Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
3.2. Построение функций множества на основе ассоциативных функций 61
ативных функций. Далее рассмотрим некоторые полезные свойства
функции множества (3.3).
Лемма 3.1. Пусть функция множества f : 2X→ [0; 1] построена
на системе событий (1.15) рекуррентным методом (3.2)–(3.3). Тогда для любого X ⊆ X, |X| = n ≥ 2 значения f (X) удовлетворяют
неравенствам
0 ≤ g (pt, x ∈ X) ≤ f (X) ≤ pt≤ 1, (3.4)
где pt= min
px, а g (pt, x ∈ X) = g(pt, . . . , p
x∈X
| {z }
n– раз
).
t
Доказательство. При n = 2 справедливость неравенств (3.4) непо-
средственно следует из определения ассоциативной функции, а именно
0 < AF(pt, 1) = pt< 1.
Обозначим pt= min
px. Для произвольного X ⊆ X, n > 2 найдем
x∈X
оценку сверху для значения f(X) = g (px, x ∈ X). При получении оценки используем свойства ассоциативной функции A1–A4, приведенные
в определении 3.1.:
f(X) = g (px, x ∈ X) = AFpt, g (px, x ∈ X \ {t})=
= AFpx, AFpt, g (py, y ∈ X \ {t, x})≤
≤ AF1, AFpt, g (py, y ∈ X \ {t, x})= AFpt, gpy, y ∈ X \ {t, x}=
= AFpy, AFpt, g (pz, z ∈ X \ {t, x, y})≤
≤ AFpt, gpz, z ∈ X \ {t, x, y}≤ . . . ≤ AF(1, pt) = pt< 1.
Аналогично получаем оценку снизу:
f(X) = g (px, x ∈ X) = AFpt, gpx, x ∈ X \ {t}=
= AFpx, AFpt, g (py, y ∈ X \ {t, x})≥
≥ AFpt, AFpt, g (py, y ∈ X \ {t, x})≥ g (pt, x ∈ X) = g(pt, . . . , p
| {z }
n – раз
Из леммы 3.1 следует свойство неотрицательности и ограниченности значений f (X), т.е. 0 ≤ f (X) ≤ 1 для всех X ⊆ X.
).
t
62 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
Следствие 3.1. Пусть функция множества f : 2X→ [0; 1] построена на системе событий (1.15) рекуррентным методом (3.2)–(3.3).
Тогда для произвольного подмножества X ⊆ X, |X| = n > 2 и любого t ∈ X справедливо неравенство f (X) ≤ f(X \ {t}).
Доказательство. Это следствие вытекает из свойства монотонности
A2. Действительно, для f (X), n > 2 имеем:
f(X) = g (px, x ∈ X) = AFpt, g (px, x ∈ X \ {t})≤
≤ AF1, g (px, x ∈ X \ {t})= / по свойству A1 / =
= g (px, x ∈ X \ {t}) = f(X \ {t}).
Следствие 3.2. Пусть функция множества f : 2X→ [0; 1] постро-
ена на системе событий (1.15) рекуррентным методом (3.2)–(3.3).
Тогда для произвольного множества X ⊆ X, |X| = n > 2 выполня-
ется неравенство
fX \ {t1}− f(X) ≤ fX \ {t1, t2}− fX \ {t2}, где t1, t2∈ X.
Доказательство. Пусть t1, t2∈ X и f (X) = g (px, x ∈ X). Применение условия Липшица A5 и следствия 3.1 дает следующее:
0 ≤ fX \ {t1}− f(X) = gpx, x ∈ X \ {t1}− g (px, x ∈ X) =
= AFp
, g (px, x ∈ X \ {t1, t2})− AFp
t
2
, g (px, x ∈ X \ {t2})≤
t
2
≤ g (px, x ∈ X \ {t1, t2}) − g (px, x ∈ X \ {t2}) =
= f(X \ {t1, t2}) − f(X \ {t2}).
Из следствий 3.1 и 3.2 вытекает свойство монотонности полученной
функции множества, а именно, если X ⊆ Y , то f (X) ≤ f (Y ).
Заметим, что функция множества, построенная рекуррентным методом (3.2)–(3.3), является распределением вероятностей II рода конечного случайного множества, если только она удовлетворяет достаточным условиям теоремы 2.1. Следовательно, на втором этапе рекуррентного метода необходимо выполнять проверку достаточных условий
существования распределений вероятностей II рода и получить их аналитический вид с учетом особенностей вида ассоциативной функции.
