4
ω
6
ω
5
y
Ω
ω
7
[
K(ω) = 2X.
KK
0
0
, ω
} =n{y}, {x, y}o;
2
3
0
ω
= {x}
4
0
ω
= {x, y}
3
0
ω
= {y}
2
0
ω
= ∅
1
Ω0= 2
0
= ∅;
1
X
Рис. 1.1. Прямое отображение K : Ω → 2
X
20 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
Рассмотрим обратное отображение K
−1
и по формулам (1.5)–(1.6)
найдем прообразы элементарных событий из Ω0и, например, события
X = {ω
K−1({ω
0
0
, ω
} из алгебры 2
4
3
K−1(ω
K−1(ω
K−1(ω
0
0
, ω
}) = K
3
4
x
ω
1
x ∩ y
x ∩ y
K−1(ω
0
2
0
) = K−1({x}) = {ω1, ω2, ω3} = x ∩ yc;
4
ω
2
c
ω
4
X
2
(рис. 1.2):
0
) = K−1(∅) = {ω7} = xc∩ yc;
1
) = K−1({y}) = {ω5, ω6} = xc∩ y;
0
) = K−1({x, y}) = {ω4} = x ∩ y;
3
−1
{x, y}∪K
ω
3
Ω
−1
{x}= {ω1, ω2, ω3, ω4} = x.
−1
K
0
ω
= {x}
4
0
ω
= {x, y}
3
0
ω
= {y}
2
0
ω
= ∅
1
Ω0= 2
X
xc∩ y
y
ω
6
ω
5
xc∩ y
c
ω
7
Рис. 1.2. Обратное отображение K−1: 2X→ Ω
Набор из четырех вероятностей (1.14) на элементарных событиях
X ∈ 2Xопределяет вероятности значений конечного случайного множества K:
PK(∅) = PK(ω
PK({x}) = PK(ω
PK({y}) = PK(ω
PK({x, y}) = PK(ω
0
) = PK−1(ω
1
0
) = PK−1(ω
4
0
) = PK−1(ω
2
0
) = PK−1(ω
3
Далее, например, вероятность события X = {ω
X
из алгебры событий 2
2
можно найти по формуле (1.9) следующим
0
)= P (xc∩ yc) ;
1
0
)= P (x ∩ yc) ;
4
0
)= P (xc∩ y) ;
2
0
)= P (x ∩ y) .
3
0
0
, ω
} ={x}, {x, y}
4
3
образом:
P
K
{x}, {x, y}= PK({ω
0
0
, ω
}) = PK−1(ω
3
4
0
)+ PK−1(ω
3
0
)=
4