3.3. Построение распределений вероятностей II рода на основе ассоциативных функций63
3.3. Построение распределений вероятностей II рода на основе
ассоциативных функций
Рассмотрим предложенный метод рекуррентного построения для
следующих ассоциативных функций, изученных в работах [82, 110,
112,124]:
AF(a, b) = ab;
AF(a, b) = min{a, b};
AF(a, b) = max{a + b − 1, 0};
AF(a, b) =
;
a + b − a · b
ассоциативная функция Франка:
ab
− 1)
, α 6= 0.
AFα(a, b) = −
1
ln1 +
α
(e
−α·a
(e−α− 1)
− 1)(e
−α·b
Для каждой из пяти указанных выше функций докажем теоремы
3.1–3.5, устанавливающие аналитический вид и условия существования результирующего распределения. Доказательство каждой из этих
теорем осуществляется в два этапа. Первый этап доказательства конструктивен: с помощью рекуррентного метода (3.2)–(3.3) строится
функция множества f (X) для соответствующей ассоциативной функции. Важно, что найденная функция множества f (X) по построению
всегда удовлетворяет первым трем из четырех условий теоремы 2.1 о
достаточных условиях существования распределения II рода. На втором этапе доказательства теорем выполняется проверка условия (iv)
теоремы 2.1, и в случае положительного ответа построенная функция
заявляется как распределение конечного случайного множества.
Кроме того, после каждой теоремы 3.1–3.5 вычисляются арные ковариации (1.43) через ассоциативные функции по формуле
KovX= AF
px, P
y∈X\{x}
\
y
−
Y
px= g (px, x ∈ X)−
x∈X
Y
px, (3.5)
x∈X
где X ⊆ X, |X| > 1. Данные величины полезны при анализе полученных рекуррентным методом распределений вероятностей конечных
случайных множеств.
64 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
3.3.1. Ассоциативная функция AF(a, b) = ab
Рассмотрим ассоциативную функцию AF(a, b) = ab в построении
распределения II рода конечного случайного множества KXи покажем, что данное распределение будет определять независимо точечное
случайное множество.
Под независимо точечным понимают конечное случайное множество KX, определенное на базовом множестве независимых в совокупности случайных событий [18, с. 154]. Распределение вероятностей
I рода для независимо точечного случайного множества вычисляется
по формуле
p(X) =
Y
P(x)
x∈X
Y
x∈X
P(xc) =
c
Y
x∈X
Y
p
x
(1 − px), X ⊆ X,
c
x∈X
где xc= Ω−x — дополнение события x до Ω; Xc= X\X — дополнение
множества событий X до X. Нетрудно показать [18, 60, 125], что для
распределения вероятностей II рода справедливо
pX= P
\
x!=
x∈X
Y
x∈X
P(x) =
Y
px, X ⊆ X. (3.6)
x∈X
Tеорема 3.1. Если значения функции множества {f (X), X ⊆ X}
вычисляются рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на основе ассоци-
ативной функции
AF(a, b) = ab, (3.7)
то {f(X), X ⊆ X} является распределением вероятностей II ро-
да конечного случайного множества KXи определяет независимо
точечное случайное множество.
Доказательство. Применение рекуррентного метода (3.2)–(3.3) на
основе ассоциативной функцией (3.7) дает:
f(∅) = 1;
f(x) = px= P(x), для x ∈ X;
f(X) = AF
px, P
y∈X\{x}
\
y
=
Y
px, X ⊆ X, |X| > 1.
x∈X
(3.8)
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 65
Из (3.6) и (3.8) очевидно, что f(X) = pXдля всех X ⊆ X. Следовательно, функция множества {f (X), X ⊆ X} является вероятностным
распределением II рода независимо точечного случайного множества
KX.
Следствие 3.3. Все арные ковариации независимо точечного слу-
чайного множества KXравны нулю.
Доказательство. Из (3.5) и (3.8) для всех X ⊆ X получаем
T
KovX= AF px, P
y∈X\{x}
y
!!
−
Q
x∈X
px=
Q
x∈X
px−
Q
px= 0.
x∈X
3.3.2. Ассоциативная функция AF(a, b) = min{a, b}
Рассмотрим ассоциативную функцию AF(a, b) = min{a, b} в построении распределения вероятностей II рода конечного случайного множества KXи покажем, что данное распределение будет определять
случайное множество вложенных событий.
При доказательстве теоремы 3.9 используются следующие очевидные соотношения для вложенных событий: если x ⊆ y, то
P(x∩y) = P(x); если x ⊆ y и y ⊆ z, то x ⊆ y ⊆ z и P(x ∩ y ∩z) = P(x),
и далее аналогичным образом.
Tеорема 3.2. Если значения функции множества {f (X), X ⊆ X}
вычисляются рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на основе ассоци-
ативной функции
AF(a, b) = min{a, b}, (3.9)
то {f(X), X ⊆ X} является распределением вероятностей II ро-
да конечного случайного множества KXи определяет случайное
множество вложенных событий.
Доказательство. Упорядочим события в X = {x1, x2, . . . , xN} в порядке возрастания их вероятностей p
≤ p
x
1
≤ · · · ≤ p
x
2
. Обозначим
x
N
I ⊆ {1, 2, . . . , N } — упорядоченный набор индексов, соответствующий
подмножеству X ⊆ X. Элементы этого подмножества также упорядочены в порядке возрастания вероятностей событий. Применение ре-
66 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
куррентного метода (3.2)–(3.3) с ассоциативной функцией (3.9) дает:
f(∅) = 1;
f(xi) = p
f({xi, xj}) = P (xi∩ xj) = minp
= P(xi), ∀i = 1, N;
x
i
x
, p
i
= p
x
j
, ∀ i < j;
x
i
(3.10)
T
f(X) = P
i∈I
x
i
= min
i∈I
{p
} = p
x
i
, m = min
x
m
i.
i∈I
Соотношения (3.10) определяют функцию множества на базовом множестве X из N вложенных друг в друга событий x1⊆ x2⊆ . . . ⊆ xN.
Проверим для найденной функции множества {f(X), X ⊆ X} достаточные условия, определенные теоремой 2.1. Чтобы проверить выполнение условия (iv) теоремы 2.1 перейдем по формуле обращения
М¨ебиуса в виде (2.2) от функции множества (3.10) к новой функции
множества {p(X), X ⊆ X} и покажем, что последняя является распределением вероятностей I рода. Применение формулы (2.2) приводит к
следующим соотношениям:
p(X \ {x1}) = P
p(X \ {x1, . . . , x
p(xN) = P (xN) − P (x
}) = P
k−1
p(∅) = P
p(X) = P
\
i=2,N
i=k,N
x
\
i=1,N
i
\
\
i=1,N
− P
· · ·
x
i
· · ·
N−1
x
x
= p
i
\
i=1,N
− P
∩ xN) = p
c
= 1 − p
i
;
x
1
x
i
\
i=k−1,N
x
N
x
N
= p
− p
.
x
2
− p
;
x
1
x
= p
i
x
N−1
− p
x
k
x
k−1
;
;
Очевидно, что функция множества {p(X), X ⊆ X} удовлетворяет условиям неотрицательности, поскольку принимает только N +1 ненулевых
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 67
значений, а остальные 2N− N − 1 значения равны нулю. Следовательно, по лемме 2.1 о достаточных условиях существования распределения I рода функция множества {p(X), X ⊆ X} является распределением I рода некоторого конечного случайного множества KX. А значит,
функция множества f (X), X ⊆ X согласно теореме 2.1 удовлетворяет достаточным условиям существования и является распределением
вероятностей II рода конечного случайного множества KX. Таким образом, метод рекуррентного построения (3.2)–(3.3) с ассоциативной
функцией (3.9) всегда позволяет построить распределение вероятностей II рода, которое определяет случайное множество вложенных событий.
Следствие 3.4. Все арные ковариации случайного множества вло-
женных событий KXположительны.
Доказательство. Из формул (3.5) и (3.10) следует, что
KovX= AF
= p
−
x
m
Q
i∈I
px, P
p
= p
x
i
\
y∈X\{x}
y
!
−
Y
px=
x∈X
Q
1 −
x
m
i∈I\{m}
p
> 0, X ⊆ X.
x
i
В примере 3.1 продемонстрировано построение распределений вероятностей конечного случайного множества согласно методу рекуррентного построения на основе ассоциативных функций (3.7) и (3.9).
Пример 3.1. Пусть X = {x, y, z} — базовое множество событий и
пусть известны вероятности событий px= 0.375, py= 0.75, pz= 0.625.
Методом рекуррентного построения (3.2)–(3.3) на основе ассоциативных функций (3.7) и (3.9) сформированы распределения вероятностей
II рода и соответствующие распределения вероятностей I рода. Результаты построения сведены в табл. 3.1.
68 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
Таблица 3.1
Распределения вероятностей конечного случайного множества для AF(a, b) = ab и
AF (a, b) = min{a, b}
X
2
AF(a, b) = ab AF(a, b) = min{a, b}
p
X
∅ 1 0.059 1 0.25
{x} 0.375 0.035 0.375 0
{y} 0.75 0.176 0.75 0.125
{z} 0.625 0.098 0.625 0
{x, y} 0.281 0.105 0.375 0
{x, z} 0.234 0.058 0.375 0
{y, z} 0.469 0.293 0.625 0.25
{x, y, z} 0.176 0.176 0.375 0.375
p(X) p
X
p(X)
3.3.3. Ассоциативная функция AF(a, b) = max{a + b − 1, 0}
Рекуррентный метод (3.2)–(3.3) на основе ассоциативной функцией
AF(a, b) = max{a + b − 1, 0} не всегда позволяет построить распреде-
ление конечного случайного множества. Сформулируем условия, при
которых это возможно.
Tеорема 3.3. Если значения функции множества {f (X), X ⊆ X}
вычисляются рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на основе ассоци-
ативной функции
AF(a, b) = max{a + b − 1, 0}. (3.11)
то {f(X), X ⊆ X} является распределением вероятностей II ро-
да конечного случайного множества KXпри выполнении одного из
следующих условий:
X
(i)
px≤ 1;
x∈X
X
(ii) |X| − 1 ≤
px≤ |X|.
x∈X
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 69
Доказательство. При доказательстве теоремы воспользуемся формулой для n-местного представления (3.11), полученной в [110, 112]:
(
n
X
g(a1, . . . , an) = max
ai− n + 1, 0). (3.12)
i=1
Применение рекуррентного метода (3.2)–(3.3) на основе ассоциативной функции (3.12) дает:
f(∅) = 1;
f(x) = px= P(x), для x ∈ X;
!!
T
f(X) = AF px, P
y∈X\{x}
y
= max
P
px− |X| + 1, 0.
x∈X
(3.13)
Найдем условия, при которых функция множества (3.13) будет распределением вероятностей II рода конечного случайного множества
KX. Для этого будем проверять положение (iv) теоремы 2.1. Рассмот-
рим следующие ситуации.
СЛУЧАЙ 1. Пусть в (3.13) выполняется f (X) = 0 для всех X ⊆ X
P
таких, что |X| > 1. Это означает, что max
px− |X| + 1, 0= 0.
x∈X
С учетом этого предположения, воспользовавшись формулами (3.13) и
(1.22), получим новую функцию множества, определенную на системе
событий (1.13):
X
p(∅) = 1 −
px;
x∈X
p(x) = px, ∀x ∈ X;
X
p(X) =
Y ∈2X: X⊆Y
(−1)
|Y |−|X |
· f(Y ) = 0, ∀X ⊆ X, |X| > 1.
(3.14)
Очевидно, что найденная функция множества (3.14) будет удовлетворять лемме 2.1 о достаточных условиях существования распределения
I рода, если только p(∅) ≥ 0. Следовательно, функция множества (3.14)
является распределением вероятностей I рода конечного случайного
множества тогда и только тогда, когда
X
px≤ 1. В этом случае (3.14)
x∈X
70 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
определяет конечное случайное множество, определенное на базовом
множестве непересекающихся событий [18].
СЛУЧАЙ 2. Пусть в (3.13) все f (X) > 0, X ⊆ X, |X| > 1. Это
означает, что max
X
0 <
px− |X| + 1 ≤ 1 или, что эквивалентно, |X| − 1 <
x∈X
P
px− |X| + 1, 0=
x∈X
P
px− |X| + 1 > 0. Отсюда
x∈X
P
px≤ |X|.
x∈X
Учитывая это предположение и применяя формулу (1.22) к функции
множества (3.13), имеем для всех X ⊆ X:
p(X) =
X
Y ∈2X: X⊆Y
(−1)
|Y |−|X |
X
px− |Y | + 1!.
x∈Y
Введем функцию
1, X = Y,
δ(X, Y ) =
0, X 6= Y.
Используя принципы сет-суммирования [11], получаем
X
Y ∈2X: X⊆Y
X
=
X⊆Y ⊆X
X
=
X⊆Y ⊆X
(−1)
X
= δ(X, X) −
X⊆Y ⊆X
= δ(X, X) − δ(X, X)
X
= δ(X, X) 1 −
|Y |−|X |
(−1)
|Y |−|X |
(−1)
|Y |−|X |
(−1)
−
X⊆Y ⊆X
|Y |−|X |
X
(1 − px) +
x∈X
(1 − px)!+
·
· 1 −
X
X
x∈X
X
X
px− |Y | + 1
x∈Y
X
x∈Y
|Y |−|X |
(−1)
(1 − px) +
X
X⊆Y ⊆X
(1 − px)
(1 − px)!=
X
(1 − px) =
x∈Y
X
x∈Y −X
|Y |−|X |
(−1)
X
!!
=
(1 − px)!=
X
(1 − px) =
x∈Y −X
(−1)
|Y |−|X |
=
x∈X
= δ(X, X) 1 −
X
(1 − px)!+
x∈X
x∈X−X
x∈X−X
X+{x}⊆Y ⊆X
X
(1 − px)δ(X + {x}, X) =